学大精品讲义六上数学含答案第九讲 牛吃草问题.docx
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学大精品讲义六上数学含答案第九讲牛吃草问题
课程目标
1.理解牛吃草这类题目的本质和解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路。
2.初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系。
课程重点
1.掌握牛吃草问题的解题思路;
2.掌握变式的牛吃草问题与牛吃草问题的区别与联系。
课程难点
1.会正确熟练解不同类型的牛吃草问题,找出其中不同的部分。
2.掌握变式的牛吃草问题的区别与联系。
教学方法建议
使学生理解基本牛吃草问题的解题思路及方法,同时学会类比出同类题型。
一、知识梳理
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”.
“牛吃草”问题主要涉及三个量:
草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.
解“牛吃草”问题的主要依据:
①草的每天生长量不变;
②每头牛每天的食草量不变;
③草的总量=草场原有的草量+新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值
④新生的草量=每天生长量⨯天数.
二、方法归纳
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”;
⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数
-较少天数);
⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数;
⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度.
“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题.
三、课堂精讲
(一)、草匀速增长,不同头数的牛吃同一片次的草:
例1.牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头
牛吃10天,那么,供25头牛吃多少天?
【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
1.牧场上有一片牧草,供24头牛6周吃完,供18头牛10周吃完。
假定草的生长速度不变,那么供19头牛几周吃完?
2.牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供多少头牛吃18周?
头牛吃几周?
例2.一片牧草,每天生长的速度相同,现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者可供80
只羊吃12天,如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么10头牛与60只羊一起吃可吃多少天?
【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
4.一片牧草,每天生长的速度相同。
现在这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊
吃24天。
如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天?
将草吃完(4只羊1天的吃草量相当于1头牛1天的吃草量),那么,17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
例3.一水库存水量一定,河水均匀入库。
5台抽水机连续20天可抽干;6台同样的抽水机连续15天可抽干。
若要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机?
【规律方法】掌握牛吃草问题的变形,会类比牛吃草问题解决问题。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
6.一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。
如果用12
人舀水,6分钟可以舀完。
如果只有5人舀水,要20分钟才能舀完。
现在要想2分钟舀完,需要多少人?
例4.某超市平均每小时有60人排队付款,每一个收银台每小时能应付80人,某天某时
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
多,如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。
求第一个观众到达的时间?
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
9.由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。
如果牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供15头吃6天,那么可供多少头牛吃10天?
(三)、草匀速增长,不同头数的牛吃同不同片草地的草
例6.有三块草地,面积分别是5公顷,15公顷和24公顷。
草地上的草一样厚而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天;第二块草地可供28头牛吃45天。
那么第三块草
地可供多少头牛吃80天?
【规律方法】掌握草匀速增长,不同头数的牛吃同不同片草地的草的题型的解决方法。
等,且每公亩牧场上每天生长草量相等)?
11.牧场有三块草地,面积分别是4、8、12公亩,草地上的草一样密,生长一样快.第一块地可供10只小梅花鹿吃15天,第二块地可供14只小梅花鹿吃25天,第三块地可供15只小梅花鹿吃多少天?
2.林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果33只猴子一起吃,需要几周吃完?
(假定野果生长的速度不变)
3.一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天?
如果开3个入场口,8点九分就不再有人排队。
如果开5个入场口,8点5分就没有人排队。
第一个观众到达的时间是多少?
6.一牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供17头牛吃30天,或供19头牛吃24
天。
现有一群牛,吃了6天后卖掉4头,余下的牛又吃了2天将草吃完,这群牛原来有多少头?
8.有三块草地,面积分别为4公顷、8公顷和10公顷。
草地上的草一样厚,而其长得一样快。
第一块草地可供24头牛吃6周,第二块草地可供36头牛吃12周。
问:
第三块草地可供50头牛吃几周?
2.有两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走。
男孩每秒可以走3梯级,女孩每秒可
以走2级梯级,结果从附扶梯的一端到达另一端,男孩走了100秒,女孩走了300秒。
请问:
该扶梯共有多少级梯级?
3.天山草场,假设每天草都均匀生长。
这片草场经过测算可供100只羊吃200天,或可供
150只羊吃100天。
问:
如果放牧250只羊可以吃多少天?
放牧这么多羊对吗?
为防止草场沙化,这片草场最多可以放牧多少只羊?
5.经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生话300年.假设地球新生的资源增长的速度是一定的,为使人类有不断发展的潜力,地球最多能养活多少人?
6.
干人前来进口处准备进站。
如果开放4个检票口,15分钟可放完旅客;如果开放8个检票口,7分钟可以放完旅客。
照此放人的速度,现要想在5分钟内放完所有旅客,需要开放几个检票口?
8.一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽;如果让马和羊去吃,20天将草吃尽;如果让牛和羊去吃,30天将草吃尽。
已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。
现在让马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽?
9.(2016年第二十一届“华赛杯”决赛)有一片草场,10头牛8天可以吃完草场上的草;
15头牛,如果从第一天开始每天少一头,可以5天吃完。
那么草场上每天都长出来的草够
头牛吃一天。
原有草量(10-5)×20=100或200-5×20=100.
25头牛分两组,5头去吃生长的草,其余20头去吃原有的草那么100÷20=5(天)
【搭配课堂训练题】
(1)24头牛吃6周的草量24⨯6=144(份)
(2)18头牛吃10周的草量18⨯10=180(份)
(3)(10-6)周新长的草量180-144=36(份)(4)每周新长的草量36÷(10-6)=9(份)
(5)原有草量24⨯6-9⨯6=90(份)或18⨯10-9⨯10=90(份)
(6)全部牧草吃完所用时间
90÷(19-9)=9(周)答:
供19头牛吃9周.
2.如果每1头牛1周吃草1份,则
27头牛6周吃27×6=162份
23头牛周天吃23×9=207份
所以牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15份原来牧场有草162-15×6=72份
18周共有草15×18+72=342份
342÷18=19头
答:
可供19头牛吃18周
=15(份);
草地原有的草的份数:
27×6-15×6,
=162-90,
72÷(21-15),
=72÷6,
=12(周);
答:
这片草地可供21头牛吃12周.
例2设每头牛每天吃草1份,把羊的只数转化为牛的头数为:
草每天生长的份数:
(16×20-20×12)÷(20-12),
=(320-240)÷8,
=80÷8,
=10(份);
草地原有的草的份数:
(16-10)×20=120(份);
10头牛和60只羊就相当于有牛:
10+15=25(头);所吃天数为:
120÷(25-10),
=120÷15,
=8(天);
答:
10头牛和60只羊一起能吃8天.
(15×24-20×12)÷(24-12)
=(360-240)÷12
=120÷12
=10(份)
12头牛和88只羊就相当于有牛:
12+22=34(头);所吃天数为:
120÷(34-10)
=120÷24
=5(天)
答:
12头牛和88只羊一起能吃5天
5.设一头牛一天的吃草量为1份,
草每天的生长速度是:
(14×30-17.5×16)÷(30-16),
=140÷14,
=10(份),原有的草是:
14×30-30×10=120(份),
那么17头牛和20只羊也就相当于牛的头数是:
17+5=22(头);
那么每天生长的10份的草就够22头牛中的10头牛吃的,剩下的牛去吃120份需要的天数是:
120÷(22-10),
例31台抽水机1天抽水量为1,
=10÷5,
=2,
6天抽干,需要同样的抽水机的台数:
(60+2×6)÷6,
=72÷6,
=12(台),
答:
6天抽干,需要12台同样的抽水机,
【搭配课堂训练题】
6.设每人每分钟舀的水是1份。
12人6分钟:
12⨯6=72份
5人20分钟:
5⨯20=100份
也就是20-6=14分钟进水量为100-72=28份进水速度:
28÷14=2份每分钟
初始进水量为72-6⨯2=60份
要2分钟舀完,总工作量:
60+2⨯2=64份
需要人数:
64÷2=32人
答:
需要32人舀水。
7.设一部抽水机1小时的抽水量为1份
泉水每小时涌进进的量为:
(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)
例480×4-4×60=80(人),已经有80人在排队
答:
付款开始0.8小时就没有排队的人了.
【搭配课堂训练题】
8.设每个入场口每分钟能进入的观众为1份.
如果开三个入场口,从8点到8点9分进入的观众数是:
3⨯9=2(7
分)
5⨯5=2(5
分)
每分钟来的观众数为(27-25)÷(9-5)=0.(5
分)
8点前来的观众数是:
25-5⨯0.5=22.(5
分)
这些观众来到需要:
22.5÷0.5=4(5
分)
∵,8点-45分钟=7点15分
答:
第一个观众到达时间是7点15分例5假设每头牛每天吃青草1份,
青草的减少速度为:
(20×5-16×6)÷(6-5),
=4÷1,
=12(份);
那么11头牛每天吃青草11份,青草每天减少4份,可以看作每天有(11+4)头牛
吃草,草地原有的120份草,可吃:
答:
可供11头牛吃8天.
【搭配课堂训练题】
9.每头牛吃草的速度一样,假设一头牛一天吃单位1的草草以每天y的速度在减少
则吃5天时:
20⨯5⨯1+5y=15⨯6⨯1+6y解得:
y=10;
又草原总的草数为:
20⨯5⨯1+y⨯5=150
可供吃10天的牛数为:
150-10y
=5
10
答:
可供5头牛吃10天。
例6设每头牛每天的吃草量为1,则每公顷30天的总草量为:
10×30÷5=60;每公顷45天的总草量为:
28×45÷15=84;
那么每公顷每天的新生长草量为:
(84-60)÷(45-30)=1.6;每公顷原有草量为:
60-1.6×30=12;
那么24公顷原有草量为:
12×24=288;
【搭配课堂训练题】
72公顷牧场126天可提供牧草:
(25.2+0.3×126)×72=4536(份)
可供多少头牛吃126天:
答:
可供36头牛吃126天.
可供10×2=20只小鹿吃15天
20只小鹿,15天吃草20×15=300份
14只小鹿,25天吃草14×25=350份第二块地,
每天长草:
(350-300)÷(25-15)=5份
原来有草:
300-5×15=225份
第三块地,面积是第二块的12÷8=1.5倍每天长草:
5×1.5=7.5份
原来有草:
225×1.5=337.5份
可供15只小鹿吃:
337.5÷(15-7.5)=45天
每天长草:
(450-406)÷(9-7)=22份
草地原来有草:
406-22×7=252份
23只猴9周吃掉23×9=207份
21只猴12周吃掉21×12=252份
那么12周与9周时间相差的252-207=45份就是12-9=5周新长的
原来一开始吃之前已经有207-15×9=72份
答:
需要4周吃完。
3.100÷4=25头
100只羊吃6天=25头牛吃6天令每头牛每天吃草为116×15×1=240
25×6×1=150
每天草产出:
(240-150)÷(15-6)=10原来有草:
240-15×10=90
48÷4=12头
48只羊相当于12头牛
4.设1个检票窗口1分钟检票1个单位.
则每分钟产生的旅客:
(30×4-20×5)÷(30-20)=2单位
5.设每个入场口每分钟能进入的观众为1份.
从9点到9点9分进入的观众数是:
3x9=27(份)
5x5=25(份)
27-9⨯0.5=22.5(份)
或:
25-5⨯0.5=22.5(份)这些观众来到需要:
22.5÷0.5=45(分钟)
9点-45分钟=8点15分
答:
第一个观众到达时间是8点15分
6.按一头牛一天吃草的量为单位1
30天草的总量为:
30⨯17=510(表示可供510头牛吃1天的量)
24天草的总量为:
24⨯19=456(表示可供456头牛吃1天的量)
24天到30天,草6天生长的量为:
510-456=54(表示草可供54头牛吃1天的量)
所以8天草的总量为=原来的草+8天里生长的草=240+9⨯8=312(表示可供312头牛吃1天的量)
20x5=100(分米)
另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底,白天爬:
15⨯6=90(分米)
100-90=10(分米)
答:
井深15米。
8.设一头牛一周吃草量为1份
第一块的24头牛6周吃总草量:
1×24×6=144(份)
第二块的36头牛12周吃总草量:
1×36×12=432(份)
1公顷一周新生草量:
(432÷8-144÷4)÷(12-6)=3(份)
1公顷原有草量:
(144-3×4×6)÷4=18(份)
10公顷一周新生草量:
3×10=30(份)
10公顷原有草量:
18×10=180(份)
50头牛分工:
30头牛专吃新生草,剩余20头牛专吃原有草。
所以可供50头牛吃:
180÷20=9(周)。
12人3小时舀水=12×3=36份;
8人5小时舀水=8×5=40份;
要2小时舀完水,需要的人数=(30+4)÷2=17人答:
要2小时舀完水,需要17个人。
2.扶梯每秒自动下降:
[(300×2)-(3×100)]÷(300-100)
=[600-300]÷200,
=300÷200,
=1.5(级).该扶梯共有:
300-100×1.5
=300-150,
=150(级).
答:
扶梯共有150级扶梯.
3.根据题意可得:
每只羊每天吃草量为1份;
新生草量:
(100×200-150×100)÷(200-100)=50(份);原有草量:
100×200-50×200=10000(份);
250只羊可吃:
10000÷(250-50)=50(天);放牧这么多羊不对.
最多放牧50只羊,因为每天新增草50份,刚好够50只羊吃.
36÷3=12(头)
草每天生长的份数:
=120÷15
=8(份)
(18-8)×40=400(份)
16天吃完,需要牛的头数是:
(400+8×16)÷16=33(头)
(33-17)×3
=16×3
=48(只)
5.100×100=10000(份),
80×300=24000(份),
24000-10000=14000(份),
14000÷200=70(亿人),
答:
地球最多能养活70亿人.
6.设每个窗口,每分钟可以通行的旅客为1份
4个窗口,15分钟可通行:
4×15=60份
8个窗口,7分钟可通行:
8×7=56份相差60-56=4份
这4份,就是15-7=8分钟来排队的人
每分钟通行:
55÷5=11份需要开11个检票口
5×40×1=200份
则草每天生长:
(200-180)÷(40-30)=2份原来有草:
180-30×2=120份
4天后有草:
120+2×30-4×30×1=60份
还能吃:
60÷([4+2)×1-2]=15天
8.设马每天吃的草为1份
一共吃了30份即:
原有牧草+30天长出牧草=30份
(1)牛马15天吃完,则:
原有牧草+15天长出牧草=15份+牛15天吃草与
(1)比较,得:
15天长出牧草=15份-牛15天吃草
1天长出牧草=1份-牛1天吃草
马羊20天吃完,则:
原有牧草+20天长出牧草=20份+羊20天吃草与
(1)比较,得:
牛马15天,一共吃草:
(2+3)⨯15=75份
马羊20天,一共吃草:
草地原来有草:
75-15⨯1=60份
马牛羊同时吃,每天能吃:
1+2+3=6份
除了每天长出的1份,还要吃掉原来的:
6-1=5份吃尽需要:
60÷5=12天
所以
a+8x=10⨯8y①
如果从第二天开始每天少一头,可以5天吃完,
所以
a+5x=15y+14y+13y+12y+11y②
①-②得3x=15y,即x=5y,
所以草场上每天长出来的草够5头牛吃一天。
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