七年级上册数学平面图形的认识一专题练习解析版.docx
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七年级上册数学平面图形的认识一专题练习解析版
-X初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.已知,∩ABC,点E是直线AC上一个动点(不与AzC重合),点F是BC边上一个定点,过点E作昭%C,交直线AB于点D,连接BE,过点F作曲色,交直线AC于点G.
图①
(1)如图①,当点E在线段AC上时,求证:
NDEB=NGFC・
(2)在
(1)的条件下,判断NDEC、NEGF、^BFG这三个角的度数和是否为一个泄值?
如果是,求出这个值,如果不是,说明理由.
(3)如图②,当点E在线段AC的延长线上时,
(2)中的结论是否仍然成立?
如果不成立,请直接写出上DEC、NEGF、NBFGZ间的关系・
(4)当点E在线段CA的延长线上时,
(2)中的结论是否仍然成立?
如果不成立,请直接写出NDEC、上EGF、^BFG之间的关系•
【答案】
(1)解:
JDE//BC
・•・XDEB=^EBC
•・・FG//BE
・•・XEBC=ZGFC・・GEB=NGFC
(2)解:
GEC、NEGF、NKFG这三个角的度数和为一个定值,是360"过点G作HGHDE,交BE于点H
・•・^DEC+^EGH=180*
•・・DE//BC
・•・HG//BC
・•・^HGF+ZBFG=ISQ9・•・ZDEC十ZEGH十ZHGF十4FG=360即ZDEC+ZEGF十ZBFG=360*
<
(3)解:
过点G作HG//DE,交BE于点H
∙∙∙^DEC-I-^EGH=I80'
•・・DE//BC
・・・HG//BC
・•・RGF亠刁FG=180•
・•・GEC+^EGH÷ZHGF+^BFG=360
即GEC÷^EGF+^BFG=360*
图②
故ZDEC+^EGF十ZBFG=360*的关系仍成立
(4)不成立IZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°
【解析】【解答】解:
⑷过点G作HGnDEf交BE于点H
・•・ZDEC=ZEGH
•・・DE//BC
・•・HG//BC
・•・ZHGF+ZBFG=I80°
•・•ZHGF=ZEGF-ZEGH
∙∙∙ZHGF=ZEGF-ZDEC
・•・ZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°
・•・
(2)中的关系不成立,ZEGF.ZDEC、ZBFG之间关系为:
ZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°故答案为:
不成立,ZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°
【分析】(I)根据两条直线平行,内错角相等,得出NDEB=NEEC;两条直线平行,
同位角相等,得出NTEC=GFC'即可证明^DEB=NGFC•
(2)过点G作
HG//DE,交BEF点H,根据平行线性质泄理,^DEC÷^EGH=180**
/7GF十APG=I80',即可得到答案•(3)过点G作HGJ/DEr交BEF点H,得到
^DEC÷^EGH=180*,因为DE//BC,所以HG//BC,得到//GF+NFFG=180「即可求解・(4)过点G作HGHDE,交BE于点H,得ZDEC=ZEGH,因为DS//BC,所以HG//BCy推得ZHGF+ZBFG=I80°,即可求解.
2.数轴上AzB,C,D四点表示的有理数分别为1,3,一5,—8
(1)计算以下齐点之间的距离:
①A、B两点,②B、C两点,③C、D两点,
(2)若点M、N两点所表示的有理数分別为m.n,求M、N两点之间的距离.
【答案】
(1)AB=3-1=2:
BC=3-(-5)=8:
CD=-5-(-8)=-5+8=3.
(2)MN=S-T
【解析】【分析】
(1)数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数,据此讣算即可:
(2)因为m、n的大小未知,则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.
3.如图,点C在乙AOB的边OA±,过点C的直线DEWOB,CF平分ΛACD,CG丄CF于C.
(1)若Z0=40%求ZECF的度数;
(2)试说明CG平分ZOCDx
(3)当ZO为多少度时,CD平分ZOCF?
并说明理由.
【答案】
(1)解:
∙.∙DE∕∕0B,.∙.Z0=ZACE,(两直线平行,同位角相等)•・・Z0=40%
・・・ZACE=40%•・・ZACD+ZACE=IgO「(平角定义)・:
ZACD=140。
又TCF平分ZACD,
^ACF=NDCF=70e(角平分线泄义)
・•・ZECF=IlO°
(2)证明:
VCG丄CF,
・•・^FCG=90r・
・•・4)CF+ZDCG=90°
又VZGCO+^GCD+ZFCA+ZFCD=180°(乎富定义)
・•・^GCO^ZFCA=^v
TXACF=^FDC
∙,∙^GCO=^DCG(等角的余角相等)
即CG平分ZOCD
(3)解:
结论:
当Z0=60°时,CD平分ZOCF・
当Z0=60°时
TDE//0B,
・•・ZDCO=Z0=60°.
・•・ZACD=I20°.
又∙.∙CF平分ZACD
・•・ZDCF=60%
・•・XDCO=^DCF
即CD平分ZOCF
【解析】【分析】
(1)根据平行线"两直线平行,同位角相等”,求得ZACE=40。
,根据平角的泄义以及CF平分ZACD,可得到ZACF=70%然后求出ZECF的度数:
(2)根据ZDCG+ZDCF=90%ZGCO÷ZFCA=90o,以及ZACF=ZDCF,可得到ZGCO=ZGCD,即可证明CG平分ZOCD;
(3)根据两直线平行,内错角相等得出ZDCO=ZO=60°,根据角平分线可得到ZDCF=60%以此可得ZDCO=ZDCF,即CD平分ZOCF.
4・如图1,已知ZABC=90JΔABE是等边三角形•点产为射线万C上任意一点(点f与点5不重合),连结曲,将线段曲绕点力逆时针旋转&T得到线段亦,连结少并延长交射线於C于点产・
(1)如图1,当BP=BA时,ZEBF=°,猜想ZQFC=
(2>如图2,当点产为射线风上任意一点时,猜想/血的度数,并说明理由:
【答案】⑴30;60
(2)解:
结论:
ZQFC=60。
如图:
・・・ZBAP=ZBAE≠ZEAP=60o≠ZEAF,ZEAQ=ZQAF≠ZEAP=60Q十ZEAF
・・・ZBAP=ZEAQ
在△ABF和2∆AEQ中,AB=AEfZBAP=ZEAQIAP=AQ
・•・4ABP丝ΔAEQ^)
・•・ZAEQ=ZABP=90Q.
:
・ZBEF=I80°-ZAEQ-ZAEB=I80°-90°-60Q=30Q
・•・ZQFC二ZEBF+ZBEF二30°+30°=60Q.
【解析】【解答】证明:
(1)∙.∙ZABC=9(Γ,△ABE是等边三角形,
・•・ZABE=60o,
••・ZEBF=30o;
猜想:
ZQFC=60°:
理由如下:
如图,
图E
•・・ZBAP=ZBAE-^EAP=60°-ZEAft
ZEAQ=ZQAP一ZE4P=60°一ZEAF,
.・・ZBAP=^EAQ,
・・・AB=AE,AP=AQ,
.・・4ABP^ΔAEQ^).
・•・ZAEQ=ZABP=90Q,
:
・ZBEF=I80°-ZAEQ-ZAEB=I80°-90°-60Q=30Q,
・•・ZQFC二ZEBF+ZBEF二30°+30°=60Q.
故答案为:
30:
60:
【分析】
(1)ZEBF与ZABE互余,而ZABE=600,即可求得ZEBF的度数:
先证明ZBAP=ZEAQ,进而得到AABP旻AAEQ,证得ZAEQ=ZABP=90o,则ZBEF=I80o-ZAEQ-ZAEB=I80o-90o-60o=30o,ZQFC=ZEBF+ZBEF,即可得到答案:
(2)先UE明ZBAP=ZEAQ,进而得到ZkABP旻AAEQ,证得ZAEQ=ZABP=90°,则ZBEF=I80o-ZAEQ-ZAEB=I80o-90o-60o=30%ZQFC=ZEBF+ZBEF,即可得到答案・5・如图①,ΔABC的角平分线BD,CE相交于点R
(2)如图②,过点P作直线MNIlBe分别交AB和AC于点M和N,试求ZMPB+ZNPC的度数(用含ZA的代数式表示).
(3)将直线MN绕点P旋转。
(i)当直线MN与AB,AC的交点仍分别在线段AB和AC上时,如图③,试探索ZMPB,ZNPC,ZA三者之间的数量关系,并说明你的理由。
(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中ZMPB,ZNPC,ZA三者之间的数量关系是否仍然成立?
若成立,请说明你的理由:
若不成立,请给出ZMPB,ZNPC,ZA三者之间的数量关系,并说明你的理由。
【答案】(Λ)ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB
11
=180°_UZABC÷-ZACB)
22
=180°-:
(180。
-ZA)
2
1
=90°÷-ZJ
2
=130Q故答案为:
130Q
得ZMPB+ZNPC=180-ZBPC=1801-(90'+^zA)=
9L-EzA;故答案为:
ZMPB+ZNPC=%r-左ZA・
1
(3){i)ZMPB+ZNPC=^OA・
理由如下:
1
•・・ZBPC=90。
+12z2凡
11
:
.ZMPB+ZNPC=180:
-ZBPe=280。
-(90”+^ZA)=^O-12A・
1
(ii)不成立,有ZMPB-ZNPC=90'-EzA・
理由如下:
由题图④可知ZMPB+ZBPC-ZNPC=180,
11
由⑴知:
ZBPC=90°+2zA,・•・ZMPB-ZNPe=/80”-ZBPC=180C-(90°+纟ZA)=
-ZBPC即可算出答案:
11
(3)(i)ZMPB+ZNPC=%r-EzA,理由如下:
由
(1)知ZBPC=%r+NA,然后根
拯平角的左义由ZMPB+ZNPC=180Q-ZBPC即可算出答案:
(ii)不成立,有ZMPB-ZNPC=
1
90°-Wza,根拯平角的定义及角的和差得出ZMPB+ZBPC-ZNPC=180σ,由⑴知:
1
ZBPC=+2zA,从而即可由ZMPB-ZNPC=180c-ZBPC得岀结论。
6.如图⑴,ABIlCDt在AB、CD内有一条折线EPE
(1)求证:
ZAEP+ZCFP=ZEPR
(2)如图
(2),已知ZBEP的平分线与ZDFP的平分线相交于点Q,试探索ZEPF与ZEQF之间的关系.
11
(3)如图⑶,已知ZBEQ= ZBfħ (4)已知ZBEQ二刀ZBEP,ZDFQ=CZDFP,则ZP与ZQ有什么关系・(直接写结论) 【答案】 (1)证明: 如图匕过点P作PGIlABZ (3)解: 如图3, 图3, 由 (1),可得 ZP=ZAEP+CFP>ZQ=ZBEQ+ZDFCb ZBEQ二二ZBEP,ZDFQ二二ZDFP, T33 : .ZQ=ZBEQ+ZDFQ 1 =_(ZBEP≠ZDFP), 3 =-[360O-(ZAEP+ZCFP)], =-×(360°-ZP), ・•・ZP+3ZQ=360° (4)解: 由 (1),可得 ZP=ZAEP+CFP,ZQ=ZBEQ+ZDFQ, mIn ZBEQ=-ZBEP,ZDFQ二-ZDFP, ∙.∙nn : .ZQ=ZBEQ+ZDFQ m 二—(ZBEP+ZDFP), n =-[360°-(ZAEP+ZCFP)], n In,。 二-X(360-ZP), n .∙.InZP+nZQ-360°m. 【解析】【分析】 (1)如图1,过点P作PGIlAB,根据两直线平行,内错角相等,可得 ZAEP=Z1,ZCFP=Z2,从而可得ZAEP+zCFP=ZEPF. (2)由 (1),可得ZEPF=ZAEP+CFP,ZEQF=ZBEQ+zDFQ,利用角平分线的定 1 义,可得ZEQF=ZBEQ+zDFQ=2(ZBEP+zDFP),利用平角定义,可得 ZBEP+zDFP=360o・(ZAEP+zCFP)=36OO-ZEPF,从而可得ZEPF+2zEQF=360o. (3)同 (2)方法,即可得岀ZP+3ZQ=360o・ (4)同 (2)方法,即可得出结论・ (1)如图,请证明ZA+ZB+ZC=180° (2)如图的图形我们把它称为"8字形〃,请证明ZA+ZB=ZC+ZD (3)如图,E在DC的延长线上,AP平分ZBAD,CP平分ZBCE,猜想ZP与ZB、ZD之间的关系,并证明 (4)如图,ABllCD,PA平分ZBACtPC平分ZACD,过点P作PM.PE交CD于M,交AB于E,则①Z1+Z2+Z3+Z4不变;②Z3+Z4-Z1-Z2不变,选择正确的并给予证明. 【答案】 (1)证明: 如图1,延长BC到D,过点C作CEIlBA, •・•BAIlCE, .∙.ZB=Z1, ZA=Z2, 又•・・ZBCD=ZBCA+Z2+Zl=180∖ ・•・ZA+ZB+ZACB=I80°: (2)证明: 如图2,在ZkAOB中,ZA+ZB+ZAOB=I80°. TZAOB=ZCOD, .β.ZA+ZB=ZC+ZD; (3)解: 如图3, ・・AP平分ZBAD,CP平分ZBCD的外角ZBCE, .∙.ZI=Z2,Z3=Z4,•・・(Z1+Z2)+ZB=(180°-2Z3)+ZD. Z2+ZP=(180o-Z3)+ZD,/.2ZP=180o+ZD+ZB, 1 ・•・ZP=90°+纟(ZB+ZD): (4)解: ②Z3+Z4-Z1-Z2不变正确.理由如下: ∙.∙ABIlCD, ••・PQllCD, 由ABIlPQ得ZAPQ+Z3+Z4=180%即ZAPQ=I80°-Z3・Z4, 由PQIlCD得Z5=Z2, TZAPQ+Z5+Z1=90% ・•・1800-Z3-Z4+Z2+Z1=90。 , /.Z3+Z4-Z1-Z2=900. 【解析】【分析】 (1)如图1,延长BC到D,过点C作CEIlBA,根据二直线平行,同位角相等、内错角相等得岀ZB=Zl,ZA=Z2,根据平角的窪义得ZBCA+Z2+ZI=180\再等量代换即可得出结论: ZA+ZB+ZACB=I80°; (2)根据三角形的内角和得出: 在AAOB中,ZA+ZB+ZAOB=I80\在ZkCOD中,ZC+ZD+ZCOD=I80°,根据对顶角相等得出ZAOB=ZCOD,根据等式的性质得岀ZA+ZB=ZC+ZD: (3)ZP=90o+^(ZB+ZD),理由如下: 根据角平分线的定义得岀ZI=Z2,Z3=Z4,根据 (2)的结论得出(Zl+Z2)+ZB=(180o-2Z3)÷ZD①,Z2÷ZP= (180o-Z3)+ZD②,由①得180°-2Z3=Z1+Z2+ZB-ZD③, (2)×2得: 1 2Z2+2ZP=2(180o-Z3)+2ZD④,将③代入④即可得出结论: ZP=90°+(ZB+ZD): (4)@Z3+Z4-Z1-Z2不变正确.理由如下: 作PQIlAB,如图4,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出PQIlCD,根据平行线的性质得出ZAPQ+Z3+Z4=180。 ,即ZAPQ=I80o-Z3-Z4,Z5=Z2,根摒角的和差得出ZAPQ+Z5+Z1=90%再整体替换即可得岀Z3+Z4-Z1-Z2=90°. &如图,在厶ABC中,点E在AC边上,连结BE,过点E作DFIlBC,交AB于点D•若BE平分ZABC,EC平分ZBER设ZADE=α,ZAED=β. (1)当β=80o时,求ZDEB的度数・ (2)试用含α的代数式表示B. (3)若β=kα(k为常数),求α的度数(用含k的代数式表示). 【答案】 (1)解: Vβ=80β, AZCEF=ZAED=80% TBE平分ZABC, ・•・ZBEC=ZCEF=80∖ ・•・ZDEB=I80°-80°-80°=20°: (2)•・・DFIlBC,/.ZADE=ZABC=Ob TBE平分ZABC,...ZDEB=ZEBC=評 TEC平分ZBEF, (3)∙.∙β=kα,.∙.90°-4cc=ka, 解得: 4⅛+1 【解析】【分析】 (1)根据对顶角的性质得到ZCEF=ZAED=80。 ,根据角平分线的泄义即可得到结论: (2)根据角平分线的左义和平行线的性质即可得到结论: 9.课题学习: 平行线的“等角转化功能. (2)问题情景: (3)根据题意列方程即可得到结论. 如图1»LA知点力是风外一点,连接W北,求NgAC+NB+NT 图2 天天同学看过图形后立即想出: ^BAC+^B÷=180,请你补全他的推理过程. 解: (1)如图1,过点力作EDIlFC,•・^B=又TZEAB+ZBAC+ZCAD=180P,二4AC+F+NC二18Cr・ 解题反思: 从上而的推理过程中,我们发现平行线具有"等角转化"功能,将^AC. A,Nt■"凑"在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决. (2)问题迁移: 如图2,AEIlED,求A+^BCD+ND的度数・ (3)方法运用: 如图3∙AEIlCZ),点C在©的右侧,ZADC=7Or,点万在力的左侧,^ABC=60σ,处平分^ABC,刃平分^ADC,BE、处所在的直线交于点上,点上在必与少两条平行线之间,求NBED的度数. 【答案】 (1)ZEAB;ZDAC (2)解: 过C作CFIlAB, ∙.βABIlDE,・∙.CFIlDEIlABt ・•・ZD=ZFCD,ZB=ZBCF, •・•ZBCF+ZBCD+ZDCF=360∖ ・・・ZB+ZBCD+ZD=360o, (3)解: 如图3,过点E作EFIlAB, ∖∙ABIlCD,・∙.ABIlCDIlEF, ・•・ZABE=ZBEF,ZCDE=ZDEF, ∙.βBE平分ZABC,DE平分ZADC,ZABC=60o,ZADC=70% 11 ・•・ZABE=ZzABC=30o,ZCDE=ADC=350 【解析】【解答】解: ・•・ZBED=ZBEF+ZDEF=30o+35o=65o. (1)根据平行线性质可得: 因为EDIlBC>所以NB=ZEAB, ZB+ZBCD+ZDZBCF+ZBCD+ZDCF: (2)过C作CFIlAB,根拯平行线性质可得;(3) 如图3,过点E作EFIlAB,根据平行线性质和角平分线泄义可得ZABE=^ZABC=30°, 1 ZCDE=^ZADC=35∖故ZBED=ZBEF+ZDER10•问题情景: 如图1,AB∕∕CD,ZPAB=I30o,ZPCD=I20°,求ZAPC的度数・ 小明的思路是: 过点P作PE//AB, ・•・ZPAB+ZAPE=I80°. ••・ZPAB=I30%・•・ZAPE=50o TAB//CD,PE//AB,・β.PE∕∕CD> ・•・ZPCD+ZCPE=I80°・ ••・ZPCD=I20°,・•・ZCPE=60o ••・ZAPC=ZAPE+ZCPE=IlOo. 问题迁移: 如果AB与CD平行关系不变,动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时, ZPAB,ZPCD的度数会跟着发生变化. (1)如图3,当动点P运动到直线AC右侧时,请写岀ZPAB,ZPCD和ZAPC之间的数量关系? 并说明理由. (2)如图4,ACbCQ分别平分ZPAB,ZPCD,请直接写出ZAQC和ZAPC的数量关系 (3)如图5,点P在直线AC的左侧时,AQ,CQ仍然平分ZPAB,ZPCD,请直接写出 ZAQC和角ZAPC的数量关系 【答案】(I)ZPAB+ZPCD=ZAPC理由: 如图3,过点P作PFIlAB, ∖∙ABllCD,PFIlAB, ・•・PFIlCD, ・•・ZPCD=ZCPF, ・・・ZPAB+ZPCD=ZAPF+ZCPF=ZAPC,即ZPAB+ZPCD=ZAPC 故答案为: ZPAB+ZPCD=ZAPC (2〉^AQC=^ZAPC (3)2ZAQC+ZAPC=360o 【解析】【解答】 (2)^AQC=I^APC ・•・ZQAB二2ZPAB,ZQCD=EZPCD,IlI : .ZQAB+ZQCD=ZPAB+2ZPCD=纠ZPAB+ZPCD),由 (1),可得ZPAB+ZPCD=ZAPC, ZQAB+ZQCD=ZAQC 1 ・•・ZAQC=2ZAPC 故答案为: ZAQC=2zAPC: (3)2ZAQC+ZAPC=360o理由: 如图5,过点P作PGIlAB, ・•・ZPAB+
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