氢原子光谱实验中里德伯常数计算方法的探讨.docx

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基础物理实验研究性报告

氢原子光谱实验中里德伯常数计算方法的探讨

OndifferentmethodsofestimatingtheRydbergconstantintheHydrogenatomsspectrumexperiment

第一作者：

彭志伟

学号：

10041189

所在院系：

能源与动力工程学院

第二作者：

贾林江

学号：

10041152

所在院系：

能源与动力工程学院

目录

氢原子光谱实验中里德伯常数计算方法的探讨 1

摘要 3

关键词 3

Abstract 3

KeyWords 3

一、引言 1

二、氢原子光谱实验综述 2

三、实验原理 2

3.1氢原子光谱 2

3.2光栅及其衍射分光原理 3

四、里德伯常数数据处理方法 3

4.1可能的一些数据处理方法 3

4.1.1算数平均与加权平均 3

4.1.2一元线性回归法 5

4.1.3线性回归与最小二乘加权平均的比较 8

4.2结论 10

五、结语 11

六、参考文献 12

七、附录——原始实验数据 13

7.1钠黄光校准光栅常数 13

7.1.1级谱线校准光栅常数 13

7.1.2级谱线计算色分辨率 13

7.2氢光源测定里德伯常数 13

7.2.1红光原始数据 13

7.2.2蓝光原始数据 13

7.2.3紫光原始数据 14

摘要

本文讨论了氢原子光谱实验中里德伯常数的几种不同的数据处理方法。

理论上定量分析了不同算法的不确定度及置信水平，得出了应用不同波长求出里德伯常数后再采用加权最小二乘平均得到里德伯常数的最小方差无偏估计的算法较为合理的结论，并以原始实验数据进行了验证。

关键词：

里德伯常数；数据处理；最小二乘法；加权平均

Abstract

ThispaperdiscussesseveraldataprocessingmethodsintheHydrogenatomsspectrumexperiment.Byapplyingbasictheoryofmathematicalstatistics,theuncertaintiesandconfidencelevelsofdifferentmethodsareanalyzedandcompared.Inconclusion,it’sbettertoutilizeWeightedLeastSquaresmethod（WLS）togettheminimum-varianceunbiasedestimateoftheRydbergconstantaftercalculatingtheRydbergconstantofdifferentwavelengths.

KeyWords:

Rydbergconstant;dataprocessing;leastsquarescriterion;weightedaverage

氢原子光谱实验中里德伯常数计算方法的探讨

一、引言

里德伯常量，又译为雷德堡常数，是原子物理学中的基本物理常量之一。

根据2002年CODATA的结果，它的值是。

1885年，瑞士数学教师约翰·雅各布·巴尔默（J.J.Balmer）在一篇论文中报告了氢原子光谱的一个经验规律，同时得出里德伯常量的近似数值。

1913年，丹麦物理学家尼尔斯·玻尔运用自己创立的原子模型和普朗克的量子学说第一次试图计算推导出里德伯常量的精确值。

1914年，针对误差，玻尔提出，这是由于假设原子核静止不动引起的。

实际情况是，原子核的质量不是无穷大，它与电子围绕共同的质心转动。

玻尔对其理论进行了修正，用原子核和电子的折合质量μ代替了电子质量修正了模型。

玻尔把普朗克常数和里德伯常量联系起来，体现了联系的普遍性和特殊性，原子结构模型理论与原子光谱的本质联系为光谱学的发展奠定了基础EUCondon,GHShortley,TheTheoryofAtomicSpectra.,London;CambridgeUniversityPress，1935

。

实验方法为由光栅衍射测出波长，进而求得里德伯常数。

数据处理依照巴耳末系公式：

本实验中讨论时的可见光，在基础物理实验教材李朝荣，徐平，唐芳，王慕冰.基础物理实验（修订版）.北京：

北京航空航天大学出版社，2010

中，采用各波长求后再加权平均的方法，在其他教材中也有其他一些不同的算法，如直线拟合的方法。

选择合理的数据处理方法是物理实验的重要环节，直接关系到结果的符合程度以及不确定度的估计，同时也是科学研究的重要手段。

因此有必要对不同数据分析方法进行研究，得出最优或者较优的算法。

二、氢原子光谱实验综述

衍射光栅在现代光谱分析中具有重要应用。

光谱分析就是利用物质发射的光谱对其元素组成进行分析和判断。

氢原子光谱是一种典型的现状光谱，它是量子理论得以建立的最重要的实验基础之一。

本实验把作为分光元件的光栅和精密测角仪器的分光仪结合起来进行氢光谱的观察与测量。

三、实验原理

3.1氢原子光谱

原子光谱是线光谱，光谱排列的规律不同，反映出原子结构的不同，研究原子结构的基本方法之一是进行光谱分析。

氢原子光谱是最简单、最典型的原子光谱。

瑞士物理学家巴尔末根据实验结果给出氢原子光谱在可见光区域的经验公式为：

式中为氢原子谱线在真空中的波长，=364.56,。

若用波数表示谱线，则对于巴耳末系:

式中为里德伯常量。

根据玻尔理论，可得出氢和类氢原子的里德伯常数为：

其中：

为原子核质量，为电子质量，为电子电荷，为光速，为普朗克常数，为真空介电常数，为原子序数。

当时，就得到里德伯常量：

里德伯常数是重要的基本物理常数之一，对它的精密测量在科学上有重要意义，它的公认值为：

。

3.2光栅及其衍射分光原理

通常把由大量等宽等间距的狭缝构成的光学元件叫做衍射光栅。

它能使入射光的振幅或位相，或者两者同时产生周期性空间调制。

光栅最重要的应用是用作分光元件，分光原理可以从多缝夫琅和费衍射图象中亮线位置的光栅方程:

对应于亮线的衍射角与波长有关，是衍射级次。

因此对于给定间距（光栅常数）的光栅，当用多色光照明时，不同波长的同一级亮线，除零级外均不重合，即发生了色散，这就是光栅的分光原理。

如果通过透镜接收，将在其焦平面上形成有序的光谱排列。

若已知光栅常数，就可以测出波长。

四、里德伯常数数据处理方法

4.1可能的一些数据处理方法

4.1.1算数平均与加权平均

普通最小二乘法的离差平方和为：

如果测量量的次测量结果为，单次测量结果的不确定度，由

（1）式知，可取平均值作为测量结果，作为的不确定度。

本实验中的波长不是等精密度观测量，算术平均算法得不到的最佳估计。

在误差项等方差不相关的条件下，算术平均估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。

然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在式

（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。

因此由式

（1）求出的不再是最小方差线性无偏估计王黎明，陈颖，杨楠.应用回归分析.上海：

复旦大学出版社，2008.06

。

为了得到最小方差的无偏估计，采用加权最小二乘法。

即在平方和中加入一个适当的权数，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为：

理论上最优的权数为误差项方差的倒数,即：

误差项方差大的项接收小的权数，以降低其在式

（2）平方和中的作用;误差项方差小的项接收大的权数，以提高其在平方和中的作用。

取权数,由

（2）式知，在本实验中需满足：

取最小值。

故最佳观测值满足：

即：

整理之后得

因此得到的最小方差无偏估计：

的不确定度满足：

故：

4.1.2一元线性回归法

这里不能用等精密度测量的一元线性回归算法，但我们可以做如下处理。

根据巴耳末系公式：

通过测量末态量子数，初态量子数时巴耳末系各谱线的波长，得到波长的倒数（即波数），再经过线性拟合即可求得里德伯常数。

给定样本｛｝，可给出回归模型：

其中，为的数学期望，为方差。

若,分别为，的最优线性无偏估计，则回归方程为：

其中，和由最小二乘法给出，称为回归常数，称为回归系数。

下面给出不同的一些线性拟合方法：

表格1线性回归算法

编号

算法

估计法

1

2

3

4

注：

分别为红光，蓝光，紫光。

估计法指采用还是来求解。

如2为斜率估计，3采用截距估计。

算法1,2,3均以波数为因变量，回归系数和回归常数由最小二乘法给出。

这里数据点（即）的标准差并不相同，但由于实验数据点较少，我们定义的平均标准差为。

则可以推出：

可以看出，：

=。

对于算法2和3，得到的里德堡常数标准差之比：

结合，。

故采用截距估计的算法3优于算法2。

对算法1而言，其回归直线截距为零。

标准差为：

有。

因此在算法1、2、3中，1为最优算法，但是考虑到波数不是等精密度观测量，一般最小二乘算法的条件不满足，需对数据点使用加权最小二乘法，这会对里德伯常数不确定度的计算带来麻烦。

算法4中，直接以不同波长为因变量，避免了不等精密度的问题。

在权重相等的假设下，求得其回归系数，则：

其标准差。

的分布符合自由度为3的分布。

此算法较算法1更好，有更小的标准差。

下面给出标准差随实验数据点的变化趋势：

图表1算法2和算法4标准差随测量谱线数目的变化

从图中看出采用斜率估计法的算法2标准偏差很大，而且不随数据点的增多而趋于零，而算法4的标准差逐渐趋于零。

特别值得注意的是在本实验中，仅有三个数据点，因此即使采用最优的算法4进行线性回归仍然有稍大的标准差。

4.1.3线性回归与最小二乘加权平均的比较

下面给出算法4及加权平均的分布特性：

表格2不同算法标准差分布特征

算法

分布

下限2.5%

上限97.5%

算法4

0.44

2.9

加权平均

近似分布

1.62

1.63

注：

指自由度为3的分布。

综上所述，从理论上证明了加权平均算法为以上所列算法中最优的数据处理方法。

经过上面的分析，从理论上可以看出算法4是线性回归中的最优方案。

下面利用实际实验数据将算法4与加权平均进行比较。

这里目的是验证上述理论结果，因此不再赘述所有的实验数据处理过程。

（原始数据列表见附录）

在钠光校准光栅常数的实验中得到：

在实验中采用加权平均方法得出里德伯常数的最佳估计值：

下面采用算法4进行数据处理：

表格3待回归数据

用Matlab做线性回归，源代码如下：

图表2matlab线性回归代码

相关性系数。

回归系数

的估计值：

可见加权平均的百分误差与不确定度均小于算法4的线性回归。

至此从实验上证明了上述理论推导。

最终可以得出采用加权平均算法获得里德伯常数的最优无偏估计是上述算法中最为合理的算法。

4.2结论

由表格2知，采用算法4和加权平均所得实验结果在置信概率均为95%时，算法4的置信区间明显小于加权平均。

此外由于数据点很