小学奥数王峰数论3约数倍数完全平方数.docx
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小学奥数王峰数论3约数倍数完全平方数
教案
教师:
__王鑫___学生:
_王峰上课时间:
学生签字:
__________
数论(三)约数、倍数、完全平方数
【专题知识点概述】
本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数;倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,而完全平方数的定义也很容易,故我们讲解的重点放在这些数的性质上,以及如何正确的运用这些性质解决数论问题。
一、最大公约数与最小公倍数的常用性质
(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
即若
(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
注:
表示两个数的最大公约数,
表示两个数的最小公倍数
(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如:
,210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如:
,而6,7,8的最小公倍数为
二、约数个数与所有约数的和
(1)求任一合数约数的个数:
一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:
1400严格分解质因数之后为
,所以它的约数有
。
(包括1和1400本身)
(2)求任一合数的所有约数的和:
一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。
如:
,所以21000所有约数的和为
三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数
(1)求几个分数的最小公倍数
求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数;
例如:
求
的最小公倍数
首先将3个分数化为最简分数,
由
,所以
,即它们的最小公倍数是12.
(2)求几个分数的最大公约数
求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.
例如:
求
的最大公约数
首先将3个分数化为最简分数,
由
,所以
,即它们的最大公约数是
.
四、完全平方数的性质
1.常用主要性质:
●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
●完全平方数除以9的余数只可能为0,1,4,7
●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
●若质数p整除完全平方数
,则p能被
整除。
2.一些推论:
●任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
●自然数的平方末两位只有:
00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
●完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。
●完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。
●凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾
平方差公式:
【备注】
习题部分难度等级说明:
共分为※至“※※※※※”,
1※题目为熟悉基本概念使用,2※题目为熟悉基本思路和技巧
3※题目为本章节重点代表性题型,难度中等
4※题目为数论综合能力提高型题目,难度较大,需对技巧和知识综合运用
5※题目为高难度题型,要求高难度综合技巧,知识点要求理解深刻
【习题精讲】
【约数倍数的常用性质】
【例1】(难度等级※)
数360的约数有多少个?
这些约数的和是多少?
【例2】(难度等级※)
甲乙两数最小公倍数是60,最大公约数是6,已知甲数是12,求乙数.
【拓展】(难度等级※※)
甲乙两个自然数的最大公约数是7,并且甲数除以乙数所得的商是l
.那么乙数是多少
【例3】(难度等级※)
一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?
【例4】(难度等级※※)
3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?
【例5】(难度等级※※※)
10个非零不同自然数的和是1001,则它们的最大公约数的最大值是多少?
【例6】(难度等级※※※)
A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数,数B有10个约数,那么A,B两数的和等于多少?
【拓展】(难度等级※※※)
设A共有9个不同的约数,B共有6个不同的约数,C共有8个不同的约数,这三个数中的任何两个都不整除,则这三个数之积的最小值是多少?
【例7】(难度等级※※※)
已知自然数A、B满足以下2个性质:
(1)A、B不互质
(2)A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。
那么A+B的最小值是多少?
【拓展】(难度等级※※※※)
有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?
【例8】(难度等级※※※)
已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440,那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少?
【拓展】(难度等级※※※※)
a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15;a,b的最大公约数是75;a,b的最小公倍数是450;b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?
【拓展】(难度等级※※※※※)
a、b、c是三个互不相等的非0自然数,他们的和是1155,则他们最大公约数的最大值是多少?
最小公倍数的最小值是多少?
最小公倍数的最大值是多少?
【典型约数倍数数论应用题】
【例1】(难度等级※※※)
3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长
千米,中圈跑道长
千米,外圈跑道长
千米.甲每小时跑
千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?
【例2】(难度等级※※※)
有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?
【例3】(难度等级※※※)
在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种刻度线把木棍分成12等份,第三种刻度线把木棍分成15等份,如果沿每条刻度线把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
【例4】(难度等级※※※)
某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师,14个教学班.各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?
【完全平方数】
【例1】(难度等级※)
写出360到630的自然数中有奇数个约数的数.
【拓展】(难度等级※※※)
两个数乘积为2800,而且已知其中一个数的约数比另一个数的约数个数多1.那么这两个数分别是多少?
【例2】(难度等级※※)
一个正整数加上32和132后都等于完全平方数,求这个正整数是多少?
【拓展】(难度等级※※※)
有2个两位数,它们的差是14,将它们分别平方,得到的两个平方数末两位数相同,那么这两个两位数是多少?
写出所有可能情况。
【例3】(难度等级※※※)
自然数M、N的各位数字和分别是2000和2001,求证M、N都不是完全平方数
【例4】(难度等级※※※※)
a,b是两个不同的自然数,且ab=169(a+b),其中a+b是一个完全平方数,求a和b。
【例5】(难度等级※※※※※)
已知a,b,c都是整数,且(a,b,c)=1,满足ab+bc=ac,求证a-b是完全平方数
【作业】
1.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少?
2.525与一个整数的乘积是一个完全平方数,求这个整数最小是多少?
3.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?
4.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?
5.有甲乙两个数,它们的最小公倍数是甲数的27倍。
已知甲数分别能被2,4,6,8,10,12,14,16整除,但不是18的倍数,而乙数是两位数,则乙数是多少?
6.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?
7.一个正整数加上69和96后都等于一个完全平方数,求这个正整数是多少?
8.一个偶数,它的约数里最大的两个之和是120,求该数是多少?
9.已知A数有7个约数,B数有12个约数,且A、B的最小公倍数为1728,求B的值。
10.2个质数A、B互不相等,已知A的平方的2倍有4个约数,那么B的平方的4倍有多少个约数?
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- 小学 奥数王峰 数论 约数 倍数 完全 平方