天然肠衣搭配问题.docx
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天然肠衣搭配问题
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
关于天然肠衣搭配的最优模型
摘要
本文主要解决的是天然肠衣的原料搭配方案问题。
我们用线性规划模型解决了该问题。
由题意知若某种规格对应原料出现剩余,可以降级使用。
我们解决本题时,首先计算第三种成品的最大捆数,进而求出它的剩余原料,然后把第三种成品的剩余原料用到第二种成品的原料中,计算出第二种成品的最大捆数和剩余原料。
用同样的方法计算第一种成品的最大捆数和总原料的剩余量。
对于该问题我们综合考虑该公司对搭配方案的具体要求,做出以下解决方案:
1:
估算最大捆数
我们根据题中材料的要求得出了平衡式;根据题中提供的原料计算出各个成品规格的原料总长度;根据各种成品的总长度为89米和原料的总长度和,估算出了各种成品的最大捆数,根据我们估算出的各种成品的最大捆数估算出了原料的剩余量。
2:
用MATLAB和LINGO验证估算出的结果是否合理
我们根据题意,在不考虑为了提高使用率,允许误差的情况下,列出了求最优方案的MATLAB编程式,得出最优方案。
根据最优方案我们求出了原料的剩余量,与此同时我们根据最优方案编出求最大捆数的LINGO编程,用LINGO方程求出了在允许误差的情况下的最大捆数
。
而后将剩余量在考虑误差的情况下算出了剩余量的最大捆数
。
最后对
和
求和得到了最终的最大捆数;又根据计算的结果算出了原料的剩余量,同理得出其他各类成品的最大捆数。
根据我们计算的结果,和估算值相近,可以确定方案的正确性。
关键词搭配方案线性规划MATLABLINGO
1.问题重述
天然肠衣(以下简称肠衣)制作加工是我国的一个传统产业,出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成不等的小段(原料),进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工,边丈量原料长度边心算,将原材料按指定根数和总长度组装出成品(捆)。
原料按长度分档,通常以0.5米为一档,如:
3-3.4米按3米计算,3.5米-3.9米按3.5米计算,其余的依次类推。
表1是几种常见成品的规格,长度单位为米,
表示没有上限,但实际长度小于26米。
表1成品规格表
最短长度
最大长度
根数
总长度
3
6.5
20
89
7
13.5
8
89
14
∞
5
89
为了提高生产效率,公司计划改变组装工艺,先丈量所有原料,建立一个原料表。
表2为某批次原料描述。
表2原料描述表
长度
3-3.4
3.5-3.9
4-4.4
4.5-4.9
5-5.4
5.5-5.9
6-6.4
6.5-6.9
根数
43
59
39
41
27
28
34
21
长度
7-7.4
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9
9-9.4
9.5-9.9
10-10.4
10.5-10.9
根数
24
24
20
25
21
23
21
18
长度
11-11.4
11.5-11.9
12-12.4
12.5-12.9
13-13.4
13.5-13.9
14-14.4
14.5-14.9
根数
31
23
22
59
18
25
35
29
长度
15-15.4
15.5-15.9
16-16.4
16.5-16.9
17-17.4
17.5-17.9
18-18.4
18.5-18.9
根数
30
42
28
42
45
49
50
64
长度
19-19.4
19.5-19.9
20-20.4
20.5-20.9
21-21.4
21.5-21.9
22-22.4
22.5-22.9
根数
52
63
49
35
27
16
12
2
长度
23-23.4
23.5-23.9
24-24.4
24.5-24.9
25-25.4
25.5-25.9
根数
0
6
0
0
0
1
根据以上成品和原料描述,设计一个原料搭配方案,工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有一下具体要求:
(1)对于给定的一批原料,装出的成品捆数越多越好;
(2)对于成品捆数相同的方案,最短长度最长的成品越多,方案越好;
(3)为提高原料使用率,总长度允许有
0.5米的误差,总根数允许比标准少1根;
(4)某种规格如果对应原料出现剩余,可以降级使用。
如长度为14米的原料可以
和长度介于7-13.5米的进行捆扎,成品属于7-13.5米的规格;
(5)为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
请建立上述问题的数学模型,给出求解方法,并对表1、表2给出的实际数据进行求解,给出搭配方案。
2.问题分析
根据题意,由题中所给的表1可知,成品规格有3种:
第一种成品由最短长度
=3米,以0.5米为一档,最大长度
=6米,之间长度的组成,且20根为一捆,总长度为89米;
第二种成品由最短长度
=7米,以0.5米为一档,最大长度为
=13.5米,之间的长度组成,且8根为一捆,总长度为89米;
第三种成品为最短长度
=14米,以0.5米为一档,最大长度
没有上限,但实际长度应小于26米,的长度组成,以20根为一捆,总长度为89米。
根据表2的已知条件可设计出原料搭配方案。
根据该公司的要求:
(1)对于数量一定的一批原料,装出的成品捆数越多越好,即剩余原料越少,方案越好;
(2)对于成品捆数相同的方案,最短长度最长的成品越多,方案越好,即假若有两种方案,装出的成品捆数都是
若方案1的最短长度是
方案2的最短长度是
>
则取方案1;
(3)某种规格对应原料如果出现剩余,可以降级使用,如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆绑,成品属于7-13.5米的规格;在满足题意的要求下,我们对此设计出最优分配方案,建立最优化模型。
根据表1,2的数据以及各种成品的长度和根数列出含有未知数的等式,利用MATLAB和LINGO软件求出其解,最大值
及分配方案。
3.模型的假设
(1)假设题中所给的数据完全真实可靠;
(2)假设测量肠衣时的误差可以忽略不计;
(3)假设由于肠衣的弹性造成的误差忽略不计;
(4)假设所有肠衣的质量,弹性都一样;
(5)假设原料降级使用时不能剪断.
4.符号说明
:
长度
:
根数
:
总长度(
)
:
第
种成品原料的总长度
5.模型的建立与求解
按题意要求,如果想要提高原料使用率,允许有正负0.5的误差,总根数允许比标准少一根;当原料出现剩余时可以降级使用。
因为可以降级使用,所以我们先算出第三种成品的最大捆数
,计算出第三种成品的余量
按此模型依次算出第二种成品的最大捆数,第二种成品的余量;及第一种产品的最大捆数;和总原料最后的剩余量。
为了更好的找到原料搭配方案,所以我们先估算出了最大捆数和剩余量,下面是我们估算的过程:
根据我们理解的题意我们,得到了一个模型:
依据模型列出公式
(1)
(2)
(3)
当
=3,
=24时将表1,2的数据代入
(1)
(2)(3)式,得出
即分别为第三种成品的最大捆数,剩余量。
如图
(1)
乘积和
长度
14
14.5
15
15.5
16
16.5
17
根数
35
29
30
42
28
42
45
乘积
490
420.5
450
651
448
693
765
3917.5
长度
17.5
18
18.5
19
19.5
20
20.5
根数
49
50
64
52
63
49
35
乘积
857.5
900
1184
988
1228.5
960
717.5
6835.5
长度
21
21.5
22
22.5
25.5
23.5
0
根数
27
16
12
2
1
6
0
乘积
567
129
264
45
25.5
141
0
1171.5
乘积和
0
0
0
0
0
0
0
11924.5
当
时将表1,2的数据代入
(1)
(2)(3)式,得出
运用相同的方法我们
分别计算出了:
1.第二种成品的最大捆数,剩余量。
如图
(2)
乘积和
长度
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
根数
24
24
20
25
21
23
21
乘积
168
180
240
212.5
189
218.5
210
1418
长度
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
根数
18
31
23
22
59
18
25
乘积
189
341
264.5
264
737.5
234
337.5
2367.5
乘积和
3785.5
当
时将表1,2的数据代入
(1)
(2)(3)式,得出
和
2.第一种成品的最大捆数,剩余量。
如图(3)
乘积和
长度
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
根数
43
59
39
41
27
28
34
乘积
129
206.5
156
184.5
135
154
204
长度
6.5
根数
21
0
0
0
0
0
0
乘积
136.5
1305.5
由最大捆数
得出
即这批原料可以组装191捆。
以上结果是用逻辑推理而得,并不是根据实际的最优的分配方案得到的最大捆数,和最少的剩余量,若要用最优分配方案去得到最大捆数和最少的剩余量,且最大程度的利用原料。
必须最大程度的利用各成品的最大长度,故根据要求列出以下等式:
(4)
(5)
公式(4)中
表示各档次所取的根数
;
公式(5)中
表示各成品一捆中的根数;
运用MATLAB与LINGO得出各成品的最优分配方案、在最优分配方案下的最大的捆数和最小的剩余量:
第三种成品的分配方案如下表所示(程序见附录1):
长度
取得根数
14
0
3
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
14.5
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
15
0
0
2
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
15.5
3
0
0
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
16
0
0
0
1
1
1
0
0
0
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
16.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
3
0
0
0
0
0
0
17
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
17.5
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
18.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
19.5
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
0
2
20
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
20.5
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
21
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
21.5
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
23
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
23.5
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.5
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
用MATLAB计算得出的最大捆数为:
125
又根据题中(3)为提高原料使用率,总长度允许有
0.5米的误差,总根数允许比标准少一根
我们得到了五组数据,如下表:
长度
14
14.5
15
16
16.5
17
17.5
18
18.5
19.5
20.5
23.5
根数
0
0
0
1
3
0
0
0
0
3
0
1
误差
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
(误差0.5)
0
长度
0
0
0
0
0
0
0
0
1
(误差1根)
0
3
根数
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
2
(误差0.5)
误差
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
2
(误差0.5)
总计得最大捆数:
130
通过计算得出剩余原料如下表:
原料
18.5
19
20
20.5
21
21.5
22.5
余量
1
2
2
3
15
4
2
因为剩余的原料可以降级使用所以:
第二种成品的分配方案如下表(程序见附表2):
长度
取得根数
7
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
4
7.5
4
0
0
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
8
0
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
8.5
0
0
0
3
0
6
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
1
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
3
0
1
0
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
9.5
0
0
0
0
2
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
10
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
4
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
10.5
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
11.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
6
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
6
0
0
1
0
0
12.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
4
5
0
0
0
5
0
5
2
13
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
13.5
0
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
1
0
0
0
0
4
0
0
0
0
18.5
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20.5
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
21
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
21.5
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
22.5
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
用MATLAB计算得出的最大捆数为:
41
又根据题中(3)为提高原料手机用率,总长度允许有正负0.5米的误差,总根数允许比标准少一根
我们又得到了七组数据,如下表:
长度
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
11
11.5
12
12.5
21
根数
4
2
2
5
1
2
1
1
(差0.5)
3
2
1
5
(少1根0.5)
1
1
1
(少1根0.5)
4
1
1
1
(少1根0.5)
1
4
1
1
1
1
(差0.5)
4
1
总计得最大捆数:
48
通过计算得出剩余原料如下表
原料
8.5
11
13
13.5
20.5
余量
1
2
2
2
1
同理:
我们得到的第一种成品的分配方案如下表(程序见附录3):
原料
43
59
39
41
27
28
34
21
1
2
2
2
1
长度
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
8.5
11
13
13.5
20.5
方案
14
0
0
4
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
9
0
9
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
10
8
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
16
0
0
3
0
0
1
0
0
0
0
0
9
0
7
0
0
0
4
0
0
0
0
0
9
0
2
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
2
10
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
4
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
4
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
4
0
10
0
0
5
0
0
0
0
0
0
1
6
0
0
13
0
0
0
0
0
0
0
0
余量
17
16
7
14
10
5
8
17
0
0
2
2
1
用MATLAB计算得出的最大捆数为:
10
又根据题中(3)为提高原料手机用率,总长度允许有正负0.5米的误差,总根数允许比标准少一根
我们又得到了四组数据,如下表:
长度
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
7
8.5
11
13
14
20.5
根数
1
16
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