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电路原理习题答案相量法
第八章相量法
求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变成复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法,就是电压、电流用相量表示,RLC元件用阻抗或导纳表示,画出电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,所以,应用相量法应娴熟掌握:
(1)正弦信号的相量表示;
(2)KCL,KVL的相量表示;(3)RLC元件伏安关系式的相量形式;(4)复数的运算。
这就是用相量剖析电路的理论依据。
8-1将以下复数化为极坐标形式:
(1)F1
5
j5;
(2)F2
4j3;(3)F3
20j40;
(4)F4
j10;(5)F5
3;(6)F6
j9.20。
解:
(1)F1
5
j5
a
a
(
5)2
(
5)2
5
2
arctan
5
135
5
(因F1在第三象限)
故F1的极坐标形式为F1
5
2
135
(2)F2
4
j3
(4)2
32
arctan(3
4)
(F2
在第二
象限)
(3)F3
20
j40
202
402
arctan(4020)
(4)F4
10j
10
90
(5)F5
3
3180
(6)F6
2.782
9.202
arctan(9.202.78)
注:
一个复数能够用代数型表示,也能够用极坐标型或指数型表示,即
Fa1ja2aaej,它们互相变换的关系为:
a12
a22
arctana2
a
a1
和
a1
acos
a2asin
需要指出的,在变换过程中要注意F在复平面上所在的象限,它关系到的取值
及实部a1和虚部a2的正负。
8-2将以下复数化为代数形式:
(1)F1
10
73
;
(2)F2
15
112.6;(3)F3
152
;
(4)F4
10
90
;(5)F1
5
180;(6)F1
10
135。
解:
(1)F1
10
7310
cos(
73)j10
sin(
(2)F2
15
(3)F3
152
1.2cos152
1.2sin152
(4)F4
10
90
j10
(5)F1
5
180
5
(6)F1
10
135
10cos(
135
)10sin(
135)
8-3若1000
A60
175
。
求A和。
解:
原式=100
Acos60
jasin60
175cos
j175sin依据复数相等的
定义,应有实部和实部相等,即
Acos60
100
175cos
虚部和虚部相等
Asin60
175sin
把以上两式相加,得等式
A2
100A20625
0
100
1002
4
20625
解得
A
2
3
Asin60
2
sin
175
所以
175
8-4求8-1题中的F2
?
F6和F2
F6。
解:
F2F6(4
j3)
j9.20)
F2
4
j3
F6
8-5求8-2题中的F1F5和F1
F5。
解:
F1
F5
10
73
5
180
10cos(
73)
j10sin(73)
5
F1
10
73
2
73
180
2107
F5
180
5
8-6若已知。
i1
5cos(314t
60)A,i210sin(314t60)A,
i3
4cos(314t
60)A
(1)写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图;
(2)i1与i2和i1与i3的相位差;
(3)绘出i1的波形图;
(4)若将i1表达式中的负号去掉将意味着什么?
(5)求i1的周期T和频次f
。
解:
(1)i1
5cos(314t
60
)5cos(314t
60180)5cos(314t120)
i2
10sin(314t
60)
10cos(314t
30)
故i1,i2和i3的相量表达式为
I1
5
10
4
120A,I2
30A,I3
60A
2
2
2
其相量图如题解图(a)所示。
(2)1212
1313
题解8-6图
120(30)90
12060180
(3)i1(t)的波形图见题解图(b)所示。
(4)若将i1(t)中的负号去掉,意味着i1的初相位超前了180。
即i1的参照方向反向。
(5)i1(t)的周期和频次分别为
2
2
0.02s20ms
T
314
1
1
f
2
50Hz
T
注:
定义两个同频次的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,所以在比较相位差时,两个正弦量一定知足
(1)同频次;
(2)同函数,即都是正弦或都是余弦;(3)同切合,即都为正号或都为负号,才能进行比较。
8-7若已知两个同频正弦电压的相量分别为
U15030V,U2100150V,其频次f100Hz。
求:
(1)写出u1,u2的时域形式;
(2)u1与u2的相位差。
(1)u1(t)
502cos(2ft
30
)50
2cos(628t30
)V
u2(t)
100
2cos(2
ft
150)
1002cos(628t
150180)V
100
2cos(628t
30)V
(2)因为U1
50
30V,U2
100
150V100
30V
故相位差为
30
30
0,即u1与u2同相位。
8-8已知:
u1(t)
220
2cos(314t
120
)V
u2(t)
220
2cos(314t
30
)V
(1)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频次
f和周期T;
(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差;
(3)假如把电压u2的参照方向反向,从头回答(
1),
(2)。
解:
(1)波形如题解8-8图(a)所示。
题解8-8图
有效值为
u1
u2
220Vu2
f1
f2
314
频次
2
50Hz
2
T1
T2
1
1
f
周期
50
(2)u1和u2的相量形式为
U1
220
120V
U222030V
故相位差为
12
120
30
150
相量图见题解图(b)所示。
(3)u2的参照方向反向,u2(t)变成-u2(t),有效值、频次和周期均
不变,-u2(t
)的相量为U2
220
30
180
200
150V
故u1和u2
的相位差为
1
2
120
(
150)30
波形图和向量图见题解图(a)和(b)。
8-9已知一段电路的电压、电流为:
u
10sin(103t
20)V
i
2cos(103t
50)A
(1)画出它们的波形图和向量图;
(2)求出它们的相量差。
解:
(1)u10sin(103t20)
10cos(103t
110)V,故u和i的相量分别为
10
110VI
2
U
50A
2
2
其波形和相量图见题解图(a)和图(b)所示。
题解8-9图
(2)相位差ui110(50)60,说明电压落伍于电流60。
8-10已知图示三个电压源的电压分别为:
ua
220
2cos(
t
10)V,ub
2202cos(t110)V,
uc
220
2cos(
t
130)V,
求:
(1)3个电压的和;
(2)uab,ubc;(3)画出它们的相量图。
题解8-10图
解:
ua,ub,uc的相量为
Ua
22010V
Ub
220
110V
Uc
220
130V
(1)应用相量法有
UaUbUc22010220110220130
0
即三个电压的和
ua(t)
ub(t)
uc(t)
0
(2)Uab
Ua
Ub
220
10
220
110
220
3
40V
Ubc
Ub
Uc
220
110
220130
220
3
80
V
(3)相量图如题解8-10图所示。
题解8-10图
8-11已知图(a)中电压表读数为V1:
30V;V2:
60V;图(b)中的V1:
15V;
V2:
80V;V3:
100V。
(电压表的读数为正弦电压的有效值。
)求图中电压Us。
题8-11图
解法一:
(a)图:
设回路中电流II0,依据元件的电压、电流相量关系,可得
题8-11图
UR
RI
RI
0
30
0V
UL
jXLI
XLI
90
60
90V
则总电压
US
UR
UL
30
j60V
所以us的有效值为US302
602
(b)图:
设回路中电流相量II0A,因为
UR
RI
RI0
15
0V
UL
jXLI
XLI
90
8090V
元件
相量关系
有效值关系
相位关系
相量图
电阻R
URRIR
URRIR
ui
UC
jXCI
XCI
90
100
90V
所以总电压
US
UR
UL
UC
15
j80
100j15j20V
故us的有效值为
US
132
202
25V
解法二:
利用相量图求解。
设电流I
I
0为参照相量,电阻电压UR与
I同相位,电感电压UL超前I90
,电容电压Uc要滞后I90,总电压Us与各元
件电压向量构成向来角三角形。
题解8-11
图(a)和(b)为对应原图(a)和(b)
的相量图。
由题解图(a)可得
US
UR2
UL2
302
602
由题解图(b)可得
USUR2
(UC
UL)2
152
(100
80)2
258V
题解8-11图
注:
这一题的求讲解明,R,L,C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系(以下表所示)是我
们剖析正弦稳态电路的基础,一定很好地理解和掌握。
电感L
UL
jXLIL
ULjXLIui
电容C
UC
jXCICUCXCICui
90
90
8-12已知图示正弦电流电路中,电流表的读数分别为A1:
5A;A2:
20A;
A3:
25A。
求:
(1)图中电流表A的读数;
(2)假如保持A1的读数不变,而把电源的频次提升一倍,再求电流表A的读数。
题8-12图
解法一:
(1)R,L,C并联,设元件的电压为
URULUCUU0
依据元件电压、电流的相量关系,可得
IR
U
U
R
50A
R
IL
U
U
j20A
jXL
90A
XL
IC
U
U
90j25A
9025
jXCXC
应用KLC的相量形式,总电流相量为
IIR
IL
IC
5j20j255j55245A
故总电流表的读数
I
5
27.07A
(2)设UR
UL
UC
UU0
U
U
0A
IR
5
U不
当电流的频次提升一倍后,因为R
R
不变,所以UR
1
变,而XL
2
L增大一倍,
XC
2C减小一倍,所以,有
IL
U
U
L
120
jXL
j2
2
IC
U
U
22590
5090A
jXC
j
1
2
c
所以
I
IR
IL
IC
5j10j505
j40
即,电流表的读数
A52
402
题解8-12图
解法二:
利用相量图求解。
设UU0
URULUC为参照向量,根
据元件电压、电流的相位关系知,
IR和U同相位,IC超前90,IL滞后U90,
相量图如题解8-12图所示,总电流I与IR,IC和IL构成一个直角三角形。
故电流表的读数为
IR2
(IC
IL)2A
即
(1)
52
(25
20)2
7.07A
(2)
52
(25
10)2
注:
从8-11题的解法二,能够领会到应用向量图剖析电路的重点,那就是第一要选好一个参照相量,这个参照相量的选择,一定能方便地将电路中其余电
压、电流相量,依据电路的详细构造及参数特色逐个画出,把所给的条件转变成相量图中的几何关系。
最后依据相量图中的相量关系,使问题获得解决。
一般对串连电路,选电流作参照方向较方便,如8-11题。
对并联电路,则选电压作参照相量较方便,如8-12题。
有些问题经过相量图剖析将很直观和简易。
8-13对RL串连电路作以下两次丈量:
(1)端口加90V直流电压(
0)时,
输入电流为
;()端口加f
50Hz的正弦电压
90V
时,输入电流为。
求R和
3A
2
L的值。
题解8-13图
解:
由题意画电路如题解8-13图所示。
(1)当
us为90V直流电压时,电感L看作短路,则电阻
us
90
R
30
i
3
(2)当
us为90V沟通电压时,设电流II0
1.80A,依据相量法,
有
USRIjXLI301.8jXL
故
US
90
302
X
XL
(
90
)2
302
40
2
L
XL
XL
40
依据XL
L
L,解得
2f
100
8-14
某一元件的电压、电流(关系方向)分别为下述
4种状况时,它可能是
什么元件?
u
10cos(10t45)V
u10sin(100t)V
(1)i
2sin(10t135)A
(2)i
2cos(100t)A
u
10costV
u
10cos(314t45)V
(3)i
sintA
(4)
i
2cos(314t)A
解:
(1)把电流变成余弦形式有i
2cos(10t
135
90)2cos(10t45)A,
u和i的相量为
10
45V
2
45
A
U
I
2
,
2
U
5
0
则
I
即电压、电流同相位,依据元件电压、电流相位关系可知这是一个5的电阻元件。
(1)把电压变成余弦形式有ucos(100tj90)V
10
45
I
2
A
(2)u和i的相量为
U
0
2
2
U
45
5
j)R
jXL
5
(1
则
I
2
5
5
R
XL
即这是一个
2的电阻和
2
的电感的串连组合。
-
电路由电压源us100cos(103t)V
及
R和L=串连构成。
电感端电压的有
815
效值为25V。
求R值和电流的表达式。
解:
由题意画电路的相量模型如题解8-15图(a)所示,相量图如题解图
(b)所示。
因为
Us
100
0
2
XL
L103
0.02525
UL
25
I
1A
故电流的有效值为
XL
25
题解8-15图
由图(b)知电阻电压的有效值为
UR
US2
UL2
(100)2
252
2
R
UR
I
1
所以电阻为
I滞后US的角度(因为是感性电路)为
Zarcsin
UL
arcsin
25
US
1002
所以电流的刹时表达式为
i(t)
2cos(103t20.70)A
100
I
US
2
120.70A
jXL
66.144j25
也可依据
R
得
i(t)
2cos(103t20.70)A
8-16已知图示电路I1I210A。
求I和US。
解:
设US为参照相量。
I1与US同相位,I2超前US90,相量图如题解8-16图所示。
由图可知
题解8-16图
题解8-16图
I
I12
I22
102
102
102A
Z
arctanI2
arctan1
45
I1
由电路图知
USRI11010100V
故US和I分别为
US
100
0V
II
Z
10245A
8-17
图示电路中IS
20A。
求电压U。
IS
IR
IL
U
U
解:
R
jXL
U
IS
2
0
2
45V
1
2
45
1
即
j
题8-17图
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