精华讲义数学人教版高二选修21导数及其应用.docx
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精华讲义数学人教版高二选修21导数及其应用
导数及其应用复习讲义
1、知识复习:
1.导数的定义:
设
是函数
定义域的一点,如果自变量
在
处有增量
,则函数值
也引起相应的增量
;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数。
在点处的导数记作
2导数的几何意义:
(求函数在某点处的切线方程)
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
3.基本常见函数的导数:
①(C为常数)②
③;④;
⑤⑥;
⑦;⑧.
二、导数的运算
1.导数的四则运算:
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
(为常数)
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
。
2.复合函数的导数
形如的函数称为复合函数。
法则:
.
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
(1)设函数在某个区间可导,
如果,则在此区间上为增函数;
如果,则在此区间上为减函数。
(2)如果在某区间内恒有,则为常函数。
2.函数的极点与极值:
当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
3.函数的最值:
一般地,在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。
函数
求函数的一般步骤:
求函数的导数,令导数解出方程的跟在区间列出的表格,求出极值及的值;比较端点及极值点处的函数值的大小,从而得出函数的最值
4.相关结论总结:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
5.定积分
(1)概念
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0 ,即=(ξi)△x。 这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式 基本的积分公式: =C;=+C(m∈Q,m≠-1);dx=ln+C;=+C;=+C;=sinx+C;=-cosx+C(表中C均为常数) (2)定积分的性质 ①(k为常数); ②; ③(其中a<c<b。 (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线x=a,x=b(a 如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x=a,x=b(a 四.【典例解析】 题型1: 导数的概念 例1.已知s=, (1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度; (2)求t=3秒是瞬时速度 解析: (1)指时间改变量; 指时间改变量 。 其余各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上,待学生回答完第一时间内的平均速度后,即用多媒体出示,让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 (2)从 (1)可见某段时间内的平均速度随变化而变化,越小,越接近于一个定值,由极限定义可知,这个值就是时,的极限, V== =(6+=3g=29.4(米/秒)。 例2.求函数y=的导数。 解析: , ,=。 点评: 掌握切的斜率、瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础。 题型2: 导数的基本运算 例3. (1)求的导数; (2)求的导数; (3)求的导数; (4)求y=的导数; (5)求y=的导数 解析: (1), (2)先化简, (3)先使用三角公式进行化简. (4)y’==; (5)y=-x+5- y’=3*(x)'-x'+5'-9)'=3*-1+0-9*(-)=。 点评: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量 例4.写出由下列函数复合而成的函数: (1)y=cosu,u=1+ (2)y=lnu,u=lnx 解析: (1)y=cos(1+); (2)y=ln(lnx)。 点评: 通过对y=(3x2展开求导及按复合关系求导,直观的得到=..给出复合函数的求导法则,题型3: 导数的几何意义 例5. (1)函数的单调递增区间是() A.B.(0,3)C.(1,4)D. 答案D 解析,令,解得,故选D . (2)已知函数在R上满足,则曲线 在点处的切线方程是() A.B.C.D. 答案A 解析由得几何, 即,∴∴,∴切线方程,即选A 点评: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例6.若函数的导函数在区间上是增函数, 则函数在区间上的图象可能是() y A.B.C.D. 解析因为函数的导函数在区间上是增函数,即在区间上各点处的斜率是递增的,由图易知选A.注意C中为常数噢. (2)曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。 解析: (2)曲线和在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1,它们与轴所围成的三角形的面积是。 点评: 导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。 题型4: 借助导数处理单调性、极值和最值 例7. (1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)0,则必有() A.f(0)+f (2)2f (1)B.f(0)+f (2)2f (1) C.f(0)+f (2)2f (1)D.f(0)+f (2)2f (1) (2)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 (3)已知函数,其中 (1)当满足什么条件时,取得极值? (2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围. 解: (1)由已知得,令,得, 要取得极值,方程必须有解, 所以△,即,此时方程的根为 , 所以 当时, x (∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f’(x) + 0 - 0 + f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值. 当时, x (∞,x2) x2 (x2,x1) x1 (x1,+∞) f’(x) - 0 + 0 - f(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当满足时,取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立. 即恒成立,所以 设,, 令得或(舍去), 当时,,当时,单调增函数; 当时,单调减函数, 所以当时,取得最大,最大值为. 所以 当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以 综上,当时,;当时, 【命题立意】: 本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 例8. (1)若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范围是. 解析解析由题意该函数的定义域,由。 因为存在垂直于轴的切线,故此时斜率为,问题转化为范围内导函数存在零点 解法1(图像法)再将之转化为与存在交点。 当不符合题意,当时,如图1,数形结合可得显然没有交点,当如图2,此时正好有一个交点,故有应填 或是。 解法2(分离变量法)上述也可等价于方程在内有解,显然可得 (2)函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 A.B.1C.2D. 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积: ,故选A. 点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力 题型5: 导数综合题 例9.1、已知二次函数,若不等式的解集为C. (1)求集合C; (2)若方程在C上有解,求实数的取值范围; (3)记在C上的值域为A,若的值域为B,且,求实数的取值范围. [解] (1) 当时, 当时, 所以集合 (2),令 则方程为 当时,,在上有解, 则 当时,,在上有解, 则 所以,当或时,方程在C上有解,且有唯一解。 (3) ①当时,函数在单调递增,所以函数的值域 ,∵,∴,解得,即 ②当时,任取, 10若,∵,,,∴ ∴,函数在区间单调递减, ∴: 又,所以。 20若, 若则须,∵,∴,. 于是当时,,; 当时,, 因此函数在单调递增;在单调递减.在达到最小值 要使,则, 因为,所以使得的无解。 综上所述: 的取值范围是: 点评: 该题是导数与平面向量结合的综合题。 例10.3、已知函数上为增函数. (1)求k的取值范围; (2)若函数的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围. 解: (1)由题意 因为上为增函数 所以上恒成立, 即 所以 当k=1时,恒大于0, 故上单增,符合题意. 所以k的取值范围为k≤1. (2)设 令 由 (1)知k≤1, ①当k=1时,在R上递增,显然不合题意 ②当k<1时,的变化情况如下表: x k (k,1) 1 (1,+) + 0 - 0 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ ……………………11分 由于图象有三个不同的交点, 即方程 也即有三个不同的实根 故需即 所以解得 综上,所求k的范围为. 点评: 该题是数列知识和导数结合到一块。 题型6: 导数实际应用题 例11.请您设计一个帐篷。 它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。 试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大? 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。 解析: 设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位: m)。 于是底面正六边形的面积为(单位: m2): 。 帐篷的体积为(单位: m3): 求导数,得; 令解得x=2(不合题意,舍去),x=2。 当1 所以当x=2时,V(x)最大。 答: 当OO1为2m时,帐篷的体积最大 点评: 结合空间几何体的体积求最值,理解导数的工具作用。 例12.已知某质点的运动方程为下图是其运动轨迹的一部分,若时,恒成立,求d的取值范围. 解: 由图象可知,处取得极值 则 即 点评: 本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力 题型7: 定积分 例13.计算下列定积分的值 (1); (2);(3);(4); 解析: (1) (2)因为,所以; (3) (4) 例14. (1)一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所作的功。 (2)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax. 解析: (1)物体的速度。 媒质阻力,其中k为比例常数,k>0。 当x=0时,t=0;当x=a时,, 又ds=vdt,故阻力所作的功为: (2)依题设可知抛物线为凸形,它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=-b/a,所以 (1) 又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组 得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为0,即(b+1)2+16a=0. 于是代入 (1)式得: ,; 令S'(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3,且当0<b<3时,S'(b)>0;当b>3时,S'(b)<0.故在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,即a=-1,b=3时,S取得最大值,且。 点评: 应用好定积分处理平面区域内的面积
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- 精华 讲义 学人 教版高二 选修 21 导数 及其 应用