学年度北师大版高中数学必修二学案第一章 5.docx

学年度北师大版高中数学必修二学案第一章 5.docx

《学年度北师大版高中数学必修二学案第一章 5.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年度北师大版高中数学必修二学案第一章 5.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学年度北师大版高中数学必修二学案第一章5

——教学资料参考参考范本——

2019-2020学年度北师大版高中数学必修二学案：

第一章5

______年______月______日

____________________部门

学习目标　1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

知识点一　直线与平面平行的性质

思考1　如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？

为什么？

思考2　如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？

直线a，b有什么位置关系？

梳理　性质定理

文字语言

如果一条直线与一个平面______，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的______与该直线________

符号语言

a∥α，________________⇒a∥b

图形语言

知识点二　平面与平面平行的性质

观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：

平面ABCD及平面A1B1C1D1.

思考1　平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

思考2　若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

思考3　过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

梳理　性质定理

文字语言

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________

图形语言

类型一　线面平行的性质定理的应用

例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，

求证：

AP∥GH.

引申探究

如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：

AB∥GH.

反思与感悟　线∥面,\s\up7（线面平行的性质）,\s\do5（线面平行的判定））线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．

跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．

类型二　面面平行的性质定理的应用

例2　如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

引申探究

若将本例改为：

点S在平面α，β之间（如图），其他条件不变，求CS的长．

反思与感悟　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

跟踪训练2　已知：

平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如右图所示，求证：

＝.

类型三　平行关系的综合应用

例3　设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：

MP∥平面β.

反思与感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.

例4　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？

如果能，求出截面的面积．

反思与感悟　在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．

跟踪训练4　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.

（1）求证：

l∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论．

1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）

A．0条B．1条

C．0条或1条D．无数条

3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是（　　）

A．互相平行B．交于一点

C．相互异面D．不能确定

4．如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.

5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．

1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：

“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　不一定，因为还可能是异面直线．

思考2　无数个，a∥b.

梳理　平行　交线　平行　aβ，α∩β＝b

知识点二

思考1　是的．

思考2　不一定，也可能异面．

思考3　平行．

梳理　平行　a∥b

题型探究

例1　证明　连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.

又∵AP平面BDM，OM平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

又∵AP平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

引申探究

证明　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，

所以EF∥AB，DC∥AB.

所以EF∥DC.

又EF平面PCD，DC平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

又EF平面EFQ，

平面EFQ∩平面PCD＝GH，

所以EF∥GH.

又EF∥AB，所以AB∥GH.

跟踪训练1　

例2　解　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，

所以△SAC∽△SBD，

所以＝，

即＝，所以SC＝272.

引申探究

解　设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.

因为α∥β，所以AC与BD无公共点，

所以AC∥BD，

所以△ACS∽△BDS，所以＝.

设CS＝x，则＝，所以x＝16，

即CS＝16.

跟踪训练2　证明　如图，连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.

因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF.

于是，得＝，＝，所以＝.

例3　证明　如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，

连接DE，BE.

∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.

又α∥β，∴AC∥DE（面面平行的性质定理），

取AE的中点N，连接NP，MN，

∴M，P分别为AB，CD的中点，

∴NP∥DE，MN∥BE.

又NPβ，DEβ，MNβ，BEβ，

∴NP∥β，MN∥β，

∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.

∵MP平面MNP，MPβ，∴MP∥β.

跟踪训练3　证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，

∴＝.

∵BD＝B1C，

DN＝CM，

∴B1M＝BN.

∴＝，

∴NP∥CD∥AB.

∵NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B.

∵MP∥BB1，MP平面AA1B1B，

BB1平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B，

又∵MP平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B.

∵MN平面MNP，

∴MN∥平面AA1B1B.

例4　解　能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.

∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC，

∴A1N∥MC.

同理，A1M∥NC.

∴四边形A1MCN是平行四边形．

∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，

C1N∥A1P，

∴四边形A1PC1N是平行四边形，

∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.

同理，A1M∥BP且A1M＝BP.

又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，

∴平面A1MCN∥平面PBC1.

故过点A1与截面PBC1平行的截面是▱A1MCN.

连接MN，作A1H⊥MN于点H.

由题意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2.

∴MH＝NH＝，∴A1H＝.

故＝2＝2××2×＝2.

跟踪训练4　

（1）证明因为BC∥AD，

BC平面PAD，AD平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.

（2）解平行．证明如下：

如图，取PD的中点E，连接AE，NE，

可以证得NE∥AM且NE＝AM，

所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.

又AE平面PAD，MN平面PAD，

所以MN∥平面PAD.

当堂训练

1．B　2.C　3.A　4.

5．解　直线l∥平面PAC.

证明如下：

因为E，F分别是PA，PC的中点，

所以EF∥AC.

又EF平面ABC，且AC平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，

所以EF∥l.

因为l平面PAC，EF平面PAC，

所以l∥平面PAC.