学年八年级数学北师大版下《平行四边形的判定与性质》训练含答案.docx
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学年八年级数学北师大版下《平行四边形的判定与性质》训练含答案
2021北师大版八年级数学下册《平行四边形的判定与性质》综合提升训练
1.若平行四边形中两个相邻内角的度数之比为1:
3,则其中较小的内角是( )
A.45°B.30°C.60°D.36°
2.如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠ADC的平分线交于点O,且分别交直线BC于点E,F.若AB=7,BC=4,则OE2+OF2的值是( )
A.50B.63C.100D.121
3.如图,已知△ABC的面积为12,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BF=4CF,四边形DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )
A.2B.3C.4D.5
4.如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠BAD的平分线AE交CD于点E,连接BE,若∠BAD=∠BEC,则平行四边形ABCD的面积为( )
A.
B.
C.
D.15
5.在平行四边形ABCD中,∠A:
∠B:
∠C:
∠D的值可以是( )
A.1:
2:
3:
4B.1:
2:
2:
1C.1:
1:
2:
2D.2:
1:
2:
1
6.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠BCD的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AF的长等于( )
A.2B.3C.4D.6
7.如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.如果AD=5cm,AP=8cm,则△ABP的面积等于( )cm2.
A.24B.30C.6
D.12
8.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且AE=3cm,AF=4cm.若▱ABCD的周长为56cm,则BC的长为( )
A.14cmB.16cmC.28cmD.32cm
9.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠ABC=∠ADC,AD∥BCB.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
C.∠ABD=∠BDC,OA=OCD.∠ABC=∠ADC,AB=CD
10.下列说法不正确的是( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形
11.如图,在▱ABCD中,点E、F分别在边AB和CD上,下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是( )
A..DE=BFB..AE=CFC..∠ADE=∠CBFD..∠AED=∠CFB.
12.下列条件中,不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
A.一组对边相等且平行B.一组对边平行,另一组对边相等
C.两条对角线互相平分D.两组对边分别相等
13.如图,在平行四边形ABCD中,BD是对角线,E,F分别是边AD,BC上不与端点重合的两点,连接EF,下列条件中使得四边形BFDE是平行四边形的是 .(多选)
A.AE=CFB.EF经过BD的中点C.BE∥DFD.EF⊥AD
14.如图,点A、E、F、C在一条直线上,若将△DEC的边EC沿AC方向平移,平移过程中始终满足下列条件:
AE=CF,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且AB=CD.则当点E、F不重合时,BD与EF的关系是 .
15.如图,已知平行四边形ABCD中,∠BCD的平分线交边AD于E,∠ABC的平分线交AD于F,AB=10,AE=4,则EF= .
16.如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若平行四边形ABCD的周长是30,OE=3,则四边形ABFE的周长是 .
17.已知平行四边形ABCD的一个内角平分线把一边分为3cm,5cm两部分,这个平行四边形的周长是 .
18.如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB为半径画弧交AD于点F,分别以点B,F为圆心,同长为半径画弧交于点G,连接AG并延长交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为 .
19.如图,已知平行四边形ABCD中,AD=6,AB=10,∠DAB=60°,AC、BD相交于点O,经过点O的直线EF分别交CD、AB于点E、F,则图中阴影部分的面积是 .
20.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,有下列条件:
①BF=DE;②AE=CF;③∠EAB=∠FCO;④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是 .
21.如图,平行四边形ABCD中,AB=8cm,AD=12cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒4cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止).在运动以后,当t= 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形.
22.已知,如图所示,AB∥CD,AB=CD,点E、F在BD上.∠BAE=∠DCF,连接AF、EC,求证:
(1)AE=FC;
(2)四边形AECF是平行四边形.
23.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M,N分别为OA、OC的中点,求证:
△AMB≌△CND.
24.如图,在平行四边形ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E.
(1)求证:
AF=DE;
(2)若EF=1,▱ABCD的周长为46,求BC的长.
25.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O任作直线分别交AB、CD于点E、F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CD=6,AD=5,OE=2,求四边形AEFD的周长.
26.如图,已知△ABC与△ADE是等腰三角形,并且△ABC≌△ADE,连接CE、BD交于点F.
(1)求证:
BD=CE;
(2)当四边形ABFE是平行四边形时,且AB=2,∠BAC=30°,求CF的长.
27.如图,▱ABCD中,E是AD边的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于F.
(1)求证:
△ABE≌△DFE.
(2)连接AF、BD,若三角形DEF的面积为1,则四边形ABCF的面积为.
28.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
29.已知:
如图,在△ABC中,D是AB边上任意一点,E是BC边中点,过点C作AB的平行线,交DE的延长线于点F,连接BF,CD.
求证:
四边形CDBF是平行四边形.
参考答案
1.解:
设平行四边形中两个相邻内角分别为x°,3x°,
则x+3x=180,
解得:
x=45,
∴其中较小的内角是45°,
故选:
A.
2.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠E=∠DAE,
又∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠E=∠BAE,
∴AB=BE=7,
又∵BC=4,
∴CE=7﹣4=3,
同理可得,BF=3,
∴EF=3+4+3=10,
∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
又∵∠BAD和∠ADC的平分线交于点O,
∴∠OAD+∠ODA=90°,
∴∠AOD=90°=∠EOF,
∴Rt△EOF中,OE2+OF2=EF2=102=100,
故选:
C.
3.解:
连接EC,过A作AM∥BC交FE的延长线于M,
∵四边形CDEF是平行四边形,
∴DE∥CF,EF∥CD,
∴AM∥DE∥CF,AC∥FM,
∴四边形ACFM是平行四边形,
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同,
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等,
同理△ADE的面积和△AME的面积相等,
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半,是
×CF×hCF,
∵△ABC的面积是12,BC=4CF,
∴
BC×hBC=
×3CF×hCF=12,
∴CF×hCF=8,
∴阴影部分的面积是
×16=4,
故选:
C.
4.解:
过点B作BF⊥CD于F,如图所示:
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=5,AD=BC=3,∠BAD=∠BCE,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DEA,
∴∠DAE=∠DEA,
∴AD=DE=3,
∴CE=CD﹣DE=2,
∵∠BAD=∠BEC,
∴∠BCE=∠BEC,
∴CF=EF=
CE=1,
BF=
=
=2
,
∴平行四边形ABCD的面积=BF•CD=2
×5=10
,
故选:
C.
5.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴D正确,
故选:
D.
6.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=8,
∴∠F=∠FCD,
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠FCD,
∴∠F=∠BCE,
∴BF=BC=6,
∴AF=BF﹣AB=8﹣6=2;
故选:
A.
7.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AB∥CD,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,
∴∠PAB+∠PBA=
(∠DAB+∠CBA)=90°,
在△APB中,∠APB=180°﹣(∠PAB+∠PBA)=90°,
∴AP⊥PB,
∵AP平分∠DAB且AB∥CD,
∴∠DAP=∠PAB=∠DPA.
∴△ADP是等腰三角形.
∴AD=DP=5cm,
同理可得CP=BC=5cm,
∴CD=AB=10cm,
∴PB=
=
=6cm,
∴△ABP的面积=
×6×8=24cm2,
故选:
A.
8.解:
∵▱ABCD的周长为56cm,
∴BC+CD=28cm,
∵▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,
∴S▱ABCD=BC•AE=CD•AF
∵AE=3cm,AF=4cm,
∴3BC=4CD,
∴BC=16cm,CD=12cm,
故选:
B.
9.解:
A、∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ADC+∠BAD=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;
B、∵∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB,
∴∠ADB=∠CBD,
∴AD∥CB,
∵∠ABD=∠BDC,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;
C、∵∠ABD=∠BDC,OA=OC,
又∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD(AAS),
∴DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;
D、∠ABC=∠ADC,AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意;
故选:
D.
10.解:
A、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形,
∴选项A不符合题意;
B、∵一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,
∴选项B符合题意;
C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,
∴选项C不符合题意;
D、∵一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形,
∴选项D不符合题意;
故选:
B.
11.解:
A、由DE=BF,不能推出四边形DEBF是平行四边形,有可能是等腰梯形,故选项A符合题意;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF∥EB,AB=CD,
∵AE=CF,
∴DF=EB,
∴四边形DEBF是平行四边形,故选项B不符合题意;
C、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF∥EB,AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,
在△ADE和△CBF中,
,
∴△ADE≌△CBF(ASA),
∴AE=CF,
∴DF=EB,
∴四边形DEBF是平行四边形,故选项C不符合题意;
D、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF∥EB,
∴∠CFB=∠ABF,
∵∠AED=∠CFB,
∴∠ABF=∠AED,
∴DE∥BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,故选项D不符合题意;
故选:
A.
12.解:
A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形,故本选项不符合题意;
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,可能是等腰梯形,故本选项符合题意;
C、两条对角线互相平分是平行四边形,故本选项不符合题意;
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故本选项不符合题意;
故选:
B.
13.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵AE=CF,AD=BC,
∴DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形;
故A选项符合题意;
若EF经过BD的中点O,
∵AD∥BC,
∴∠EDO=∠FBO,
在△BOF和△DOE中,
,
∴△BOF≌△DOE(ASA),
∴BF=DE,
∴四边形BFDE是平行四边形;
故B选项符合题意;
∵DE∥BF,BE∥DF,
∴四边形BFDE是平行四边形;
故C选项符合题意;
由EF⊥AD不能判定四边形BFDE是平行四边形;
故D选项不符合题意;
故答案为:
A,B,C.
14.解:
已知AE=CF,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且AB=CD且点E、F不重合,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,
∴∠DEC=∠BFA=90°,
又已知AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴DE=BF,
∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF,
∴OE=OF,OB=OD,
∴BD和EF互相平分.
故答案为:
互相平分.
15.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠AFB=∠FBC,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠FBC,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AB=AF;
∵AB=10,AE=4,
∴EF=AF﹣AE=10﹣4=6,
故答案为:
6.
16.解:
∵四边形ABCD为平行四边形,对角线的交点为O,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,AE=CF,
∵平行四边形ABCD的周长为30,
∴AB+BC=
×30=15,
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2×3=15+6=21,
故答案为:
21.
17.解:
∵ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵AE为角平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠AEB=∠BAE,
∴AB=BE,
∴①当BE=3cm,CE=5cm,AB=3cm,
则周长为22cm;
②当BE=5cm时,CE=3cm,AB=5cm,
则周长为26cm.
故答案为:
22cm或26cm.
18.解:
如图,连接FE,设AE交BF于点O.
由作图可知:
AB=AF,AE平分∠BAD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE,
∴AB=BE,
∴AF=BE,
∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形,
∴AE⊥BF,
∴AO=OE=
AE,BO=OF=3,
在Rt△AOB中,AO=
=
=4,
∴AE=2OA=8.
故答案是:
8.
19.解:
如图,过点D作DH⊥AB于H,
∵∠DAB=60°,
∴∠ADH=30°,
∴AH=
AD=3,DH=
AH=3
,
∴平行四边形ABCD的面积=10×3
=30
,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AO=CO,
∴∠BAC=∠DCA,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴S△AOF=S△COE,
∴图中阴影部分的面积=S△BCD=
S▱ABCD=15
,
故答案为15
.
20.解:
∵四边形ABD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,OB=OD,OA=OC,
∵BF=DE,
∴BF﹣OB=DE﹣OD,
即OF=OE,
∴四边形AECF是平行四边形;
∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF,
∵∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴BE=CF,
∵AO=CO,BO=DO,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形;
∵AF∥CE,
∴∠AFB=∠CED,
在△ABF和△CDE中,
,
∴△ABF≌△CDE(AAS),
∴BF=DE,
∴BF﹣OB=DE﹣OD,
即OF=OE,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形;
∵AE=CF,不能判定△ABE≌△CDF,
∴不能判定四边形AECF是平行四边形;
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①④,
故答案为:
①④.
21.解:
设经过t秒,以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形,
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形,
∴DP=BQ,
分为以下情况:
①点Q的运动路线是C﹣B,方程为12﹣4t=12﹣t,
此时方程t=0,此时不符合题意;
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C,方程为4t﹣12=12﹣t,
解得:
t=4.8;
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B,方程为12﹣(4t﹣24)=12﹣t,
解得:
t=8;
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C,方程为4t﹣36=12﹣t,
解得:
t=9.6;
综上所述,t=4.8s或8s或9.6s时,以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形,
故答案为:
4.8s或8s或9.6s.
22.证明:
(1)∵AB∥CD,
∴∠B=∠D.
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AE=CF.
(2)由
(1)△ABE≌△CDF得AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴180°﹣∠AEB=180°﹣∠CFD,
即∠AEF=∠CFE.
∴AE∥CF.
∵AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
23.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥CB,OA=OC,
∴∠BAC=∠DCN,
又点M,N分别为OA、OC的中点,
∴AM=CN,
在△AMB和△CND中,
,
∴△AMB≌△CND(SAS).
24.证明:
(1)∵四边形ABCD的平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,
∴∠AFB=∠CBF,∠DEC=∠BCE,
∵BF平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠ABF=∠FBC=∠AFB,∠DCE=∠BCE=∠DEC,
∴AB=AF,DC=DE,
∴AF=DE;
(2)∵▱ABCD的周长为46,
∴AD+AB=23,
∵EF=1,
∴2AB﹣AD=EF=1,
∴AB=8,AD=15,
∴BC=15.
25.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠EAO=∠FCO,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴OE=OF;
(2)解:
∵△OAE≌△OCF,
∴CF=AE,
∴DF+AE=AB=CD=6,
又∵EF=2OE=4,
∴四边形AEFD的周长=AD+DF+AE+EF=6+4+5=15.
26.解:
(1)证明:
∵△ABC≌△ADE,AB=AC,
∴AB=AC=AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE;
(2)∵△ABC≌△ADE,∠BAC=30°,
∴∠BAC=∠DAE=30°,
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥CE,AB=EF,
由
(1)知:
AB=AC=AE,
∵AB=2,
∴AB=AC=AE=2,
过A作AH⊥CE于H,
∵AB∥CE,∠BAC=30°,
∴∠ACH=∠BAC=30°,
∴在Rt△ACH中,
AH=
=
=1,CH=
=
=
,
∵AC=AE,AH⊥CE,
∴CE=2CH=2
,
∴CF=CE﹣EF=2
﹣2.
27.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=DC,
∴∠F=∠EBA,
∵E是AD边的中点,
∴DE=AE,
在△ABE与△DFE中,
,
∴△ABE≌△DFE(AAS);
(2)解:
∵△ABE≌△DFE,
∴DF=AB,
∵AB∥CD,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∵三角形DEF的面积为1,
∴S▱ABCD=4S△DEF=4,
∴S△BCD=
S▱ABCD=
×4=2,
∴S四边形ABDF=S▱ABDF+S△BCD=4+2=6.
28.证明:
(1)∵DF∥BE,
∴∠DFE=∠BEF.
在△ADF和△CBE中,
,
∴△AFD≌△CEB(SAS);
(2)由
(1)知△AFD≌△CEB,
∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
29.证明:
∵CF∥AB,
∴∠ECF=∠EBD.
∵E是BC中点,
∴CE=BE.
在△CEF与△BED中,
,
∴△CEF≌△BED(AAS).
∴CF=BD.
∴四边形CDBF是平行四边形.
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