届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题解析版.docx
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届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题解析版
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1.若命题甲:
x10,命题乙:
lg2xlgx0,则命题甲是命题乙的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】分别分析甲能否推出乙,乙能否推出甲,即可得命题甲与命题乙的关系.
【详解】
解:
当x10,即x1时,lg2xlgxlg21lg10,故命题甲可推出命题乙;
2
当lgxlgx0,可得x1或x10,故命题乙不可以推出命题甲,
故命题甲是命题乙的充分非必要条件,
故选:
A.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断,是基础题.
2.已知函数f1(x)为函数f(x)的反函数,且函数f(x1)的图像经过点(1,1),则函数f1(x)的图像一定经过点()
A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(2,1)
【答案】B
【解析】先求出函数f(x)的图像必经过点,然后即可求出函数fix)的图像一定经过
点.
【详解】
解:
函数f(x1)的图像经过点(1,1),则函数f(x)的图像经过点(0,1),
则函数f1(x)的图像一定经过点(1,0),
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系,属于基础题
3.以抛物线y24x的焦点为右焦点,且长轴为4的椭圆的标准方程为()
第1页共17页
2
A.L
2
y1
x2
B.
y21
16
15
16
4
【答案】C
【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点,
22
C.二乂
43
1D.
2
x2彳
7y1
即可得椭圆中
a,b的关系,
再根据长轴长
可得椭圆a,进而可求出b,即可得椭圆的标准方程
【详解】
22
解:
有已知抛物线寸4x的焦点为(1,0),设椭圆方程为爲爲1,ab
则a2b21,又由已知a2,
所以b23,
22
故椭圆方程为—1,
43
故选:
C.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解,是基础题•
4•动点A(x,y)在圆x2y21上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动,旋转一周的时
间恰好是12秒,已知时间t0时,点A的坐标是(』31),则动点A的纵坐标y关
2'2
于t(单位:
秒)的函数在下列哪个区间上单调递增()
A.[0,3]B.[3,6]C.[6,9]D.[9,12]
【答案】D
【解析】先根据题意:
已知时间t0时,点A的坐标是(<3丄),得xOA0-,
2'23
再依据每12秒运动一周得出点A每秒旋转的角度,从而t秒旋转一t,利用三角函数的
6
定义即可得出y关于t的函数解析式,进而可得出函数的单调增区间
【详解】
解:
根据题意,
得xOA
3,点A每秒旋转12
6,
所以t秒旋转
t,
A0OA
t,
xOA
6
6
则y
sin
xOAsin
t
6
3
令一
2k
t
2k
kZ,
2
6
3
2
解得:
5
12kt
1
12k,k
Z,
经检验:
:
当
k1时,
7
t
13,
故D符合,
故选:
D.
【点睛】
6t
本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、
三角函数的应用等基础知识,
考查运
算求解能力,属于基础题.
、填空题
2},则AIB
5•若集合A{x|0x3},集合B{x|x
【答案】(0,2)
【解析】直接利用交集的概念运算即可
【详解】
解:
由已知AIBx|0x2,
故答案为:
(0,2)
【点睛】
本题考查交集的运算,是基础题
lim
n
2n2
3n21
第3页共17页
【解析】将原式变形为
进而直接求极限即可
【详解】
解:
nim
2n2
3n21
lim
n
2
故答案为:
-
3
【点睛】
本题考查极限的求法,
是基础题
7•已知复数z满足iz1
(i为虚数单位)
,则z
【答案】,2.
【解析】试题分析:
因为
iz
i,所以
1i
1ii1,z,也可利用复数模
的性质求解:
iz
【考点】复数的模
8•若关于x、y的方程组为
1,则该方程组的增广矩阵为
2
【答案】
【解析】
直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵
【详解】
解:
由题意可得方程组的增广矩阵为
故答案为:
111
112
【点睛】
本题考查增广矩阵的定义,是基础题
9•设{a.}是等差数列,且a13,
as
a5
18,则a.
【答案】2n+1
an.
【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差,进而可求出
【详解】
解:
设等差数列{an}的公差为d,则
a3a5a12da14d18,又a13,
an2n1,故答案为:
2n+1.
【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解,考查计算能力,是基础题
6
10.在
X1的二项展开式中,常数项的值为
x
【答案】
15
【解析】
写出二项展开式通项,通过6
3r
0得到r
从而求得常数项
【详解】
二项展开式通项为:
c6x6r
常数项为:
C:
15
本题正确结果:
15
【点睛】
本题考查二项式定理的应用,属于基础题
11•已知圆柱的底面半径为1,
母线长为
则其侧面积为
【答案】
【解析】
根据圆柱的侧面积公式,
即可求得该圆柱的侧面积,得到答案
【详解】
由题意,
圆柱的底面半径为1,
母线长为
根据圆柱的侧面积公式,可得其侧面积为
S2rl2124.
【点睛】
本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用,
其中解答中熟记圆柱的侧面积公式,
准确计
算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,
属于基础题
111
12•已知集合A{2,1,—,—,—,1,2,3},任取kA,则幕函数f(x)xk为偶函数
232
的概率为(结果用数值表示)
1
【答案】丄
4
k
【解析】首先找到使幕函数f(x)X为偶函数的所有k,然后利用概率公式求解即可•
【详解】
解:
要幕函数f(x)X”为偶函数,则k2,2,
21
故使幕函数f(x)xk为偶函数的概率为
84
1
故答案为:
丄
4
【点睛】
本题考查幕函数的性质及简单的古典概型,是基础题.
13•在△ABC中,边a、b、c满足ab6,C120,则边c的最小值为
【答案】
【解析】
3.3
c236
ab,利用条件求出ab的
利用a2
2
b(a
2
b)2ab和余弦定理得出
最大值,
代入c2
36ab
,即可得边c的最小值.
【详解】
解:
由已知c2
2.2
ab
2abcos120o(ab)2
2abab
36ab
2
2
Qab
ab
6
9,
2
2
c236927,
c3,3,
故答案为:
—3
【点睛】
本题考查余弦定理以及基本不等式的应用,是基础题.
14.若函数yax2a(1x2存在零点,则实数a的取值范围是
【答案】[0屈
3
【解析】将函数yax2a、1x2存在零点转化为f(x)ax2,g(x).1x2图像有交点,作出图像,观察图像得出实数a的取值范围.
【详解】
解:
设f(x)ax2,g(x),1x2,
则函数yax2a,1—x2存在零点等价于f(x)ax2,g(x).―x2图像有交
函数f(x)ax2的图像恒过点(2,0),当其和函数g(x)
Jx2的图像相切时,
所以f(x)ax2,g(x).1x2的图像有交点时0
故答案为:
【点睛】
本题考查函数零点问题的研究,关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题,考核作
图能力和数形结合的思想,是中档题•15•已知数列{an},印1,nan1(n1总1,若对于任意的a[2,2],nN*,
不等式电丄3a2t恒成立,则实数t的取值范围为
n1
【答案】(,1]
an1an111
【解析】由题意可得--,运用累加法和裂项相消求和可
n1nn(n1)nn1
得1,再由不等式恒成立问题可得23a2t恒成立,转化为最值问题可得实数t的
n1
取值范围.
【详解】
n1(n1)an1,
解:
由题意数列{an}中,
即nan勺(n1)务1
则有
an1
a.
n
1
n
1
n(n
1)
则有
an
1
an
1an
n
1
n
1n
1
1
1
1
n
n
1
n1
n
又对于任意的a[2,2],即23a2t对于任意的
11
an2
1
a:
a〔
a1
n2
2
3a2f恒成立,
nn1
anan1an1
nn1n1
11
n2n1
dn1nN,不等式——
n1
I[2,2]恒成立,
a2t1,a[2,2]恒成立,
•••22'1t1,
故答案为:
(,1]
【点睛】
本题考查了数列递推公式,涉及数列的求和,注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问
题的解法,关键是将na*1(n1)a*1变形为~a口%——1.
n1nnn1
sin^
sinx2
sinXn0
16.如果方程组
有实数解,则正整数n的最小
sin^
2sinX2
nsinXn
2019
值是
【答案】90
【解析】当n
90时,用方程
(2)
减去方程(1,
)的45倍,然后利用三角函数的有界
性,发现矛盾,故从n90开始分析,当n90,我们可以取丄,xgc使
sinXj1(i1,2,L,45),sinXj1(j46,47丄,90)得出方程组的实数解,进而
可得正整数n的最小值.
【详解】
si门为sinx2sinxn0
(1)
如果n90,对于方程组12nv7
sin^2sinx2nsin^2019
(2)
用方程
(2)减去方程
(1)的45倍,得
44sinx|43sinx2Lsinx44
sinx46
2sinx47
L(n
45)sinxn2019
(3)
(3)式的左端的绝对值不大于(44
43
1)
2
1980,
因此(
3)式不可能成立,故原方程组当
n
90时无解;
•••从n
90开始分析,
当n
90,我们可以取人,X2丄,X90
使
sinxi
1(i1,2,L,45)
sinxj
1(j46,47,L,90)
(sinx1
2sinx2nsinxjmax
123
45
4647
902025
则
sinx1
2sinx2nsinxn12
3
42
43
0440
45460470
4849902019时,nmin90
故答案为:
90.
【点睛】
本题考查三角函数有界性的应用,关键时要发现n90时,原方程组无解,考查了学生
计算能力和分析能力,本题难度较大•三、解答题
17.如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SDADa,点
E是线段SD上任意一点•
(1)求证:
ACBE;
(2)试确定点E的位置,使BE与平面ABCD所成角的大小为30°
【答案】
(1)证明见解析
(2)当ED丄6a时,BE与平面ABCD所成角的大小为30°
【解析】
(1)连结BD,通过证明AC平面SBD,即可得ACBE.另外可以利用空间向量证明线线垂直;
(2)由SD丄平面ABCD可得BE与平面ABCD所成角为EBD,EDt,在
RtEDB中可求出t值,即可得到点E的位置•另外还可以用空间向量法求线面角•
【详解】
(1)证明:
连结BD,因为四边形ABCD为正方形,
所以,ACBD,
又因为SD丄平面ABCD,AC平面ABCD,
ACBD
所以ACSD•由ACSDAC平面SBD.
BDSDD
又因为BE平面SBD,所以ACBE•
(2)解法一:
设EDt,因为SD丄平面ABCD,
所以BE与平面ABCD所成角为EBD
在RtEDB中,由tanEBDtan30°
所以,当EDa时,BE与平面ABCD所成角的大小为30°•
3
解法2:
(1)以D为坐标原点,建立空间直角坐标系.
设DEt,则E(0,0,t)
C0,a,0
uuvuuv
则ACa,a,0,BE
a,a,t
因为ACBEa2a200,
所以ACBE;
(2)取平面ABCD的一个法向量为n0,0,1
UJVv
因为BEa,a,t,可知直线be的一个方向向量为da,a,t
设BE与平面ABCD所成角为,
由题意知
30°•d与n所成的角为
贝ycos
vvdnv~vjn
t
爲2=a2=t2
因为sin
cos
1
2,所以,.a2
t
a2
t2
解得,t
当ED
BE与平面ABCD所成角的大小为30o•
【点睛】
本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解,考查计算能力和空间想象能力,
18•已知函数f(x)2cos2x.3sin2x.
是基础题.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
,uuuur
(2)在厶ABC中,bcba
6,若函数f(x)的图像经过点(B,2),求△
ABC的面
【答案】
(1)周期T,单调递增区间k,k,kZ
(2)33
36m
【解析】
(1)将函数f(x)整理为f(x)2sin2x1,进而可求出周期,令
6
2k2x2k,kZ,求出x的范围,即可得函数f(x)的单调递增
262
区间;
(2)由函数f(x)的图像经过点(B,2)可求出B,再根据bcba6,可求出ac,利
用面积公式即可求出△ABC的面积
【详解】
解:
(1)由已知f(x)cos2x1、、3sin2x2sin2x1
6
2
2
2k
2
2x—
6
2k
kZ,
所以函数f(x)的单调递增区间为k-,k
3
6,kZ;
丄&f(B)
2sin
2B—
12
(2)由已知'‘
6
B_
3
0B
uuuruin
又BCBAaccos—
6
ac12
3
1
SaabcacsinB
1
-.3
12-
33
2
2
2
【点睛】
本题考查三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定,利
用角的范围确定角的大小,三角形面积公式的应用,是基础题.
19.某贫困村共有农户100户,均从事水果种植,平均每户年收入为1.8万元,在当地政府大力扶持和引导下,村委会决定2020年初抽出5x户(XN*,X9)从事水果销售工作,经测算,剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%,
1
而从事水果销售的农户平均每户年收入为(31x)万元.
(1)为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元,那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作?
(2)若一年后,该村平均每户的年收入为f(x)(万元),问f(x)的最大值是否可以达到2.1万元?
【答案】
(1)至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作
(2)可以达到2.1万元,详见
解析
【解析】
(1)首先得出种植户的平均收入
3x3
側4x%),得不等式叫)24,
解不等式即可得出答案
(2)得出该村平均每户的年收入为
f(x)
xx
5x(3R「8(1005x)(1刃,利用二
100
次函数的性质求出最大值
【详解】
(1)经过三年,种植户的平均收入为
3
1.8(14x%)3
因而由题意
x
側刃24,得1
253,4x2.5161
⑺f(x)
xx
5x(3)1.8(1005x)
(1)
525
100
丄(聖x266x180)(xN
100255
x9)
对称轴x
因而当x
5时,f(x)max2.122.1可以达到
2.1万元.
【点睛】本题考查函数的应用问题,重点在于读懂题意,属于中档题
20.已知曲线C:
x2y21,过点T(t,0)作直线|和曲线C交于A、B两点.
(1)求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离;
BH倾
(2)若t0,点A在第一象限,AHx轴,垂足为H,连结BH,求直线
斜角的取值范围;
uunuun
uuu
uiu
得ABEF0和
AB
EF
(3)过点T作另一条直线m,m和曲线C交于E、F两点,问是否存在实数
同时成立?
如果存在,求出满足条件的实数t的取值集合,
如果不存在,请说明理由
1
【答案】
(1)1
(2)(O,arctanj(3)存在,实数t的取值集合为{,2,,.2}
【解析】
(1)求出曲线C的焦点和渐近线方程,利用点到直线的距离公式求求解即可;
(2)设l:
ykx(Ok1),A(X1,yJ,B(冷yJ,H(N,O),表示出直线BH的斜
率,根据k的范围,求出其范围,进而得到倾斜角的取值范围;
(3)直接求出当直线l:
y0,直线m:
xt和当直线l:
xt,直线m:
y0时,t的
值,当l:
yk(xt)k0时,与双曲线联立可得(1k2)x22k2tx(1k2t2)0,
利用弦长公式求出
urn
|AB|和|EF|,利用AB
uiu
EF列方程求出
t的值,验证判别式成立
即可得出结果•
【详解】
(1)曲线C的焦点为F1-2,0,F2.2,0,渐近线方程yx,
由对称性,不妨计算
F22,0至y直线yx的距离,d
近0
1.
yk
2x12
将k替换成
1
1,可得|EF|k
.k21vt21k2
|k21
(2)设l:
ykx(0k1),A(X1,yJ,B(为,%)屮(%,0),从而kBH
又因为点A在第一象限,所以0k1,
1
从而kBH0,-
2
1
所以直线BH倾斜角的取值范围是(0,arctan?
);
(3)当直线l:
y0,直线m:
xt
AB2,E0,『7,F0,『7,2/^=2t42
当直线l:
xt,直线m:
y0时,t2
不妨设l:
yk(xt)k0,与双曲线联立可得(1k2)x22k2tx(1k2t2)0,
由弦长公式,|AB|k22°k$(t2|1)k1
1k|I1kI
由|AB||EF|,可得
(t21)k21t21k2,
解得t、、2,此时
4(k2t2k21)0成立.
因此满足条件的集合为
【点睛】
本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系,
考查计算能力,注意不要遗漏直
线斜率不存在的情况,可单独说明即可,本题是中档题
21•定义f佝月2,,an)
a〔a?
a2a3
an
限实数列{an}的波动强度•
(1)求数列1,4,2,3的波动强度;
(2)若数列a,b,c,d满足(ab)(bc)
判断
f(a,b,c,d)
f(a,c,b,d)是
否正确,如果正确请证明,如果错误请举出反例;
(3)设数列
a1,a2,,an是数列121,2
22,3
2n的一个排列,
求f(a1,a2,
an)的最大值,并说明理由
【答案】
(1)
6
(2)fa,b,c,d
fa,c,b,d
是正确的,详见解析(
3)当n为偶数
时,n4,
fa1,a2,...,an
max
n
92°3;当n为奇数时,n3,
fa1,a2,...,an
maXgn24,
13
【解析】
(1)根据波动强度的定义直接计算;
bd,利用abc
(2)作差fa,b,c,dfa,c,b,d
或abc判断正负即可;
(3)设bi2',1in,bn是单调递增数列,可整理
fa1,a2,…,an
为耳X2a2LXnan,
其中X1,Xn1,1,
xn0.经过上述调整后的数列,系数
X2,...,Xn1不可能为0,分n的奇偶性讨论,确定各自含有的2,2,1,1的个数,进而求
出f(a1,a2,,an)的最大值.
【详解】
解:
(1)f1,4,2,3
(2)
fa,b,c,d
fa,c,b,d是正确的
证明:
fa,b,c,d
fa,c,b,d
a,b,c,d
a,c,b,d
所以
fa,b,c,d
fa,c,b,d
a,b,c,d
a,c,b,d
并且当bc时,
b可以取等号,
b时,d
b可以取等号,
所以等号可以取到;
(3)设bi21,
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