高中数学竞赛大纲修订稿.docx
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高中数学竞赛大纲修订稿
高中数学竞赛大纲(修订稿)
篇一:
全国高中数学联赛竞赛大纲
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)
在“普及的基础上不断提高”的方针指引下,全国数学竞赛活动方兴未艾,特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩,使广大中小学师生和数学工作者为之振奋,热忱不断高涨,数学竞赛活动进入了一个新的阶段。
为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。
《教学大纲》在教学日的一栏中指出:
“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。
具体作法是:
“对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学才能”,“要重视能力的培养......,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力,特别是方法与技巧掌握的熟练程度,有更高的要求。
而“课堂教学为主,课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此,本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻“少而精”的原则,这样才能加强基础,不断提高。
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求:
掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求:
面积和面积方法。
几个重要定理:
梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值:
到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理:
在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。
几何中的运动:
反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容:
周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。
三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。
第二数学归纳法。
递归,一阶、二阶递归,特征方程法。
函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。
n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。
复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。
圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。
一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。
3、立体几何
多面角,多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体,欧拉定理。
体积证法。
截面,会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何
直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
篇二:
高中数学竞赛大纲
高中数学竞赛大纲(修订稿)
在“普及的基础上不断提高”的方针指引下,全国数学竞赛活动方兴未艾,特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩,使广大中小学师生和数学工作者为之振奋,热忱不断高涨,数学竞赛活动进入了一个新的阶段。
为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。
《教学大纲》在教学日的一栏中指出:
“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。
具体作法是:
“对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学才能”,“要重视能力的培养......,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力,特别是方法与技巧掌握的熟练程度,有更高的要求。
而“课堂教学为主,课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此,本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻“少而精”的原则,这样才能加强基础,不断提高。
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求:
掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求:
面积和面积方法。
几个重要定理:
梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值:
到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理:
在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。
几何中的运动:
反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容:
周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。
三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。
第二数学归纳法。
递归,一阶、二阶递归,特征方程法。
函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。
n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。
复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。
圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。
一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。
3、立体几何
多面角,多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体,欧拉定理。
体积证法。
截面,会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何
直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
篇三:
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求:
面积和面积方法。
2、几个重要定理:
梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值:
到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理:
在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。
6、几何中的运动:
反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容:
周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。
三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归,一阶、二阶递归,特征方程法。
函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。
3、n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。
4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。
5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。
6、一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。
三、立体几何
1、多面角,多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体,欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面,会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何
1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
数学竞赛中涉及的重要定理
1、第二数学归纳法:
有一个与自然数n有关的命题,如果:
(1)当n=1时,命题成立;
(2)假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n=k+1时,命题也成立。
那么,命题对于一切自然数n来说都成立。
2、
3、棣美弗定理:
无穷递降法:
设复数z=r,其n次方z^n=r^n+isin),其中n为正整数。
证明方程无解的一种方法。
其步骤为:
假设方程有解,并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。
从而与X的最小性相矛盾。
所以,方程无解。
4、同余:
两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a≡b,读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余。
比如26≡14
【定义】设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|,则称a与b关于模m同余,记作a≡b,读作a同余于b模m.。
有如下事实:
若a≡0,则m|a;a≡b等价于a与b分别用m去除,余数相同.
5、欧几里得除法:
即辗转相除法。
详见高中数学课标人教B版必修三
6、完全剩余类:
从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系。
例如,一个数除以4的余数只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩余系。
可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11关于模4同余,这4组数分别属于4个剩余类。
7、高斯函数:
f=ae-^2/c^2其中a、b与c为实数常数,且a>0.
8、费马小定理:
假如p是质数,且=1,那么a^≡1(modp)假如p是质数,且a,p互质,那么a的次方除以p的余数恒等。
9、欧拉函数:
φ函数的值:
通式:
φ=x…..,其中p1,p2…pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
φ=1(唯一和1互质的数就是1本身)。
若n是质数p的k次幂,φ=p^k-p^=p^,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ=φφ。
特殊性质:
当n为奇数时,φ=φ,证明于上述类似。
10、孙子定理:
此定理的一般形式是设m=m1,…,mk为两两互素的正整数,m=m1,…mk,m=miMi,i=1,2,…,k。
则同余式组x≡b1,…,x≡bk的解为x≡M'1M1b1+…+M'kMkbk(modm)。
式中M'iMi≡1(modmi),i=1,2,…,k。
11、裴蜀定理:
对任何整数a、b
和它们的最大公约
数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):
若a,b是整数,且=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是:
a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
11、梅涅劳斯定理:
如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、
BDCEAF?
?
DCEAFB=1E、F且D、E、F三点共线,则
12、梅涅劳斯定理的逆定理:
如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上BDCEAF?
?
有点D、E、F,且满足DCEAFB=1,则D、E、F三点共线。
13、塞瓦定理:
设O是△ABC内任意一点,AO、BO、CO分别交对边于N、P、
AMBNCP?
?
?
1MBNCPAM,则
14、塞瓦定理的逆定理:
设M、N、P分别在△ABC的
AMBNCP?
?
?
1MBNCPA边AB、BC、CA上,且满足,则AN、BP、CM相交于一点。
15、广勾股定理的两个推论:
推论1:
平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。
推论2:
设△ABC三边长分别为a、b、c,对应边上中线长分别为ma、mb、mc1112b2?
2c2?
a22a2?
2c2?
b22a2?
2b2?
c2
则:
ma=2;mb=2;mc=2
16、三角形内、外角平分线定理:
BDAB?
AC内角平分线定理:
如图:
如果∠1=∠2,则有DC
外角平分线定理:
如图,AD是△ABC中∠A的外角平分线交BC的延长线与D。
BDAB?
AC则有DC
17、托勒密定理:
四边形ABCD是圆内接四边形,则有AB·
CD+AD
·
BC=AC·BD
18、三角形位似心定理:
如图,若△ABC与△DEF位似,则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P
19、正弦定理、
abc?
?
?
2RsinAsinBsinC在△ABC中有(R为△ABC外接圆半径)
余弦定理:
a、b、c为△ABC的边,则有:
a2=b2+c2-2bc·cosA;b2=a2+c2-2ac·cosB;c2=a2+b2-2ab·cosC;
20、西姆松定理:
点P是△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,D、E、F为垂足,则D、E、F三点共线,此直线称为西姆松线。
21、欧拉定理:
△ABC的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有:
d2=R2-2Rr.
22、巴斯加线定理:
圆内接六边形ABCDEF(不论其六顶点排列次序如何),其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线。
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