中央电大土木工程本科工程数学形成性考核册答案解析.docx
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中央电大土木工程本科工程数学形成性考核册答案解析
工程数学作业
(一)答案(满分100分)
第2章矩阵
一)单项选择题(每小题2
分
,共20分)
a1
a2
a3
a1
a2
a3
1•设
b1
b2
b3
—
2,则
2a
1-旳
2a2-
3b2
2a3—3b3
=(D)
C1
C2
C3
C2
C3
A.4
B.
一
4
C.6
D
一6
0
0
0
1
0
0
a
0
2•若
0
2
0
0
=
1,则
a:
二(A)
•
1
0
0
a
1
1
A.—
B
-1
C.-
—
D.1
2
2
j
1
一
们「一10
31
3•乘积矩阵
1-
中兀素
C23—
(C
)•
2
4
[52
A.1
B
.7
C.10
D.8
4•设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是(B)
11_1
A.A+B|=A+BB.(AB)」=|BA
C.(AB)」二A」B」D.(AB)」=A」B」
5•设A,B均为n阶方阵,k.0且k=1,则下列等式正确的是(D)
B.若A,B均为n阶对称矩阵,贝VAB也是对称矩阵
C.若A,B均为n阶非零矩阵,贝UAB也是非零矩阵
D.若A,B均为n阶非零矩阵,贝UAB式0
8•方阵A可逆的充分必要条件是(B).
A.AHOB.A|^0C.A*式0D.A*>0
9•设A,B,C均为n阶可逆矩阵,则(ACB)4二(D)•
A.(B)4A4C4B.BC’A'
C.A4C4(B4fD.(B'c*
•设A,B,C均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A)
A.(AB)2二A22ABB2B.(AB)B=BAB2
C.(2ABC)-=2CJBJAJD.(2ABC)=2CBA
CI.
(二)填空题(每小题2分,共20分)
2
-1
0
1.
1
-4
0
=7.
0
0
-1
-1
1
1
2.
1
-1
x
是关于X的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是
2
1
1
-1
3•若A为34矩阵,
B为25矩阵,切乘积ACB•有意义,贝V
卫一3
_A1O]
-4
耐O1
A?
一
7。
心
10•设几,A2是两个可逆矩阵,则
(三)解答题(每小题8分,共48分)
■-1们
_43
_121
1•设A=
[-35j
(AB)C.
54
_3-1
,求⑴AB:
⑵AC:
⑶2A3C:
⑷A5B•,⑸AB;(6)
答案:
A+B=f3]
J8J
26
12
A5B
22
0
A60AT
6
4
7
12
"1716]
2A3C=
_37
5621
J5180
(AB)C=
2•设A二T2
L0-1
‘B=i10
21
C=
■-1
|3
:
0
-2
41
,求ACBC•
0解:
ACBC=(AB)C=
-2
41
1
‘2
-410
210
■3
3•已知A=—1
01
1
■1
B=—1
一2
21
1
求满足方程
3A—2X=B中的X•
解:
;3A-2X
1
0
2
0
-1
4
3
6
0
2
-53
3
1
1
0
a41,a42的代数余子式,并求其值.
020
1
2
0
a41=(—1)4十436=0a42=(—1)4七
-1
3
6
=45
2—53
0
-5
3
4.写出4阶行列式
中元素
答案:
5•用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
_1
2〕
-2
解:
-2
01
0
]=
2
1
-2
2
-2
1
-2
2
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
2
-6
-3
1
_3
2
3
2
9
"22
-6
-26
17
—17
5
20
—13
_1
0
2
-1
.4
-1
-5
3
(过程略)
(2)A4
1
-2
-2
1
9
2
9
2
9
0
-3
0
一2
-6
9
1
3
-2
2
2
3
1
-2
2
9
1
9
2
_9
2
9
2
9
1
一
9
1-92-
2-91-
A4
_1
-1
92-9_
-2-9
9
2-9291-9
0
.0
-1
1011011
1101100
6.求矩阵的秩.
1012101
(四)证明题(每小题4分,共12分)
7•对任意方阵A,试证AA•是对称矩阵.
证明:
(AA')'二A'(A')'二A'A=AA'
,"”A+A"是对称矩阵
8•若A是n阶方阵,且AA'=I,试证A=1或-1.
证明:
;A是n阶方阵,且AA=\
2
|aa|=a|a"=a=1=1
|A=1或A=-1
9•若A是正交矩阵,试证A•也是正交矩阵.
证明:
幕A是正交矩阵
.A1二A
(A),=(A」)‘二A=(A)
即A•是正交矩阵
工程数学作业(第二次)(满分100分)
第3章线性方程组
%+2x2—4x3=1
_xj
1X2+X3
=0的解
X2
L._X3
=2
-
X3一
(一)单项选择题(每小题2分,共16分)
1•用消元法得
为(C).
B.[-7,2,-2]
D.[-11,-2,-2]
=2
2•线性方程组*X1
=6(B).
A.有无穷多解
-X3
-3x2'3x3
B.有唯一解C.无解D.只有零解
=4
-
11
[
■01
[
11
[
11
4•设向量组为切=
1
Ct2=
0
°3=
0
Ct4=
1
,则(B
0
1
1
1
-
0_
1
1_
L
0_
1
1_
D.5
)是极大无关组.
A.:
■1,:
■2
B.:
1,:
2,〉3
C.4,:
•2,「4
D.:
-4
5.A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(
A.秩(A)二秩(A)B.秩(A):
:
:
秩(A)
C.秩(A)•秩(A)D.秩(A)二秩(A)-1
6•若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A)
A.可能无解B.有唯一解C.有无穷多解D.无解
7•以下结论正确的是(D)
A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B.方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D.齐次线性方程组一定有解
8.若向量组宀,:
・2,…,线性相关,则向量组内(A)可被该向量组内其余向量线性表出.
A.至少有一个向量
B.没有一个向量
C.至多有一个向量
9.设A,B%n阶矩阵,
A.,是AB的特征值
C.,是A—B的特征值
D.任何一个向量
■既是A又是B的特征值,x既是A又是B的属于■的特征向量,则结论()成立.
B.,是A+B的特征值
D.x是A+B的属于■的特征向量
10.设A,B,P为n阶矩阵,若等式(C)成立,则称A和E相似.
A.AB=BAB.(AB)=ABC.PAPD.PAP:
=B
(二)填空题(每小题2分,共16分)
1Xix?
=01•当■二1时,齐次线性方程组12有非零解.
Ix1x^0
2•向量组1-0,0,02=1,1,11线性相关.
3•向量组1,2,31,1.1,2,01,1,0,01,0,0,01的秩是3.
4•设齐次线性方程组C(1X1+5X2+5X3=0的系数行列式妝10(203=0,则这个方程组有无穷多解,且系数列向量〉1,〉2,〉3是线性相关的.
5•向量组=〔1,01,〉2=•0,11〉3「0,01的极大线性无关组是冷,〉2.
6•向量组:
',〉2,…,〉s的秩与矩阵L\,「2,…,〉s1的秩相同.
7•设线性方程组AX=0中有5个未知量,且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.
8•设线性方程组AX=b有解,X0是它的一个特解,且AX=0的基础解系为X1,X2,则AX=b的通解为
X0k1X1k2X2.
9.若■是A的特征值,则’是方程,1—A=0
的根.
10.若矩阵A满足AJ^A
,则称A为正交矩阵.
11分)
(三)解答题(第1小题9分,其余每小题
1•用消元法解线性方程组
'X1
—3x2
-2x3
—X4
=6
3x1
J
—8x2
+X3
+5x4
=0
-2x1
+x2
-4x3
+x4
=-12
.一X1
+4x2
—X3
—3x4
=2
解:
■1
-2
-1
61
⑶1曲
1-3
-2
-1
61
■1
0
19
23
_48「
3
-8
1
5
0
2r1七
LrJr^__.
01
7
8
—18
5r2十3
|0
1
7
8
—18
-2
1
-4
1
-12
0-5
-8
-1
0
0
0
27
39
-90
4
-1
2一
I
01
-3
-4
8一
0
0
-10
-12
26一
A工
2•设有线性方程组
1九1
y
=
J1―
1i
n2A
1[「x]
_11
1
其中
当,1且,_2时,R(A)=R(A)=3,方程组有唯一解当’=1时,R(A)二R(A)=1,方程组有无穷多解
-8
-3
-5
0
-6
3
-10.
解:
向量:
能否由向量组冷,〉2,〉3线性表出,当且仅当方程组
这里瓦-匕1,:
:
3:
1=
-2
_-2
3
-5
-8'
■1
0
3
7
7
-5
-6
-3
>>
0
1
-3
41
1
0
3
7
0
0
10
-117
L3
-2
1
-10
0
0
0
571
〉1Xi卜工2X2叱3X3=:
有解
R(A)=R(A)
.方程组无解
二B不能由向量s%线性表出
4•计算下列向量组的秩,并且
(1)判断该向量组是否线性相关
「11「3]--11
-1
I2
3
'.4
-7
-3
9
8
d3=
0
m4=
6
9
-3
3
」3一
1
-3
1
6
:
2
解:
、1,為
■1
3
-1
们
■1
3
-1
1_
-1
-7
-3
9
0
1
1
2
2
8
0
6
0
0
0
18
3
9
-3
3
0
0
0
0
L4
13
-3
6
0
0
0
0
•该向量组线性相关
5.求齐次线性方程组
X1
—3x2
+X3—2X4=0
-5x1
认
_2x3+3x4=0
"1
-X1
—11X2
+2x3_5x4=0
”3x1
+5x2
+4x4=0
的一个基础解系.
解:
-3
-14
-14
14
1
0
1
0
1
0
1
2
1
1
1「2
14r _5_ 14 1-220 T— 5 rl - A 5 3 14 0 0 1ooo_ _5_ 14 3 14 0 0 1 2 1 2 1 0 "I3丄 5 1_ 〒才2十1 1 0 14 2 f+4 0 -14 3 —7 l 0 0 0 0 j 0 0 0 3一 -2 1 0 0 10 _5_ 14 3 14 0 0 5 Xi=—X3 14 3 二方程组的一般解为祕2=—X3 14 X4=0 -2 14 3 令X3=1,得基础解系匕=~ 14 0 .1 6•求下列线性方程组的全部解. x〔—5x? +2x§ -3x4 =11 -3x1■'x2-4X3 2x4 --5 _x〔-9X2 -4X4 =17 5x13x26X3 -X4 --1 解: -7 1,彳 r r —— 9 +-k2+1 2 II _9 2 - x2 1 1 1 1 -2 = zk1 -二k2-2 =k1 +k2 + X3 7 2 7 2 0 k1 1 0 X4一 0 [ k2一 1 0_ 1 1_ 令X3=佥,X4=k2,这里k1, k2为任意常数,得方程组通解 7.试证: 任一4维向量 : =a1,a2,a3,a41都可由向量组 : '1 _1 ■1 : '2 : '3= : '4 线性表示, 和 _01 0 01 0 1 0 0 O(2—W= 口3-口2= 口4—5= 0 0 1 0 11 0一 1l 0_ 11 1_ 卫 写出这种表示方式. 且表示方式唯一, 证明: 二1 任一4维向量可唯一表示为 •a2(二2「二1)•a3(二3-「2)•a4(_: i4-「3) 8•试证: 线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是: 相应的齐次线性方程组只有零解. 证明: 设AX=B为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解,即R(A)二R(A)二n 从而AX=: B有唯一解当且仅当R(A)=n 而相应齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是R(A)二n .AX-B有唯一解的充分必要条件是: 相应的齐次线性方程组AX=O只有零解 1 9•设'是可逆矩阵A的特征值,且■-0,试证: 一是矩阵AJ的特征值. 证明: 幕,是可逆矩阵A的特征值 .存在向量■,使A=■ IE=(A」A)三=A」(A=)=A」(敢)=XA」E=£ .A「丄 k 即-是矩阵A,的特征值 Z 10.用配方法将二次型fxfxfx22x1x2-2x2x4-2x2x32x3x4化为标准型. 解: f=(x-! x2)2xfx2—2x2x4-2血禺2x3x^=(x,x2)2xf2禺(一血%)£-2x2x4 =(x1x2)2(x3—X2X4)2-x; 令yiX2,y2=X3-X2X4,y3=X2,X4=『4 乂=y-—『3 x2=y3 即273 X3*2y3-y4 X47 则将二次型化为标准型f=y-2y2-yf 工程数学作业(第三次)(满分100分) 第4章随机事件与概率 B.AB7 C.AB一一且AB=U D.A与B互为对立事件 3.10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D) 3222 A.Cio070.3B.03C.0.70.3D.30.70.3 4.对于事件A,B,命题(C)是正确的. A.如果A,B互不相容,则A,B互不相容 B.如果AB,则AB C.如果A,B对立,则A,B对立 D.如果A,B相容,则A,B相容 5•某随机试验的成功率为p(0: : : p: : : 1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D) A.(1—p)3B.1-p3C.3(1—p)D.(1—p)3p(1—p)2p2(1—p) 6.设随机变量X~B(n,p),且E(X)=48,D(X)=0.96,则参数n与p分别是(A) 1.从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为 2. 0.3 已知P(A)=0.3,P(B)=05,则当事件A,B互不相容时,P(AB)二0.8,P(AB)二 3.A,B为两个事件,且BA,则P(A•B)二PA. 4.已知P(AB)=P(AB),P(A)=p,贝yP(B)=1-P. 5.若事件A,B相互独立,且P(A)二p,P(B)二q,贝UP(AB)二pq-pq. 6. 0.3 已知P(A)=0.3,P(B)=05,则当事件A,B相互独立时,P(AB)工0.65,P(AB) 0XEO 7.设随机变量X~U(0,1),则X的分布函数F(x)=』xOcx<1. 1x 8.若X~B(20,0.3),则E(X)二. 9.若X~N(\匚2),则P(X_」乞3;「)=2: .: 」(3)• 10.E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为二维随机变量(X,Y)的协方差 (三)解答题 1.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算分别表示下列事件: ⑴A,B,C中至少有一个发生; ⑵A,B,C中只有一个发生; ⑶A,B,C中至多有一个发生; ⑷A,B,C中至少有两个发生; ⑸A,B,C中不多于两个发生; ⑹A,B,C中只有C发生. 解: (1)ABC (2)ABCABCABC(3)ABCABCABCABC ⑷ABACBC(5)ABC(6)ABC 2.袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率: ⑴2球恰好同色; ⑵2球中至少有1红球. B=“2球中至少有1红球” 2C;C;C;639 P(B)3勺3 5c2 3.加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是解: 设A二“第i道工序出正品”(i=1,2) P(AA2)=P(AJP(A2|A1)=(1-0.02)(1-0.03)=0.9506 4.市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占 90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率. 解: 设A1兰产品由甲厂生产"A2="产品由乙厂生产B兰产品合格" P(B)二P(A)P(B|AJP(A2)P(B|A2)P(Ao)P(B|Aa) 0.50.90.30.850.20.80=0.865 5.某射手连续向一目标射击,直到命中为止.已知他每发命中的概率是解: P(X=1)=P P(X=2)=(1—P)P P(X=3)=(1—P)2P I! 2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工 3%,求加工出来的零件是正品的概率. 30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为 A3="产品由丙厂生产" p,求所需设计次数X的概率分布. P(X=k)=(1_戸)7 故X的概率分布是 k (1-P)k」P 123 ]2 P(1-P)P(1-P)P 6.设随机变量X的概率分布为 0123456 匕0150.20.30120.10.03一 试求P(X空4),P(2乞X乞5),P(X-3)• 解: P(X乞4)=P(X=0)P(X=1)-P(X=2)P(X=3)P(X=4)=0.10.150.20.3-0.12=0.87 P(2EX乞5)=P(X=2)P(X=3)P(X=4)P(X=5)=0.20.30.12•0.1=0.72P(X-3)=1_P(X=3)=1—0.3=0.7 7.设随机变量X具有概率密度 心*1 [0,其它 11 试求P(X),P(X: : 2). 24 1 22xdx 1 1-解: P(X)2f(x)dx二 9.设X~N(1,0.62),计算⑴P(0.2: : X: : 18);⑵P(X0). 解: X_1 P(0.2X: : 1.8)=P(—1.331.33i: "33)—「(T.33)=2: fl.33T=20.9082—1=0.8164 0.2 P(X0^P
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- 中央电大 土木工程 本科 工程 数学 形成 考核 答案 解析
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