叙述并证明余弦定理精选多篇最新.docx
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叙述并证明余弦定理精选多篇最新
第一篇:
叙述并证明余弦定理
叙述并证明余弦定理
余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
编辑本段余弦定理性质
对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积,若三边为a,b,c三角为a,b,c,则满足性质——
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosa
b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosb
c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosc
cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)
cosb=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)
cosa=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)
(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)
第一余弦定理(任意三角形射影定理)
设△abc的三边是a、b、c,它们所对的角分别是a、b、c,则有
a=b·cosc+c·cosb,b=c·cosa+a·cosc,c=a·cosb+b·cosa。
编辑本段余弦定理证明
平面向量证法
∵如图,有a+b=c(平行四边形定则:
两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cos(π-θ)
(以上粗体字符表示向量)
又∵cos(π-θ)=-cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:
这里用到了三角函数公式)
再拆开,得c2=a2+b2-2*a*b*cosc
即cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可证其他,而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosc移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c,∠b所对的边为b,∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得:
ac2=ad2+dc2
b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2
b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2
b2=c2+a2-2ac*cosb
cosb=(c2+a2-b2)/2ac
编辑本段作用
(1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角
(2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边。
(3)已知三角形两边及其一边对角,可求其它的角和第三条边。
(见解三角形公式,推导过程略。
)
判定定理一(两根判别法):
若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数,c1为c的表达式中根号前取加号的值,c2为c的表达式中根号前取
减号的值
①若m(c1,c2)=2,则有两解
②若m(c1,c2)=1,则有一解
③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。
注意:
若c1等于c2且c1或c2大于0,此种情况算到第二种情况,即一解。
判定定理二(角边判别法):
一当a>bsina时
①当b>a且cosa>0(即a为锐角)时,则有两解
②当b>a且cosa<=0(即a为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
③当b=a且cosa>0(即a为锐角)时,则有一解
④当b=a且cosa<=0(即a为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
⑤当b二当a=bsina时
①当cosa>0(即a为锐角)时,则有一解
②当cosa<=0(即a为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
三当a例如:
已知△abc的三边之比为5:
4:
3,求最大的内角。
解设三角形的三边为a,b,c且a:
b:
c=5:
4:
3.
由三角形中大边对大角可知:
∠a为最大的角。
由余弦定理
cosa=0
所以∠a=90°.
再如△abc中,ab=2,ac=3,∠a=60度,求bc之长。
解由余弦定理可知
bc2=ab2+ac2-2ab×ac·cosa
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=13-6
=7
所以bc=√7.(注:
cos60=0.5,可以用计算器算)
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
编辑本段其他
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角。
即,利用余弦定理,可以判断三角形形状。
同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
解三角形时,除了用到余弦定理外还常用正弦定理。
第二篇:
余弦定理证明过程
在△abc中,设bc=a,ac=b,ab=c,试根据b,c,a来表示a。
分析:
由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题,所以应添加辅助线构造直角三角形,在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作cd垂直于ab于d,那么在rt△bdc中,边a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rt△adc中利用边角关系表示,db可利用ab-ad转化为ad,进而在rt△adc内求解。
解:
过c作cd⊥ab,垂足为d,则在rt△cdb中,根据勾股定理可得:
a2=cd2+bd2
∵在rt△adc中,cd2=b2-ad2
又∵bd2=(c-ad)2=c2-2c·ad+ad2
∴a2=b2-ad2+c2-2c·ad+ad2=b2+c2
-2c·ad又∵在rt△adc中,ad=b·cosa∴a2=b2+c2-2bccosa类似地可以证明b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc
第三篇:
余弦定理及其证明
余弦定理及其证明
1.三角形的正弦定理证明:
步骤1.
在锐角△abc中,设三边为a,b,c。
作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理,在△abc中,
b/sinb=c/sinc
步骤2.
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
如图,任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
2.三角形的余弦定理证明:
平面几何证法:
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c,∠b所对的边为b,∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得:
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3
在△abc中,ab=c、bc=a、ca=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式,在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d,则bd+cd=a
由勾股定理得:
c^2=(ad)^2+(bd)^2,(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因为cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
题目中^2表示平方。
2
谈正、余弦定理的多种证法
聊城二中魏清泉
正、余弦定理是解三角形强有力的工具,关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的,如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积,这种构思方法过于独特,不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理,进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.
定理:
在△abc中,ab=c,ac=b,bc=a,则
(1)(正弦定理)==;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcosc,
b2=a2+c2-2accosb,
a2=b2+c2-2bccosa.
一、正弦定理的证明
证法一:
如图1,设ad、be、cf分别是△abc的三条高。
则有
ad=b?
sin∠bca,
be=c?
sin∠cab,
cf=a?
sin∠abc。
所以s△abc=a?
b?
csin∠bca
=b?
c?
sin∠cab
=c?
a?
sin∠abc.
证法二:
如图1,设ad、be、cf分别是△abc的3条高。
则有
ad=b?
sin∠bca=c?
sin∠abc,
be=a?
sin∠bca=c?
sin∠cab。
证法三:
如图2,设cd=2r是△abc的外接圆
的直径,则∠dac=90°,∠abc=∠adc。
证法四:
如图3,设单位向量j与向量ac垂直。
因为ab=ac+cb,
所以j?
ab=j?
(ac+cb)=j?
ac+j?
cb.
因为j?
ac=0,
j?
cb=|j||cb|cos(90°-∠c)=a?
sinc,
j?
ab=|j||ab|cos(90°-∠a)=c?
sina.
二、余弦定理的证明
法一:
在△abc中,已知,求c。
过a作,
在rt中,,
法二:
,即:
法三:
先证明如下等式:
⑴
证明:
故⑴式成立,再由正弦定理变形,得
结合⑴、有
即.
同理可证
.
三、正余弦定理的统一证明
法一:
证明:
建立如下图所示的直角坐标系,则a=(0,0)、b=(c,0),又由任意角三角函数的定义可得:
c=(bcosa,bsina),以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′,则∠bac′=π-∠b,
∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).
根据向量的运算:
=(-acosb,asinb),
=-=(bcosa-c,bsina),
(1)由=:
得
asinb=bsina,即
=.
同理可得:
=.
∴==.
(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa,
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccosa.
同理:
c2=a2+b2-2abcosc;
b2=a2+c2-2accosb.
法二:
如图5,
,设轴、轴方向上的单位向量分别为、,将上式的两边分别与、作数量积,可知
,
即
将
(1)式改写为
化简得b2-a2-c2=-2accosb.
即b2=a2+c2-2accosb.(4)
第四篇:
余弦定理证明
余弦定理证明
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c,∠b对边为b,∠a对边为a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac2=ad2+dc2
b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb
b2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2
b2=c2+a2-2ac*cosb
所以,cosb=(c2+a2-b2)/2ac
2
如右图,在abc中,三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点,ac所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是c点坐标是(b,0),由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).现将cb平移到起点为原点a,则ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c),asin(π-c))即d点坐标是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可证asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:
a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
第五篇:
余弦定理证明过程
余弦定理证明过程
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c,∠b对边为b,∠a对边为a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac2=ad2+dc2
b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb
b2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2
b2=c2+a2-2ac*cosb
所以,cosb=(c2+a2-b2)/2ac
2
如右图,在abc中,三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点,ac所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是c点坐标是(b,0),由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).现将cb平移到起点为原点a,则ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c),asin(π-c))即d点坐标是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可证asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:
a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
第一篇:
增值税发票丢失证明
证明
我公司于xxxx年xx月xx日给xxxxxxxx公司开具的增值税发票详情如下:
购货单位:
发票代码:
发票号码:
货物名称:
货物数量:
发票金额:
发票税额:
发票总额:
发票在邮寄途中丢失,此发票未认证未抵扣。
特此证明!
xxxxx公司
xxxx年xx月xx日
第二篇:
增值税发票丢失证明
证明
a公司于xx年xx月xx日给我公司开具的增值税发票详情如下:
购货单位:
b公司
发票代码:
发票号码:
货物名称货物数量发票金额发票税额
发票总额:
发票在送货途中丢失,此发票未认证未抵扣。
特此证明!
a公司
第三篇:
增值税发票丢失证明
增值税发票丢失证明
增值税发票丢失证明
一般纳税人丢失增值税专用发票需要补认证,应提供:
销方“已抄税证明单”原件及复印件各一份
存根联加盖发票专用章两份
关于补认证的申请,说明丢失原因并保证如果找到原件也不再认证,加盖公章,注说明联系人及联系电话
购货方丢失增值税专用发票,销货方要开具“已抄税证明单”,应提供:
加盖“已抄税”章的增值税纳税申报附列资料表
增值税专用发票记帐联复印件加盖发票专用章一份
携带企业公章
根据《国家税务总局关于被盗、丢失增值税专用发票的处理意见的通知》(国税函发1995292号)规定:
纳税人必须严格按《增值税专用发票使用规定》保管使用专用发票,对违反规定发生被盗、丢失专用发票的纳税人,主管税务机关必须严格按《中华人民共和国税收征收管理法》和《中华人民共和国发票管理办法》的规定,处以一万元以下的罚款,并可视具体情况,对丢失专用发票的纳税人,在一定期限内(最长不超过半年)停止领购专用发票。
对纳税人申报遗失的专用发票,如发现非法代开、虚开问题的,该纳税人应承担偷税、骗税的连带责任。
1.需抛开税务机关繁琐的程序或想要避免罚款的单位。
2.空白增值税发票丢失被盗需避免登报处罚的单位。
3.增值税发票遗失且超过90天未认证的单位。
4.因保管不当等其他原因将增值税发票遗失的单位。
5.销货单位以任何理由拒绝出具“增值税一般纳税人丢失防伪税控系统开具增值税专用发票已抄报税证明单”给购货单位。
6.销货单位已经出具丢失发票的存根联复印件及销货方主管税务机关出具的“增值税一般纳税人丢失防伪税控系统开具增值税专用发票已抄报税证明单”,但由于各种原因购货单位主管税务机关不给予审核批准。
企业由于保管不善或其他原因丢失或被盗空白发票的,应立即向主管税务机关书面报告,并附有关部门证明材料到主管税务机关发票管理部门申报办理有关手续。
具体办法是:
一、企业向主管税务机关征管服务大厅发票管理窗口提交书面报告以及公安等部门的证明材料,报告主管税务机关,还要须在《办税园地》等税务报刊杂志上登报声明作废。
二、主管税务机关检查核实处理。
对丢失、损(撕)毁发票及虚报丢失发票,隐瞒案情,不主动报告等违章行为,处以1万元以下的罚款,造成其他后果的,还应按照有关法律、法规严肃处理。
各盛自治区、直辖市和计划单列市国家税务局、地方税务局:
为解决增值税一般纳税人(以下简称一般纳税人)丢失增值税专用发票产生的涉税问题,现将一般纳税人丢失增值税防伪税控系统开具的增值税专用发票的有关税务处理问题明确如下:
一、一般纳税人丢失防伪税控系统开具的增值税专用发票,如果该发票丢失前已通过防伪税控认证系统的认证,购货单位可凭销货单位出具的丢失发票的存根联复印件及销货方所在地主管税务机关出具的“增值税一般纳税人丢失防伪税控开具增值税专用发票已抄报税证明单”(样式附后),经购货单位主管税务机关审核批准后,作为增值税进项税额抵扣的合法凭证抵扣进项税额。
一般纳税人丢失防伪税控系统开具的增值税专用发票,如果该发票丢失前未通过防伪税控认证系统的认证,购货单位应凭销货单位出具的丢失发票的存根联复印件到主管税务机关进行认证,认证通过后可凭该发票复印件及销货方所在地主管税务机关出具的“增值税一般纳税人丢失防伪税控开具增值税专用发票已抄报税证明单”,经购货单位主管税务机关审核批准后,作为增值税进项税额抵扣的合法凭证抵扣进项税额。
二、一般纳税人发生丢失防伪税控系统开具的增值税专用发票情况,必须及时向所在地主管税务机关报告,税务机关应对其报告的丢失发票是否已申报抵扣进行检查,对纳税人弄虚作假的行为,按照有关的法律法规进行处理。
三、本通知自2014年7月1月起执行。
原《国家税务总局关于加强增值税征收管理工作的通知》(国税发015号)第三条第二项的有关规定同时废止。
第四篇:
丢失增值税专用发票已报税证明
丢失增值税专用发票已报税证明
一、纳税人应提交资料
1、《丢失税控机开具增值税专用发票已抄税证明单》(一式三份)
2、提供公安部门受
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