第15讲梯形与多边形.docx
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第15讲梯形与多边形
第15讲梯形与多边形
第一部分考点搜索
(一)梯形
1.定义:
一组对边平行,而另一组对边的四边形,叫做梯形。
其中,平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的
直角梯形:
一腰与底的梯形叫做直角梯形
一般梯形
等腰梯形:
两腰的梯形叫做等腰梯形
特殊梯形
2.分类:
梯形
(二)等腰梯形的性质和判定
1.性质:
⑴等腰梯形的两腰相等,相等
⑵等腰梯形的对角线
⑶等腰梯形是对称图形
2.判定:
⑴用定义:
先证明四边形是梯形,再证明其两腰相等
⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形
⑶对角线的梯形是等腰梯形
(三)多边形
1.定义:
在平面内,由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形,各边相等也相等的多边形叫做正多边形
2.多边形的内外角和:
n(n≥3)的内角和是外角和是正几边形的每个外角的度数是,每个内角的度数是
3.多边形的对角线:
多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段,从几边形的一个顶点出发有条对角线,将多边形分成个三角形,一个几边形共有条对边线
第二部分典例精析
考点一:
梯形的基本概念和性质
例1(2012•内江)如图,四边形ABCD是梯形,BD=AC且BD⊥AC,若AB=2,CD=4,则S梯形ABCD=9
.
【答案】9
【解答】过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,过点B作BF⊥DC于点F,
则AC=BE,DE=DC+CE=DC+AB=6,又∵BD=AC且BD⊥AC,∴△BDE是等腰直角三角形,∴BF=
DE=3,
故可得梯形ABCD的面积为
(AB+CD)×BF=9.
故答案为:
9.
同步拓展
1.(2012•无锡)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于( )
A.17B.18C.19D.20
【解答】∵CD的垂直平分线交BC于E,
∴DE=CE,∵AD=3,AB=5,BC=9,
∴四边形ABED的周长为:
AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17.故选A.
小结:
考点二:
等腰梯形的性质
例2(2012•呼和浩特)已知:
在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是( )
A.25B.50C.25
D.
【答案】A
【解答】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,
∵AD∥BC(已知),即AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形,∴AD=CE=3,AC=DE,
在等腰梯形ABCD中,AC=DB,∴DB=DE(等量代换),
∵AC⊥BD,AC∥DE,∴DB⊥DE,∴△BDE是等腰直角三角形,
作DF⊥BC于F,则DF=
BE=5,S梯形ABCD=
(AD+BC)•DF=
(3+7)×5=25,
故选A.
同步拓展
1.(2012•厦门)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,若OB=3,则OC=3
.
2.3
【解答】∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=CD,∠BCD=∠ABC,
在△ABC与△DCB中,
∵
∴△ABC≌△DCB,∴∠DBC=∠ACB,∴OB=OC=3.故答案为:
3.
小结:
考点三:
等腰梯形的判定
例3(2012•襄阳)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.
(1)求证:
梯形ABCD是等腰梯形;
(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?
请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.
【解答】
(1)证明:
∵AD∥BC,∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,
又∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠DEC=∠AEB,
又∵EB=EC,∴△DEC≌△AEB,∴AB=CD,∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形.
【证明】∵AD∥BC,BE=EC=AD,∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形.∴AB=ED,
∵AB⊥AC,∴AE=BE=EC,∴四边形AECD是菱形.
过A作AG⊥BE于点G,
∵AE=BE=AB=2,∴△ABE是等边三角形,∴∠AEB=60°,∴AG=
,
∴S菱形AECD=EC•AG=2×
=2
。
同步拓展
1.(2011•百色)已知矩形ABCD的对角线相交于点O,M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点.
(1)请你在下列条件①DM=CN,②OM=ON,③MN是△OCD的中位线,④MN∥AB中任选一个添加条件(或添加一个你认为更满意的其他条件),使四边形ABNM为等腰梯形,你添加的条件是①DM=CN
.
(2)添加条件后,请证明四边形ABNM是等腰梯形.
【解答】
(1)可以选择①DM=CN;
(2)证明:
∵AD=BC,∠ADM=∠BCN,DM=CN
∴△AMD≌△BCN,
∴AM=BN,由OD=OC知OM=ON,
∴
,∴MN∥CD∥AB,且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形.
2.(2012•漳州)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠B=80°,则∠D的度数是( )
A.120°B.110°C.100°D.80°
【解答】∵AD∥BC,∠B=80°∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°,
∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠D=∠A=100°.故选C.
3.(2012•广州)如图,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB交BC于点E,且EC=3,则梯形ABCD的周长是( )
A.26B.25C.21D.20
【解答】∵BC∥AD,DE∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形,∴BE=AD=5,
∵EC=3,∴BC=BE+EC=8,
∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AB=DC=4,
∴梯形ABCD的周长为:
AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.故选C.
小结:
考点四:
梯形的综合应用
例4.(2012•盐城)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BDC=90°,E为BC上一点,∠BDE=∠DBC.
(1)求证:
DE=EC;
(2)若AD=
BC,试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
【分析】
(1)由∠BDC=90°,∠BDE=∠DBC,利用等角的余角相等,即可得∠EDC=∠C,又由等角对等边,即可证得DE=EC;
(2)易证得AD=BE,AD∥BC,即可得四边形ABED是平行四边形,又由BE=DE,即可得四边形ABED是菱形.
【解答】
(1)证明:
∵∠BDC=90°,∠BDE=∠DBC,
∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE,∠C=90°-∠DBC,∴∠EDC=∠C,∴DE=EC;
(2)若AD=
BC,则四边形ABED是菱形.
证明:
∵∠BDE=∠DBC.∴BE=DE,
∵DE=EC,∴BE=EC=
BC,∴AD=BE,
∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,∴▱ABED是菱形.
同步拓展
1.(2012•苏州)如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E,使BE=AD,连接AE、AC.
(1)求证:
△ABE≌△CDA;
(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.
【解答】
(1)证明:
在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA,∴∠ABE=∠CDA
在△ABE和△CDA中,
,∴△ABE≌△CDA.
(2)解:
由
(1)得:
∠AEB=∠CAD,AE=AC,∴∠AEB=∠ACE,
∵∠DAC=40°,∴∠AEB=∠ACE=40°,∴∠EAC=180°-40°-40°=100°.
2.(2012•永州)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F、G分别在边AB、BC、CD上,且AE=GF=GC.求证:
四边形AEFG为平行四边形.
【解答】证明:
∵梯形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,∴∠B=∠C,
∵GF=GC,∴∠GFC=∠C,∴∠GFC=∠B,∴AB∥GF,
又∵AE=GF,∴四边形AEFG是平行四边形.
小结:
考点五:
多边形内角和、外角和公式
例5(2012•南京)如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4=.
【答案】300°
【分析】根据题意先求出∠5的度数,然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值.
【解答】由题意得,∠5=180°-∠EAB=60°,又∵多边形的外角和为360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°.故答案为:
300°.
同步拓展
1.(2012•广安)如图,四边形ABCD中,若去掉一个60°的角得到一个五边形,则∠1+∠2=度.
【解答】∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°,∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°,
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴∠1+∠2=540°-300°=240°,故答案为240.
2.(2012•烟台)如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案,其形状近似看作为正七边形,则一个内角
为度(不取近似值)。
【答案】.
3.(2012•肇庆)一个多边形的内角和与外角和相等,则这个多边形是( )
A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
【解答】设此多边形是n边形,
∵多边形的外角和为360°,∴180(n-2)=360,解得:
n=4.
∴这个多边形是四边形.故选A.
小结:
考点六:
平面图形的密铺
例6(2012•贵港)如果仅用一种正多边形进行镶嵌,那么下列正多边形不能够将平面密铺的是( )
A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形
【答案】D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数,再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断.
【解答】A、正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意;
B、正四边形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意;
C、正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意;
D、正八边形的一个内角度数为180°-360°÷8=135°,不是360°的约数,不能镶嵌平面,符合题意;
故选D.
小结:
第三部分每课质检
一、选择题
1.(2012•十堰)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC,若AD=4,AB=6,BC=8,则梯形ABCD的周长为( )
A.22B.24C.26D.28
2.(2012•漳州)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠B=80°,则∠D的度数是( )
A.120°B.110°C.100°D.80°
3.(2012•乐山)下列命题是假命题的是( )
A.平行四边形的对边相等
B.四条边都相等的四边形是菱形
C.矩形的两条对角线互相垂直
D.等腰梯形的两条对角线相等
4.(2012•深圳)如图所示,一个60°角的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数为( )
A.120°B.180°C.240°D.300°
二、填空题
1.(2012•义乌市)正n边形的一个外角的度数为60°,则n的值为
2.(2012•南通)如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠A+∠B=90°,AB=7cm,BC=3cm,AD=4cm,则CD=2
cm.
3.(2012•厦门)五边形的内角和的度数是.
4.(2012•丹东)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,且AB⊥AE.若AB=5,AE=6,则梯形上下底之和为13
.
5.(2012•德阳)已知一个多边形的内角和是外角和的
,则这个多边形的边数是.
三、解答题
1.(2012•怀化)如图,在等腰梯形ABCD中,E为底BC的中点,连接AE,DE.求证:
AE=DE.
2.(2012•苏州)如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E,使BE=AD,连接AE、AC.
(1)求证:
△ABE≌△CDA;
(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.
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