高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案.docx
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高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案
高考数学(理科)一轮复习基本不等式及其应用学案有答案
学案36 基本不等式及其应用
导学目标:
1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.自主梳理
1.基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条:
____________
(2)等号成立的条:
当且仅当________时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥________(a,b∈R).
(2)ba+ab≥____(a,b同号).
(3)ab≤a+b22(a,b∈R).
(4)a+b22____a2+b22
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:
________________________________________________
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,>0,则
(1)如果积x是定值p,那么当且仅当________时,x+有最____值是________(简记:
积定和最小).
(2)如果和x+是定值p,那么当且仅当________时,x有最____值是__________(简记:
和定积最大).
自我检测
1.“a>b>0”是“ab<a2+b22”的( )
A.充分而不必要条B.必要而不充分条
.充要条D.既不充分也不必要条
2.(2011•南平月考)已知函数f(x)=12x,a、b∈(0,+∞),A=fa+b2,B=f(ab),=f2aba+b,则A、B、的大小关系是( )
A.A≤B≤B.A≤≤B
.B≤≤AD.≤B≤A
3.下列函数中,最小值为4的函数是( )
A.=x+4x
B.=sinx+4sinx(0<x<π)
.=ex+4e-x
D.=lg3x+lgx81
4.(2011•大连月考)设函数f(x)=2x+1x-1(x<0),则f(x)有最________值为________.
.(2010•东)若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围为________________.探究点一 利用基本不等式求最值
例1
(1)已知x>0,>0,且1x+9=1,求x+的最小值;
(2)已知x<4,求函数=4x-2+14x-的最大值;
(3)若x,∈(0,+∞)且2x+8-x=0,求x+的最小值.
变式迁移1 (2011•重庆)已知a>0,b>0,a+b=2,则=1a+4b的最小值是( )
A72B.4
92D.
探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用
例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1+1a)(1+1b)≥9
变式迁移2 已知x>0,>0,z>0
求证:
x+zxx+zxz+z≥8
探究点三 基本不等式的实际应用
例3 (2011•镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为60+48x(单位:
元).
(1)写出楼房平均综合费用关于建造层数x的函数关系式;
(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?
最少值是多少?
(注:
平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)
变式迁移3 (2011•广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每化妆品的售价定为其生产成本的10%与平均每促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2012年的利润(万元)表示为促销费t(万元)的函数.
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
(注:
利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
1.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立;a+b2≥ab成立的条是a,b∈R+;ba+ab≥2成立的条是ab>0,即a,b同号.
2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值.
3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数=ax+bx,当a>0,b<0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a<0,b>0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;当a>0,b>0时函数在-ba,0,0,ba上是减函数,在-∞,-ba,ba,+∞上是增函数;当a<0,b<0时,可作如下变形:
=--ax+-bx解决最值问题.
(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为( )
A.8B.4.1D14
2.(2011•鞍月考)已知不等式(x+)1x+a≥9对任意正实数x,恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2B.4.6D.8
3.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2B.22.4D.
4.一批货物随17列货车从A市以a/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400,为了安全,两列车之间的距离不得小于a202,那么这批货物全部运到B市,最快需要( )
A.6hB.8h.10hD.12h
.(2011•宁波月考)设x,满足约束条3x--6≤0x-+2≥0x≥0,≥0,若目标函数z=ax+b(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为( )
A26B83113D.4
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010•浙江)若正实数x,满足2x++6=x,则x的最小值是________.
7.(2011•江苏)在平面直角坐标系x中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
8.已知f(x)=32x-(+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则的取值范围为__________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)
(1)已知0<x<43,求x(4-3x)的最大值;
(2)点(x,)在直线x+2=3上移动,求2x+4的最小值.
10.(12分)(2011•长沙月考)经观测,某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系=920vv2+3v+1600(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量最大?
最大车流量为多少?
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
11.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为003元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).
(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用1关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用最小,并求出这个最小值.
学案36 基本不等式及其应用
自主梳理
1.
(1)a>0,b>0
(2)a=b 2
(1)2ab
(2)2 (4)≤
3a+b2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4
(1)x= 小 2p
(2)x= 大 p24
自我检测
1.A 2A 3
4.大 -22-1 [1,+∞)
堂活动区
例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条.
解
(1)∵x>0,>0,1x+9=1,
∴x+=(x+)1x+9
=x+9x+10≥6+10=16
当且仅当x=9x时,上式等号成立,又1x+9=1,
∴x=4,=12时,(x+)in=16
(2)∵x<4,∴-4x>0
=4x-2+14x-=--4x+1-4x+3
≤-2-4x•1-4x+3=1,
当且仅当-4x=1-4x,
即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ax=1
(3)由2x+8-x=0,得2x+8=x,
∴2+8x=1
∴x+=(x+)8x+2=10+8x+2x
=10+24x+x
≥10+2×2×4x•x=18,
当且仅当4x=x,即x=2时取等号.
又2x+8-x=0,∴x=12,=6
∴当x=12,=6时,x+取最小值18
变式迁移1 [∵a+b=2,∴a+b2=1
∴1a+4b=(1a+4b)(a+b2)=2+(2ab+b2a)≥2+22ab•b2a=92(当且仅当2ab=b2a,即b=2a时,“=”成立),故=1a+4b的最小值为92]
例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法.
在不等式证明时,列出等号成立的条不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法.
证明 方法一 因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+1a=1+a+ba=2+ba
同理1+1b=2+ab
所以(1+1a)(1+1b)=(2+ba)(2+ab)
=+2(ba+ab)≥+4=9
所以(1+1a)(1+1b)≥9(当且仅当a=b=12时等号成立).
方法二 (1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab
=1+a+bab+1ab=1+2ab,
因为a,b为正数,a+b=1,
所以ab≤(a+b2)2=14,于是1ab≥4,2ab≥8,
因此(1+1a)(1+1b)≥1+8=9(当且仅当a=b=12时等号成立).
变式迁移2 证明 ∵x>0,>0,z>0,
∴x+zx≥2zx>0,
x+z≥2xz>0,
xz+z≥2xz>0
∴x+zxx+zxz+z
≥8z•xz•xxz=8
当且仅当x==z时等号成立.
所以(x+zx)(x+z)(xz+z)≥8
例3 解题导引 1用基本不等式解应用题的思维程序为:
由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论
2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:
(1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案.
解
(1)依题意得
=(60+48x)+2160×100002000x
=60+48x+10800x(x≥10,x∈N*).
(2)∵x>0,∴48x+10800x
≥248×10800=1440,
当且仅当48x=10800x,即x=1时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为60+1440=2000(元).
答 当该楼房建造1层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
变式迁移3 解
(1)由题意可设3-x=t+1,
将t=0,x=1代入,得=2∴x=3-2t+1
当年生产x万时,
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为32x+3=323-2t+1+3
当销售x(万)时,年销售收入为
10%323-2t+1+3+12t
由题意,生产x万化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润=-t2+98t+32t+1(t≥0).
(2)=-t2+98t+32t+1=0-t+12+32t+1
≤0-2t+12×32t+1=0-216=42(万元),
当且仅当t+12=32t+1,即t=7时,ax=42,
∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大.
后练习区
1.B [因为3a•3b=3,所以a+b=1,
1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab
≥2+2ba•ab=4,当且仅当ba=ab即a=b=12时,“=”成立.]
2.B [不等式(x+)1x+a≥9对任意正实数x,恒成立,则1+a+x+ax≥a+2a+1≥9,
∴a≥2或a≤-4(舍去).
∴正实数a的最小值为4]
3. [因为1a+1b+2ab≥21ab+2ab
=21ab+ab≥4,当且仅当1a=1b且1ab=ab,
即a=b=1时,取“=”号.]
4.B [第一列货车到达B市的时间为400ah,由于两列货车的间距不得小于a202,所以第17列货车到达时间为400a+16•a202a=400a+16a400≥8,当且仅当400a=16a400,即a=100/h时成立,所以最快需要8h.]
.A
6.18
解析 由x>0,>0,2x++6=x,得
x≥22x+6(当且仅当2x=时,取“=”),
即(x)2-22x-6≥0,
∴(x-32)•(x+2)≥0
又∵x>0,∴x≥32,即x≥18
故x的最小值为18
7.4
解析 过原点的直线与f(x)=2x交于P、Q两点,则直线的斜率>0,设直线方程为=x,由=x,=2x,得x=2,=2或x=-2,=-2,
∴P(2,2),Q(-2,-2)或P(-2,-2),Q(2,2).
∴|PQ|=2+22+2+22
=22+1≥4
8.(-∞,22-1)
解析 由f(x)>0得32x-(+1)•3x+2>0,解得+1<3x+23x,而3x+23x≥22,∴+1<22,<22-1
9.解
(1)∵0<x<43,∴0<3x<4
∴x(4-3x)=13(3x)(4-3x)≤133x+4-3x22=43,(4分)
当且仅当3x=4-3x,即x=23时,“=”成立.
∴当x=23时,x(4-3x)的最大值为43(6分)
(2)已知点(x,)在直线x+2=3上移动,∴x+2=3
∴2x+4≥22x4=22x+2=223=42
(10分)
当且仅当2x=4,x+2=3,即x=32,=34时,“=”成立.
∴当x=32,=34时,2x+4的最小值为42
(12分)
10.解
(1)=920vv2+3v+1600=920v+1600v+3≤
9202v×1600v+3=92083≈1108(4分)
当v=1600v,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为1108千辆/小时(6分)
(2)据题意有920vv2+3v+1600≥10,(8分)
化简得v2-89v+1600≤0,即(v-2)(v-64)≤0,
所以2≤v≤64
所以汽车的平均速度应控制在[2,64]这个范围内.
(12分)
11.解
(1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
1=400×003×[1+2+3+…+(x-1)]
=6x2-6x(6分)
(2)由
(1)可知,购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1×400x,
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
=1x(6x2-6x+600)+1×400=600x+6x+94(9分)
∴≥2600x•6x+94=714,(12分)
当且仅当600x=6x,即x=10时,取等号.
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最小,且最小为714元.(14分)
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