必修二数学优秀课后练习及答案详解第二章23231课后巩固验收.docx
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必修二数学优秀课后练习及答案详解第二章23231课后巩固验收
(见学生用书第107页)
一、选择题
1.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个
B.至多一个
C.有一个或无数个
D.不存在
【解析】 当两异面直线互相垂直时,过其中一条直线仅有一个平面与另一条直线垂直,不垂直时这样的平面不存在,B正确.
【答案】 B
2.(2014·烟台高一评估)空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
【解析】 取BD的中点E,连接AE,CE.
可证BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,
即得BD⊥平面AEC.
得BD⊥AC.
故选C.
【答案】 C
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是( )
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段
D.BC中点与B1C1中点连成的线段
【解析】 如图,由于BD1⊥平面AB1C,故点P一定位于B1C上.
【答案】 A
4.(2014·大连高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】 如图所示,取BC的中点E,连接AE,DE,则AE⊥平面BCC1B1,故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角,设各棱长为a,则AE=
a,DE=
a,
∴tan∠ADE=
,
∴∠ADE=60°.
故选C.
【答案】 C
5.若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍,则AB与平面α所成角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.120°
【解析】 设AB与平面α所成的角为θ,由题意可知cosθ=
,∴θ=60°.
【答案】 C
6.已知三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于H,则垂足H是三角形ABC的( )
A.外心B.内心
C.垂心D.重心
【解析】 如图,∵PA⊥平面PBC,
两两垂直,∴PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC.
又BC⊥PH,PA∩PH=P,
∴BC⊥平面PAH,
∴BC⊥AH.
同理AB⊥CH,AC⊥BH.
∴点H为△BAC的垂心.
【答案】 C
二、填空题
图2-3-10
7.如图2-3-10,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°,则直线AD⊥平面________;直线BD⊥平面________;直线CD⊥平面________.
【解析】 ∵△ADB、△ADC都是直角三角形,
∴AD⊥BD,AD⊥DC,
又BD∩DC=D,
∴AD⊥平面BDC.
又AD=BD=CD,∴AB=AC,
又∠BAC=60°,
∴△ABC为正三角形,
∴BC=AB=AC,
∴∠BDC=90°,
由直线和平面垂直的判定定理,
得BD⊥平面ADC,CD⊥平面ABD.
【答案】 BDC ADC ABD
8.在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=________.
【解析】 如图所示,在Rt△ABC中,
CD=
AB.
∵AC=6,BC=8,
∴AB=
=10.
∴CD=5.
∵EC⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,
∴EC⊥CD.
∴ED=
=
=13.
【答案】 13
三、解答题
图2-3-11
9.如图2-3-11,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=
.
求证:
PD⊥平面ABCD.
【证明】 ∵PD=DC=1,PC=
,∴PD2+DC2=PC2,
∴△PDC是直角三角形.
∴PD⊥CD.
又∵PD⊥BC,BC∩CD=C,且BC⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.
图2-3-12
10.如图2-3-12,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:
AE⊥BE.
【证明】 ∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE.
又AE⊂平面ABE,∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴AE⊥BF.
又∵BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,
∴AE⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.
图2-3-13
11.(探究创新)如图2-3-13,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°,求证:
MN⊥平面PCD.
【证明】
(1)取PD的中点E,连接NE、AE,
又∵N是PC的中点,∴NE綊
DC.
又∵DC綊AB,AM=
AB,∴AM綊
CD,
∴NE綊AM,
∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)在Rt△PAD中,∠PDA=45°,
∴AP=AD,∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE,∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD.
∵AE⊂平面PAD,
∴CD⊥AE.
又MN∥AE,∴CD⊥MN,
∴MN⊥平面PCD.
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