高中数学 函数函数的应用二讲义 新人教A版必修一第一册.docx

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高中数学函数函数的应用二讲义新人教A版必修一第一册

4.5　函数的应用

（二）

最新课程标准：

运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．

4．5.1　函数的零点与方程的解

知识点一　函数的零点

1．零点的定义

对于函数y＝f（x），把f（x）＝0的实数x，叫做函数y＝f（x）的零点．

2．方程的根与函数零点的关系

　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

知识点二　函数零点的判定

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．

　定理要求具备两条：

①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）＜0.

[教材解难]

1．教材P142思考

能．先构造函数f（x）＝lnx＋2x－6，再判断函数f（x）是增函数，又f

（2）＜0，f（3）＞0，∴方程lnx＋2x－6＝0的根在2,3之间．

[基础自测]

1．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是（　　）

A.

；

　　　　B.

；

C．－

；－

D.

；－

解析：

令3x－2＝0，则x＝

，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为

，函数零点为

.

答案：

B

2．函数f（x）＝ln（x＋1）－

的零点所在的一个区间是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,3）D．（3,4）

解析：

f

（1）＝ln2－2＜0，f

（2）＝ln3－1＞0，

∴f

（1）·f

（2）＜0，

∴函数f（x）的一个零点区间为（1,2）．

答案：

B

3．函数f（x）＝x3－x的零点个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

f（x）＝x（x－1）（x＋1），令x（x－1）（x＋1）＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．

答案：

D

4．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．

解析：

由

得

∴g（x）＝－6x2－5x－1的零点是－

，－

.

答案：

－

，－

题型一　函数零点的概念及求法

例1　

（1）下列图象表示的函数中没有零点的是（　　）

（2）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

①f（x）＝－x2－4x－4.

②f（x）＝4x＋5.

③f（x）＝log3（x＋1）．

【解析】　

（1）由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．

（2）①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.②令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.

【答案】　

（1）A　

（2）见解析

　1.由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．

2．求函数对应方程的根即为函数的零点．

方法归纳

函数零点的求法

求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：

其一是令f（x）＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f（x）的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

跟踪训练1　若函数f（x）＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f（x）其余的零点．

解析：

由题意知f（－3）＝0，即（－3）2－3－a＝0，a＝6.所以f（x）＝x2＋x－6.

解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.

所以函数f（x）其余的零点是2.

由函数f（x）的零点是－3，得f（－3）＝0，求a.

题型二　确定函数零点的个数[教材P143例1]

例2　求方程lnx＋2x－6＝0的实数解的个数．

【解析】　设函数f（x）＝lnx＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f（x）的对应值表（表），并画出图象（图）．

　　　　　　　表

x

y

1

－4

2

－1.3069

3

1.0986

4

3.3863

5

5.6094

6

7.7918

7

9.9459

8

12.0794

9

14.1972

　图

由表和图可知，f

（2）＜0，f（3）＞0，则f

（2）f（3）＜0.由函数零点存在定理可知，函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2,3）内至少有一个零点．

容易证明，函数f（x）＝lnx＋2x－6，x∈（0，＋∞）是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程lnx＋2x－6＝0只有一个实数解．

　可以先借助计算工具画出函数y＝lnx＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．

教材反思

判断函数零点个数的三种方法

（1）方程法：

若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．

（2）图象法：

由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．

（3）定理法：

函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f（a）·f（b）＜0即可判断函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点．若函数y＝f（x）在区间（a，b）上是单调函数，则函数f（x）在区间（a，b）内只有一个零点．

跟踪训练2　

（1）函数f（x）＝x－

－2的零点个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

（2）判断函数f（x）＝x－3＋lnx的零点个数．

解析：

（1）令f（x）＝0得x－

－2＝0，设t＝

（t≥0），则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1（舍）．

故

＝2即x＝4，因此方程f（x）＝0有一个根4，所以函数f（x）有一个零点．

（2）令f（x）＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：

由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f（x）＝x－3＋lnx只有一个零点．

答案：

（1）B　

（2）一个

　思路一：

解方程求零点，方程f（x）＝0的实数根的个数就是函数f（x）的零点的个数；

思路二：

画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．

题型三　判断函数的零点所在的大致区间

例3　设x0是函数f（x）＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,3）D．（3,4）

【解析】　因为f

（2）＝ln2＋2－4＝ln2－2＜0，f（3）＝ln3－1＞lne－1＝0，f

（2）·f（3）＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为（2,3）．

【答案】　C

　根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．

方法归纳

判断函数零点所在区间的三个步骤

（1）代入：

将区间端点值代入函数求出函数的值．

（2）判断：

把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

（3）结论：

若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

跟踪训练3　函数f（x）＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为（　　）

A．（0,1）　　　　　　　　B．（1,2）

C．（2,3）　　　　　　　　D．（3,4）

解析：

f

（2）＝22－1＋2－5＜0，f（3）＝23－1＋3－5＞0，故f

（2）·f（3）＜0，又f（x）在定义域内是增函数，则函数f（x）＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为（2,3）．

答案：

C

f（x）单调的条件下，利用f（a）·f（b）＜0求零点区间．

解题思想方法　数形结合思想

例　已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．

解析：

如图，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，

则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.

答案：

1

【反思与感悟】　求解这类问题可先将原式变形为f（x）＝g（x），则方程f（x）＝g（x）的不同解的个数等于函数f（x）与g（x）图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．

课时作业25

一、选择题

1．下列函数不存在零点的是（　　）

A．y＝x－

B．y＝

C．y＝

D．y＝

解析：

令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－

，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．

答案：

D

2．若函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（　　）

A．0,2B．0，

C．0，－

D．2，－

解析：

∵2a＋b＝0，

∴g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1）．

∴零点为0和－

.

答案：

C

3．函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

因为f

＝

＋log2

＜0，f

＝

＋log2

＞0，

所以f

·f

＜0，故函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为

.

答案：

A

4．已知函数f（x）＝

g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）

A．[－1,0）B．[0，＋∞）

C．[－1，＋∞）D．[1，＋∞）

解析：

本题主要考查函数的零点及函数的图象．

g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点等价于函数f（x）＝

与h（x）＝－x－a的图象存在2个交点，如图，

当x＝0时，h（0）＝－a，由图可知要满足y＝f（x）与y＝h（x）的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.

答案：

C

二、填空题

5．函数f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上________（填“存在”或“不存在”）零点．

解析：

方法一　∵f

（1）＝12－3×1－18＝－20＜0，

f（8）＝82－3×8－18＝22＞0，∴f

（1）·f（8）＜0，

又f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，

故f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．

方法二　令f（x）＝0，得x2－3x－18＝0，

∴（x－6）（x＋3）＝0.

∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，

∴f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．

答案：

存在

6．函数f（x）＝

零点的个数为________．

解析：

x≤0时，令x2＋2x－3＝0，

解得：

x＝－3.

x＞0时，f（x）＝lnx－2在（0，＋∞）上递增，

f

（1）＝－2＜0，f（e3）＝1＞0，

∵f

（1）f（e3）＜0，

∴f（x）在（0，＋∞）上有且只有一个零点．

总之，f（x）在R上有2个零点．

答案：

2

7．已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0,1）上有零点，则a的取值范围为________．

解析：

由题意f

（1）·f（0）＜0.∴a（2＋a）＜0.∴－2＜a＜0.

答案：

（－2,0）

三、解答题

8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

（1）f（x）＝

；

（2）f（x）＝x2＋2x＋4；

（3）f（x）＝2x－3；

（4）f（x）＝1－log3x.

解析：

（1）令

＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝

的零点是－3.

（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，

所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点.

（3）令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f（x）＝2x－3的零点是log23.

（4）令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f（x）＝1－log3x的零点是3.

9．已知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn（mx＋1）的零点．

解析：

由题可知，f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的两个零点为1和2.

则1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的两根．

可得

解得

所以函数y＝logn（mx＋1）的解析式为

y＝log2（－2x＋1），要求其零点，令

log2（－2x＋1）＝0，解得x＝0.

所以函数y＝log2（－2x＋1）的零点为0.

[尖子生题库]

10．已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．

（1）零点均大于1；

（2）一个零点大于1，一个零点小于1；

（3）一个零点在（0,1）内，另一个零点在（6,8）内．

解析：

（1）因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得

解得2≤a＜

.

即a的取值范围为

.

（2）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f

（1）＝5－2a＜0，解得a＞

.

即a的取值范围为

.

（3）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0,1）内，另一个根在（6,8）内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得

解得

＜a＜

.

即a的取值范围为

.