人教版八年级下册181《勾股定理》教学设计.docx
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人教版八年级下册181《勾股定理》教学设计
人教版八年级下册18.1《勾股定理》教学设计
18.1勾股定理(1
教学目标
1.知识与能力
了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探究过程.
2.过程与方法
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动;同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容,试图让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展同学们数与形结合的数学思想.
3.情感、态度与价值观
在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯.了解数学史,激发学生热爱祖国的思想感情,培养他们的民族自豪感.
教学重点难点
重点:
探索和证明勾股定理.
难点:
用拼图的方法说明勾股定理.
关键:
通过网格与拼图的办法来探索勾股定理的证明过程,理解其内涵.
教材分析:
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书(人教版八年级下册第18章第一节《勾股定理》第一课时,勾股定理是几何中几个重要定理之一,它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的
发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的作用。
学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解,并对今后学习解直角三角形打下初步的基础。
教学内容:
(一欣赏图片,回眸历史
欣赏“勾股树”图案(几何画板动态展示,通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系,并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的,激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感,引入课题.
(二感悟经典,探索发现
内容1:
古希腊著名的哲学家、数学家、•天文学家毕达哥拉斯(公元前572~前492年,他在一次朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系,请同学们一起来观察图中的地面(显示图片a,•你有什么发现呢?
(图片见课本图P72.
引导学生观察该图片,发现问题.
学生活动:
观察、听取老师的讲述,从中发现图片a•中含有许多大大小小的等腰直角三角形.
内容2:
用图片指示学生的发现,引导学生继续发现.
教师活动:
教师提问:
同学们,你能发现课本图18.1-1中的等腰直角三角形有什么性质吗?
学生活动:
与同伴合作探讨,从网格图中不难发现下面的现象:
图18.1-1右边的三个正方形SⅠ=SⅡ,SⅢ=SⅠ+SⅡ,•即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.
教师小结:
从图18-1-1,我们发现,等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系:
斜边的平方等于两直角边的平方和.
教师提问:
上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质,但是等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形,对于一般的直角三角形是否
也有这样的性质呢?
请同学们观察图18.1-2,
设定每个小方格的面积均为1,
(1•分别计算图中正方形
A、B、C、的面积;
(2观察其中的规律,你能得出什么结论?
•与同伴交流.
学生活动:
分四人小组,讨论,并踊跃发表自己的看法.
思路点拨:
实际上,以斜边为边长的正方形的面积,等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.或者某个正方形的面积加上4个直角三角形的面积
通过合作探究,体验发现得到一个猜想:
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(命题1
(三古今中外,证明定理
1.教师活动:
介绍我国的赵爽证法,充分应用拼图(课本P74图18.1-3,•解释“命题1”,让学生领悟勾股定理的证明;
如图所示的三个图中(1和(3都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成,它们的面积相等.
图(1的面积为:
a2+b2,图(3的面积为c2
因此得到a2+b2=c2
(为了加深学生对勾股定理的理解,•用FLASH动画显示拼图过程
点评:
赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。
他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。
尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。
向学生简单介绍:
“赵爽弦图”与2002年北京数学年会”,
2.全世界许多国家的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力,作出过贡献,这使得这一定理至今已有几百种不同的证法.下面介绍美国第20任总统茄菲尔德于1876给出的证法:
“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形
梯形
3.勾股定理的应用
在一个直角三角形中,任意知道其中的两边都可以求出第三边.
由a2+b2=c2
可以得到c=
b=
(四运用成果,解决问题
1.一旗杆离地面6M处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部8M处,
旗杆折断之前有多高?
2.(1题变式台风过后,一旗杆在离地某处断裂,旗杆落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米,求旗杆在什么位置断裂的?
3.(拓展P74小明家的门框尺寸如图,小明的爸爸想买一种长3M,宽2.2M的薄木板做衣柜,问木板能否从门框内通过?
(五回顾总结,布置作业
总结:
1.这一节课我们了解了勾股定理的
文化背景与证明方法;
2.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的
数量关系,是直角三角形的一个重要性质;
已知直角三角形中任意两边的长,就一定可以求出第三边的长。
作业:
1.通过查阅资料,了解勾股定理的文化背景与证明方法.
2.请你找一个在生活中实际应用勾股定理的例子.
教学流程:
欣赏图片,回眸历史;
感悟经典,探索发现;
古今中外,证明定理;
运用成果,解决问题;
回顾总结,布置作业。
课后反思:
针对八年级学生的知识结构和心理特征,本节课可选择引导探索法,由浅入深,由特殊到一般地提出问题。
在教师的组织引导下,采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式,让学生思考问题,获取知识,掌握方法,借此培养学生动手、动口、动脑的能力,使学生真正成为学习的主体。
这种教学理念有利于提高学生的思维能力,能有效地激发学生的思维积极性。
突破关键:
多媒体课件演示,验证面积的变化过程.
附:
学习支撑材料
勾股定理历史
早在公元前11世纪的西周初期,数学家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三角形具有这样的一个性质:
如果直角三角形的两个直角边分别为3和4,则这个直角三角形的斜边为5。
利用商高的方法,很容易得到更一般的结论:
在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是勾股定理或商高定理,西方称之为毕达哥拉斯
定理。
勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率。
据说4000多年前,中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。
勾股定理以其简单、优美的形式,丰富、深刻的内容,充分反映了自然界的和谐关系。
人们对勾股定理一直保持着极高的热情,仅定理的证明就多达几十种,甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。
中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”,该怎样与他们交谈时,曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。
这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一,而在对这样一个重要规律的发现和应用上,中国人走在了前面。
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读一读:
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理。
它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有500余种。
其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?
难道他是数学家或数学爱好者?
答案是否定的。
事情的经过是这样的;在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着,
突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:
“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?
”伽菲尔德答到:
“是5呀.”小男孩又问道:
“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?
”伽菲尔德不加思索地回答到:
“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。
”小男孩又说道:
“先生,你能说出其中的道理吗?
”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的,如图所示:
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。
思考:
伽菲尔德的证法和你学习过的证明方法有什么区别和联系吗?
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- 勾股定理 人教版八 年级 下册 181 教学 设计