高中数学等差数列.docx

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高中数学等差数列

【高中数学】等差数列

（一）教学目标

1．知识与技能:

通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2.过程与方法:

让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:

培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

（二）教学重、难点

重点：

理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：

概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

（三）学法与教学用具

学法：

引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具：

投影仪

（四）教学设想

[创设情景]

上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

[探索研究]

由学生观察分析并得出答案：

（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：

0，5，____,____,____,____,……

2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。

该项目共设置了7个级别。

其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：

kg）：

48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。

如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：

m）：

18，15.5，13，10.5，8，5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%。

那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：

时间

年初本金（元）

年末本利和（元）

第1年

10000

10072

第2年

10000

10144

第3年

10000

10216

第4年

10000

10288

第5年

10000

10360

各年末的本利和（单位：

元）组成了数列：

10072，10144，10216，10288，10360。

思考：

同学们观察一下上面的这四个数列：

0，5，10，15，20，…… ①

48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③

10072，10144，10216，10288，10360 ④

看这些数列有什么共同特点呢？

（由学生讨论、分析）

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5 ；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5 ；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5 ；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72 ；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：

每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

[等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。

请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

提问：

如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由学生回答：

因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：

A-a=b-A

所以就有

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：

1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？

这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。

下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。

由学生经过分析写出通项公式：

①    这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？

引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

（n-1）个等式

所以

……

思考：

那么通项公式到底如何表达呢？

……

得出通项公式：

由此我们可以猜想得出：

以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。

选讲：

除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）：

是等差数列，所以

……

两边分别相加得

所以

（迭代法）：

是等差数列，则有

……

所以

[例题分析]

例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？

如果是，是第几项？

分析：

⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。

首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；

⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。

要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。

解：

⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得

⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

例题评述：

从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

解：

根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.

令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。

那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费

答：

需要支付车费23.2元。

例题评述：

这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。

（放投影片）思考例题：

例3已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：

判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：

取数列中的任意相邻两项（n＞1），

求差得

它是一个与n无关的数.

所以是等差数列。

课本左边“旁注”：

这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项。

由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.

例题评述：

通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：

如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

[探究]

引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。

这个图象有什么特点？

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？

据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：

⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。

经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。

于是可以得出结论：

等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。

该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。

[随堂练习]

例1之后：

课本45页“练习”第1题；

例2之后：

课本45页“练习”第2题；

[课堂小结]

本节主要内容为：

①等差数列定义：

即（n≥2）

②等差数列通项公式：

（n≥1）

推导出公式：

（五）评价设计

1、已知是等差数列.

⑴是否成立？

呢？

为什么？

⑵是否成立？

据此你能得出什么结论？

是否成立？

据此你又能得出什么结论？

2、已知等差数列的公差为d.求证：

感谢您的阅读，祝您生活愉快。