浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题.docx
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浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题
学号:
H120911302
浅谈有关概率论的几个有趣的
随机偶然问题
浅谈有关概率论的几个有趣的
随机偶然问题
摘要概率论是数学中的一门基础学科,不仅可以研究古老难题,解决应试的需求,更广泛应用于现实生活中的各个方面。
尤其在解决带有偶然性的问题时,其独特的思维方法使得问题浅显易懂,从而变的简单易解。
现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。
关键词概率论偶然性趣味性随机
概率论是研究随机现象的数量规律学科。
17、18世纪,数学获得了巨大的进步。
数学家们冲破了古希腊的演绎框架,向自然界和社会生活的多方面汲取灵感,至此数学领域里出现了众多崭新的生长点。
概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
早在16世纪,意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已经开始从数学角度研究赌博问题。
他们的研究不仅包含赌博还涉及到当时的人口、保险业等,但由于卡丹等人的思想未引起重视,概率概念的要旨也不明确,于是很快被人淡忘了。
真正的概率论的历史开始于17世纪中叶,最初概率论是起源于对赌博问题的研究。
据说,1654年左右爱好赌博的法国人梅雷(A.G.C.deMere,1610-1685)写信向帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)请教。
两个赌徒相约赌若干局,谁先赢s局就算赢,现在一个人赢了a(a
于是帕斯卡和费马(P.deFermat,1601-1665)在通信中讨论了“点数问题”,“骰子问题”等问题。
他们把一些日常赌博问题变成了真正的数学问题,用排列组合理论得出正确答案,并提出数学期望这一核心概念。
他们也被大家公认为是概率论的创立者。
数学的有趣性体现于此,它能把生活中的问题转化为数学问题,用数学的思想与方法解决。
与上述案例大致相同的一例有关概率论的赌博游戏就是著名的两个吸收壁的随机游戏问题,也叫做赌徒输光问题。
原题如下:
设袋中有a个白球b个黑球。
甲、乙两赌徒分别有n元、m元,他们不知道袋中哪种球多。
他们约定:
每次有放回从袋中摸一个球,如果摸到白球甲给乙11元,如果摸到黑球,乙给甲1元,知道两个人有一个人输光为止。
求甲输光的概率。
由题知,甲赢1元的概率为
,输1元的概率为
,设
为甲输光的概率,
表示赌t次(摸t次球)后甲的赌金,τ=inf
,即τ表示最终摸球次数。
如果
Φ
(Φ为空集),则令τ=∞。
设A=“第一局(次)甲赢”,则P(A)=p,
,且在第一局甲赢的条件下(因为甲有n+1元)甲最终输光的概率为
,在第1局甲输的条件下甲最终输光的概率为
,由全概率公式,得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件
(1)
(2)
解具有边界条件
(2)的差分方程
(1)有两种方法,其解分别介绍如下。
解法一:
令
,由
(1)得关于
的代数方程
(3)
(Ⅰ)当
时,方程(3)有两个解
,故方程
(1)有两个特解:
1与(
),从而方程
(1)通解为
由边界条件
(2)得
故得
(Ⅱ)当p=q时,方程(3)有两个相等的解
,故方程
(1)有通解
,再由边界条件
(2)得
从而得
综合(Ⅰ)与(Ⅱ)得
(4)
解法二:
(Ⅰ)当
时,由方程
(1)得
(递推)
=
=
(5)
又因
=
所以
,从而由(5)得
=
(递推)
=
=
(Ⅱ)当
时,由方程
(1)得
(递推)
又因
=
所以,
,从而
(递推)
=
从而,亦得(4)。
这样我们就圆满的算出了所要求的量,而且每个步骤都是非常的清晰,使人一看就很明了,我们在此题中也是充分的运用了概率论的知识。
这样的题目现在已经从大学的课本中“下放”到高中的知识,相信还是会有同学不觉得概率论有趣,不过下面这一例问题相信会改变一些同学会概率论的看法——蒲丰(Buffon)投针问题,题目如下:
平面上画着一些平行线,它们之间的距离都是a。
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