初中几何专题练习.docx
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初中几何专题练习
1.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
2.如图,在△ABC中,∠ABC=48°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,则∠ADC= .
3.如图:
在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;
证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
4.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.
5.如图所示,已知E是∠AOB的角平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.
求证:
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OE是CD的垂直平分线.
6.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且DE=DC.
(1)求证:
BD平分∠ABC;
(2)若∠A=36°,求∠DBC的度数.
7.如图,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积是60,AB=18,BC=12,则DE=______.
8.如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且点B、C在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。
求证:
(1)△ABD≌△CAE;
(2)若BD=2.5,DE=1.7,求CE的长。
9.如图,∠B=∠C=90°,DM平分∠ADC,AM平分∠DAB。
求证:
MB=MC。
10.如图,△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC.
A
C
BD
11.如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE=
BD,求证:
BD是∠ABC的角平分线.
12.如图,已知等边△ABC边长为1,D是△ABC外一点且∠BDC=120°,BD=CD,∠MDN=60°.
求证:
△AMN的周长等于2.
13.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC的中点,点M是BD上一点,过C作CN⊥AM于N,交AD于E,求证:
BM=AE.
A
NE
BMDC
14.如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD.求证:
BC=AB+CE.
15.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE是△ABC的角平分线.相交于点O,求证:
BC=BE+CD.
16.如图,在等边△ABC中,点D、E分别是BC、AB上的点,且AE=BD,AD与CE相交于点F,
17.
(1)求证:
AD=CE
(2)求∠DFC的度数.
17.如图,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.
(1)求证:
PA平分∠BAC的外角∠CAM;
(2)过点C作CE⊥AP,E是垂足,并延长CE交BM于点D,求证:
CE=ED;
18.如图,点D、E分别在等边形△ABC的边CB、AC的延长线上,BD=CE,连接EB且延长交AD于F,求证:
∠AFB=60°.
19.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,点D在BC上,过D点的直线分别交AB于点E,交AC的延长线于点F,且BE=CF.求证:
DE=DF.
20.如图,已知∠AOB=120°,OM平分∠AOB,将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与OA、OB(或其所在直线)交于点C、D.
(1)如图①,当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时,证明:
PC=PD.
(2)如图②,当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时,线段PC和PD相等吗?
请说明理由.
(3)如图③,当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时,线段PC和PD相等吗?
直接写出你的结论,不需证明.
21.已知,如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE,求证:
BE+DF=AE.
22.如图,在△ABC中,∠ACB=90°.AC=BC.BE垂直CE于点E,AD垂直CE于点D,求证:
DE=AD-BE.
23.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:
BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.
求证:
①ME⊥BC;②DE=DN.
24.如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点,且AD=DE,EF∥BC交BD于F.
求证:
AB=EF.
25.如图,△ABC中,AB>AC,延长CA至点G,边BC的垂直平分线DF与∠BAG的角平分线交于点D,与AB交于点H,F为垂足,DE⊥AB于E.下列说法正确的是.(填序号)
①BH=FC;②∠GAD=
(∠B+∠HCB);③BE-AC=AE;④∠B=∠ADE.
26.四边形ABCD中,AC、BD相交于O,∠BAD=90°,且AB=AD,CD⊥BC,∠ACB=45°,
AC=BC
(1)求证:
△DCA≌△OCB.
(2)若AC=4,求四边形ABCD的面积.
A
OD
BC
27.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF.
28.数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE______DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)一般情况,证明结论:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你继续完成对以上问题
(1)中所填写结论的证明)
(3)拓展结论,设计新题:
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,则CD的长为______.
29.如图,在△ABC中,M为BC的中点,DM⊥BC,DM与∠BAC的角平分线交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:
BE=CF.
30.如图,△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F,求证:
EF=BE+CF.
31.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD与CE是角平分线,AD与CE相交于点F,
FG⊥AB,FH⊥BC,垂足分别为G,H.求证:
FE=FD.
32.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,且DC=AE,G是CE的中点,连接DG.
(1)求证:
DG⊥CE.
(2)作∠BEC的角平分线交BC于F,求证:
BE+BF=EC.
33.
(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:
BE=AD.
(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是(只填序号即可)①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°;
(3)如图2,在
(2)的条件下,求证:
PB+PC+PD=BE.
34.如图,△ABC中,AC=BC,点D在BC上,作∠ADF=∠B,DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.
(1)求证:
CF∥AB;
(2)若∠CAD=20°,求∠CFD的度数.
35.如图,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论:
①AD∥BC;
②∠ACB=2∠ADB;
③∠ADC=90°-∠ABD;
④BD平分∠ADC;
⑤∠BDC=
∠BAC.
其中正确的结论有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
36.
(1)在图1中,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.∠ABC=∠ADC=90°,则能得如下两个结论:
①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②;
(2)在图2中,把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
37.如图,△ABC中,∠B=34°,∠C=66°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数是.
38.如图,已知:
正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明;
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想.
39.如图,已知AD是△ABC的中线,分别以AB、AC为边向外作正方形,得正方形ABHG和正方形ACEF.
求证:
(1)GF=2AD
(2)GF⊥AD
40.如图,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC,BF⊥AE,交AC延长线于F,且垂足为E,则下列结论:
①AD=BF;②∠BAE=∠FBC;③S△ADB=S△ADC,④AC+CD=AB;⑤AD=2BE.其中正确的结论有.(填写番号)
41.已知四边形ABCD中AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
(1)当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时(图1),请证明:
AE+CF=EF.
(2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时,在图
(2)和图(3)这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请证明你的结论.
(3)如图(3),若EF=6,AB=2,求△BFE的面积.
42.如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图1).△ABD不动,
(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图2),证明:
MB=MC.
(2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图3),判断并直接写出MB、MC的数量关系.
(3)在
(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则
(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗?
说明理由.
43.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD﹣BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关,并加以证明.
44.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,
且∠BEC=∠CFA=∠α
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题①如图1若∠BCA=90°,∠α=90°,则BECF;EF|BE-AF|(>,<,=)②如图2若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于α和∠BCA关系的条件,使①中的两个结论仍成立,并证明这两个结论
(2)如图3若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段的合理猜想并证明.
45.如图,在Rt直角△ABC中,∠B=45°,AB=AC,点D为BC中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,下列结论:
①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确结论是( )
46.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD交AC的中垂线DE于D,交AC于H,连接AD,DG⊥BC于G,交AC于K,延长BA至F,使AF=GC,连接DF.
(1)当∠1+2∠2=90°时,证明:
DH=DK;
(2)当∠1=∠3时,证明:
DF⊥AF.
47.如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°。
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为______,数量关系为______ ;
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?
画出相应图形,并说明理由;(画图不写作法)
(3)若AC=
,BC=3,在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
48.如图1,定义:
在四边形ABCD中,若AD=BC,且∠ADB+∠BCA=180°,则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形,如图2,在等腰△ABE中,AE=BE,四边形ABCD是互补等对边四边形,求证:
∠ABD=∠BAC=
∠E.
49.已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB交于点C、D,PC和PD有怎样的数量关系,请说明理由.
50.如图,△ABC中,AB>AC,DF垂直平分BC交△BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足,DE⊥AB 于E,连接BD,CD.求证:
∠DBE=∠DCA.
51.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F.
请你猜想∠ADC和∠BDE关系,并证明你的猜想.
52.如图,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连结AE.
(1)AE∥BC.
(2)△ACE≌△BCD
53.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE、DE。
求证:
EC=ED.
54.如图,△ABC是等腰直角三角形,角ACB等于90°,AD是BC的中线,过C作AD垂线,交AD于点F,交AB于点E.求证:
∠ADC=∠BDE.
55.△ABD中,∠ABC=120°,以AC为边向三角形外作等边△ACD,求证:
BD=AB+BC.
B
AC
D
56.图中是一副三角板,45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处,∠A=30。
,∠E=45。
,∠EDF=∠ACB=90。
,DE交AC于点G,GM⊥AB于M.
(1)如图①,当DF经过点C时,作CN⊥AB于N,求证:
AM=DN.
(2)如图②,当DF∥AC时,DF交BC于H,作HN⊥AB于N,
(1)的结论仍然成立,请你说明理由.
57.
(1)操作发现:
如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF,你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?
并证明你发现的结论;
(2)类比猜想:
如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与
(1)相同,猜想AF与BD在
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?
并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,
Ⅰ中的结论是否成立?
若不成立,是否有新的结论?
并证明你得出的结论。
58.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED,连结BE、EC.试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系,并证明你的猜想.
59.已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.分别以AB、AC为边,向形外作等边△ABD和等边△ACE.
(1)如图1,连接线段BE、CD.求证:
BE=CD;
(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证:
F为DE中点.
60.在△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC上一点,BE=CD,EF∥AD交AB于F点,交CA的延长线于P,CH∥AB交AD的延长线于点H,
①求证:
△APF是等腰三角形;
②猜想AB与PC的大小有什么关系?
证明你的猜想.
61.如图,已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°,∠ABD=90°-
∠DBC.求证:
AC=AD.
62.如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠D=∠ABC=∠BAD=90°,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=45°,延长CB到点G,使BG=DE,连接EF,AG,求证:
63.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA。
(1)△ADC≌△BDC
(2)求证:
DE平分∠BDC;
(3)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD。
64.如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°.
(1)探索DC与BE的夹角的大小.
(2)取BC中点M,连MA,探讨MA与DE的位置关系.
65.已知:
如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是△ABC内的一点,且AD=AC,若∠DAC=30°,试探究BD与CD的数量关系并加以证明.
66.如图①,已知点D在AB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点.
(1)求证:
△BMD为等腰直角三角形.
(2)连接DM并延长交BC于N,求证:
CN=AD;
(3)将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时(如图②所示位置),△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?
若成立,请证明:
若不成立,请说明理由.
67.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点E,AD=BD,∠ADB=∠ACB=90°,AE=2BC.
(1)求证:
BC=CD;
(2)求证:
AC平分∠BAD.
68.如图,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,其中∠BCA=∠DCE=90°.AC=BC,DC=EC,
点A、D、E在同一直线上,CM⊥DE,垂足M,连接BE.
(1)求∠AEB的度数;
(2)证明:
CM=
(AE-BE)
C
E
M
D
AB
69.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF于点H.,若EF=BE+DF,那么下列结论:
①AE平分∠BEF;②FH=FD;③∠EAF=45°;④S△EAF=S△ABE+S△ADF;⑤△CEF的周长为2。
其中正确结论的个数是()
A.2B.3C.4D.5
70.如图①,已知点D在AC上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC的中点.
(1)求证:
△BMD为等腰直角三角形;
(2)将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°,如图②所示,则
(1)题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立?
请说明理由.
71.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AC边上一点,将线段AD绕点A逆时针旋转到线段AE,使得AE⊥AB,且点E、D、B恰好在同一直线上,作EM⊥AC于点M.
(1)若线段AD逆时针旋转了54°,求∠CBD的度数;
(2)求证:
AB=EM+BC.
72.如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M.以下5个结论:
△ADC≌△AEB∠AEG=∠CDB△EGM是等腰三角形BG=AF+FG;
恒成立的结论有()
73.在RT△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,连接AD,E为AB上一点,过点E作EF∥BC交AD于点F.
(1)求证:
EF=AF;
(2)若H为EC的中点,连接FH、DH,求证:
DH⊥FH.
74.如图,等边△ABC中,点D为BC边的中点,∠BEC=120°,连接AE、DE,求证:
AE=2DE.
75.已知:
在Rt△ABC中,AB=BC.在Rt△ADE中,AD=DE;连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图
(1),猜想BM与DM的关系;
(2)如果将图
(1)中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转90°的角,如图
(2),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
(3)如果将图
(1)中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转大于90°且小于135°的角,如图(3),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
76.已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是______,QE与QF的数量关系式______;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
77.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,
(1)求证:
△ACE≌△BCD;
(2)若A
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