北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx
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北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx
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北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源:
2011-2012学年某省某市潮南区中考模拟考试数学卷(解析版)
考点:
三角形
c:
\iknow\docshare\data\cur_work\.manfen5\shiti\ccz_sx\
如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90o,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o,连结AE、BF.
求证:
(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF.
【答案】
见解析
【解析】解:
(1)证明:
在△AEO与△BFO中,
∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形,
∴AO=OB,OE=OF,∠AOE=90o-∠BOE=∠BOF,
∴△AEO≌△BFO,
∴AE=BF;
(2)延长AE交BF于D,交OB于C,则∠BCD=∠ACO,
由
(1)知:
∠OAC=∠OBF,
∴∠BDA=∠AOB=90o,
∴AE⊥BF.
(1)可以把要证明相等的线段AE,CF放到△AEO,△BFO中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得AO=BO,OE=OF,再找夹角相等,这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果,所以相等,由此可以证明△AEO≌△BFO;
(2)由
(1)知:
∠OAC=∠OBF,∴∠BDA=∠AOB=90°,由此可以证明AE⊥BF
来源:
2012-2013学年某省八年级上期中考试数学试卷(解析版)
考点:
四边形
c:
\iknow\docshare\data\cur_work\manfen5\shiti\ccz_sx\
如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=
AB,已知△ABE≌△ADF.
(1)在图中,可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法,使△ABE变到△ADF的位置;
(2)线段BE与DF有什么关系?
证明你的结论.
【答案】
(1)绕点A旋转90°;
(2)BE=DF,BE⊥DF.
【解析】本题考查的是旋转的性质,全等三角形的判断和性质
(1)根据旋转的概念得出;
(2)根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF,从而得出BE=DF,再根据正方形的性质得出BE⊥DF.
(1)图中是通过绕点A旋转90°,使△ABE变到△ADF的位置.
(2)BE=DF,BE⊥DF;
延长BE交DF于G;
由△ABE≌△ADF,得BE=DF,∠ABE=∠ADF;
又∠AEB=∠DEG;
∴∠DGB=∠DAB=90°;
∴BE⊥DF.
来源:
2012年某省东台市七年级下学期期中考试数学试卷(解析版)
如图,在△abc中,已知∠abc=30°,点d在bc上,点e在ac上,∠bad=∠ebc,ad交be于f.
1.求
的度数;
2.若eg∥ad交bc于g,eh⊥be交bc于h,求∠heg的度数.
【答案】
1.∠BFD=∠ABF+∠BAD(三角形外角等于两内角之和)
∵∠BAD=∠EBC,
∴∠BFD=∠ABF+∠EBC,
∴∠BFD=∠ABC=30°;
2.∵EG∥AD,∴∠BFD=∠BEG=30°(同位角相等)
∵EH⊥BE,
∴∠HEB=90°,
∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°.
【解析】
1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小,
2.在直角三角形中,有平行线,利用同位角即可求解.
三角形强化训练和深化☣
1、如图a是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是_________°.
解析:
由题意可知折叠前,由BC//AD得:
∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后,
∠GEF=∠DEF=25°
所以图b中,∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°
又在四边形CDGF中,∠C=∠D=90°
则由:
∠DGF+∠GFC=180°
所以:
∠GFC=180°-50°=130°
将纸带再沿BF第二次折叠成图C后
∠GFC角度值保持不变
且此时:
∠GFC=∠EFG+∠CFE
所以:
∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=105
2、在Rt△ABC中,∠A=90°,CE是角平分线,和高AD相交于F,作FG∥BC交AB于G,求证:
AE=BG.
解法1:
【解析】证明:
∵∠BAC=900
AD⊥BC
∴∠1=∠B
∵CE是角平分线
∴∠2=∠3
∵∠5=∠1+∠2
∠4=∠3+∠B
∴∠4=∠5
∴AE=AF
过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N
∴MN//AB
∵FG//BD
∴四边形GBDF为平行四边形
∴GB=FN
∵AD⊥BC,CE为角平分线
∴FD=FM
在Rt△AMF和RtNDF中
∴△AMF≌△NDF
∴AF=FN
∴AE=BG
解法2:
解:
作EH⊥BC于H,如图,∵E是角平分线上的点,EH⊥BC,EA⊥CA,
∴EA=EH,
∵AD为△ABC的高,EC平分∠ACD,
∴∠ADC=90°,∠ACE=∠ECB,
∴∠B=∠DAC,
∵∠AEC=∠B+∠ECB,
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE,
∴AE=AF,
∴EG=AF,
∵FG∥BC,
∴∠AGF=∠B,
∵在△AFG和△EHB中,
∠GAF=∠BEH
∠AGF=∠B
AF=EH
,∴△AFG≌△EHB(AAS)
∴AG=EB,
即AE+EG=BG+GE,
∴AE=BG.
3、如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AD为腰CB上的中线,CE⊥AD交AB于E.求证∠CDA=∠EDB.
解:
作CF⊥AB于F,交AD于G,
如图,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠ACF=∠BCF=45°,即∠ACG=45°,∠B=45°,
∵CE⊥AD,
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°,
∴∠1=∠2,
在△AGC和△CEB中
∠1=∠2
AC=CB
∠ACG=∠CBE
,∴△AGC≌△CEB(ASA),
∴CG=BE,
∵AD为腰CB上的中线,
∴CD=BD,
在△CGD和△BED中
CG=BE
∠GCD=∠B
CD=BD
,∴△CGD≌△BED(SAS),
∴∠CDA=∠EDB.
4、如图,已知AD和BC相交于点O,且
均为等边三角形,以
平行四边形ODEB,连结AC,AE和CE。
求证:
也是等边三角形
证明:
∵△OAB和△OCD为等边三角形,∴CD=OD,OB=AB,∠ADC=∠ABO=60°.
∵四边形ODEB是平行四边形,
∴OD=BE,OB=DE,∠CBE=∠EDO.
∴CD=BE,AB=DE,∠ABE=∠CDE.
∴△ABE≌△EDC.
∴AE=CE,∠AEB=∠ECD.
∵BE∥AD,
∴∠AEB=∠EAD.
∴∠EAD=∠ECD.
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEC=∠ADC=60°.
∴△ACE为等边三角形.
5.如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=16,对角线AC与BD交于点E,过E作EF⊥AB于点F,O为边AB的中点,且FE+BO=8.求AD+BC的值.
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点,且
求证:
BD=BA。
解:
如图:
以AD为边,在△ADB中作等边三角形ADE,连接BE.
∵∠BAE=90°-60°-15°=15°,即∠BAE=∠CAD,且AB=AC,AE=AD,
∴△EAB≌△DAC(SAS),
∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°,
∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°,即∠BEA=∠BED;
又∵AE=ED,BE=BE,
∴△BEA≌△BED(SAS),
∴BA=BD.
7.已知,如图D是
的边BA延长线上一点,有AD=BA,E是边AC上一点,且DE=BC
求证:
延长CA至F,使得AF=CA
则三角形DAF与三角形BAC全等,
DF=BC,且 又DE=BC=DF,所以三角形DFE为等腰三角形,所以 8.如图,已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心,点E,F分别在边AB,AC上,且满足 。 求 的周长。 过D做AC和AB的垂线交与HG 找到一个I点,使∠EDI=60度 可以证明。 过D做AC和AB的垂线交与HG 找到一个I点,使∠EDI=60度 那么三角形HDF和GDI全等。 证明: ∠HDG=120∠FDI=120(2个60度相加) ∠HDG-∠FDG=∠FDI-∠FDG ∠HDF=∠GDI DH=GD ∠DHF=∠DGI=90度 由此可知FD=ID 那么三角形FDE和IDE全等。 证明: 因为FD=ID ED=ED ∠FDE=∠IDE=60° 由此可知FE=IE(蓝色线) 那么三角形AFD和BID全等。 证明: ∠ADB=120∠FDI=120(2个60度相加) ∠ADB-∠ADI=∠FDI-∠ADI 所以∠BDI=∠FDA 因为FD=ID,AD=BD 那么,AE=BI(红色线) 最后,AE+EF+FA=AE+EI+IB=单边长。 为固定值。 初一下册数学难题(全内容) 1、解方程: ,则 =60° 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg,问10%和5%的盐水各需多少kg? 设需10%的盐水X千克,则需要5%的盐水(10-X)千克 X*10%+(10-X)*5%=10*8% 5%X=0.3 X=6 10-6=4(千克) 所以需10%的盐水6千克,则需要5%的盐水4千克 3、已知 的解为正数,则k的取值X围是 4、 (2)若 的解为x>3,则a的取值X围 (3)若 的解是-1<x<1,则(a+1)(b-2)= (4)若2x<a的解集为x<2,则a= (5)若 有解,则m的取值X围 5、已知 ,x>y,则m的取值X围; 6、已知上山的速度为600m/h,下上的速度为400m/h,则上下山的平均速度为? 7、已知 ,则x=,y=; 8、已知 ( ),则 , ; 9、当m=时,方程 中x、y的值相等,此时x、y的值=。 10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上,则a=。 11、 的解是 的解,求 。 12、若方程 的解是负数,则m的取值X围是。 13、船从A点出发,向北偏西60°行进了200km到B点,再从B点向南偏东20°方向走500km到C点,则∠ABC=。 14、 的解x和y的和为0,则a=。 15、a、b互为相反数且均不为0,c、d互为倒数,则 。 a、b互为相反数且均不为0,则 。 a、b互为相反数,c、d互为倒数, ,则 。 16、若 ,则m0。 (填“>”、“<”或“=”) 17、计算: ; 。 18、若 与 互为相反数,则 。 19、倒数等于它本身的数是: ;相反数等于它本身的数是: 。 20、有23人在甲处劳动,17人在乙处劳动,现调20人去支援,使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍,应调往甲乙两处各多少人? 21、如图 (1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E 的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E. 图1图2图3 (1)试说明: BD=DE+CE. ∵∠ABD+∠BAD=90°,∠CAE+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE 在Rt△ABD和Rt△CAE中,∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA=90°,AB=CA,∴△ABD≌△CAE, ∴BD=AE,AD=CE,∵DE+AD=AE,∴DE+CE=AE=BD (2)若直线AE绕A点旋转到图 (2)位置时(BD 不需说明. DE=BD+CE(AAS) (3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何? DE=BD+CE(AAS) 22、如图,已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900,等腰Rt△EOF中,∠EOF=900,连结AE、BF.求证: (1)AE=BF; (2)AE⊥BF. 证明: (1) ∵∠AOE+∠EOB=∠AOB=90º ∠BOF+∠EOB=∠EOF=90º ∴∠AOE=∠BOF 又∵AO=BO,EO=FO ∴⊿AOE≌⊿BOF(SAS) ∴AE=BF (2) ∵⊿AOE≌⊿BOF ∴∠OAE=∠OBF 延长AE交BF于G ∵∠ABO+∠BAE+∠OAE=90º ∴∠ABO+∠BAE+∠OBF=90º ∴∠AGB=90º 即AE⊥BF 23、如图示,已知四边形ABCD是正方形,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,AF= AB, 已知△ABE≌△ADF. (1)在图中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE变到△ADF的位置;(3分) (2)线段BE与DF有什么关系? 证明你的结论。 (10分) BE=DF且垂直于DF 过程如下: ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD ∵E是AD的中点 ∴AE=1/2AD 又∵AF=1/2AB ∴AE=AF ∵∠DAB=90° ∴∠DAF=90° ∴△DFA≌△BEA(边角边) ∵∠FDA+∠F=90°,∠EBA=∠FDA ∴∠F+∠EBA=90° ∴∠FPB=90°(P是延长后交DF的点) ∴BE⊥DF 24、上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案: (Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. (Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. (1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行? 若可行,请证明;若不可行,请说明理由.(9分) (2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行? 请说明理由.(5分)
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