离散数学复习题及答案.docx
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离散数学复习题及答案
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[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
离散数学复习题及答案
1.写出命题公式﹁(P→(P∨Q))的真值表。
答案:
2.证明
答案:
3.证明以下蕴涵关系成立:
答案:
4.写出下列式子的主析取范式:
答案:
5.构造下列推理的论证:
p∨q,p→r,s→t,s→r,tq
答案:
①s→t前提
②t前提
③s①②拒取式I12
④s→r前提
⑤r③④假言推理I11
⑥p→r前提
⑦p⑤⑥拒取式I12
⑧p∨q前提
⑨q⑦⑧析取三段论I10
6.用反证法证明:
p→((r∧s)→q),p,sq
7.请将下列命题符号化:
所有鱼都生活在水中。
答案:
令 F(x):
x是鱼W(x):
x生活在水中
8.请将下列命题符号化:
存在着不是有理数的实数。
答案:
令Q(x):
x是有理数R(x):
x是实数
9.请将下列命题符号化:
尽管有人聪明,但并非一切人都聪明。
答案:
令M(x):
x是人C(x):
x是聪明的
则上述命题符号化为
10.请将下列命题符号化:
对于所有的正实数x,y,都有x+y≥x。
答案:
令P(x):
x是正实数S(x,y):
x+y≥x
11.请将下列命题符号化:
每个人都要参加一些课外活动。
答案:
令P(x):
x是人Q(y):
y是课外活动S(x,y):
x参加y
12.请将下列命题符号化:
某些人对某些药物过敏。
答案:
令P(x):
x是人Q(y):
y是药S(x,y):
x对y过敏
13.求
的对偶式:
答案:
14.求下列谓词公式的前束范式:
答案:
15.证明:
答案:
16.用反证法证明:
x(P(x)∧Q(x)),xP(x)xQ(x)
答案:
17.证明:
前提:
x(C(x)W(x)∧R(x)),x(C(x)∧Q(x)).
结论:
x(Q(x)∧R(x)).
答案:
(1)x(C(x)∧Q(x))前提引入
(2)C(a)∧Q(a)
(1)ES
(3)C(a)
(2)化简规则
(4)x(C(x)W(x)∧R(x))前提引入
(5)C(a)W(a)∧R(a)(4)US
(6)W(a)∧R(a)(3)(5)假言推理
(7)R(a)(6)化简规则
(8)Q(a)
(2)化简规则
(9)R(a)∧Q(a)(7)(8)合取引入规则
(10)x(Q(x)∧R(x))(9)EG
18.判断:
下列命题是否正确
答案:
(1)√
(2)×
(3)√
(4)√
(5)√
(6)√
(7)√
(8)×
19.列出下列集合的元素
(1){x|x∈N∧t(t∈{2,3}∧x=2t)}
(2){x|x∈N∧ts(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t (3){x|x∈N∧t(t整除2x≠t)} 答案: (1){4,6} (2){1,2,3} (3){3,4,5…} 20. S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={2,4,5,6,8} B={1,4,5,9},C={x|x∈Z+,2≤x≤5} 答案: 21.一个学校有507,292,312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。 有14人选了A和B,213人选了A和D,211人选了B和C,43人选了C和D。 没有学生同时选择A和C,也没有学生同时选择B和D。 问共有多少学生在这四门课程中选了课 答案: 解: 画文氏图 280+87+38+88+14+211+213+43 =974 22.分别求下列集合的幂集 (1) (2){}(3){1,{,1}} 答案: 解: (1)ρ()={}空集的幂集的基数为1 (2)ρ({})={,{}}幂集的基数为2 (3)ρ({1,{,1}})={,{1},{{,1}},{1,{,1}}} 23. A={0,1},B={1,2},C={3,4,5},求A×B,B×A,A×B×C,A2,C2. 答案: A×B={(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)} B×A={(1,0),(2,0),(1,1),(2,1)} A×B×C={(0,1,3),(0,1,4),(0,1,5),(0,2,3),(0,2,4),(0,2,5),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5)} A2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} C2={(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)} 24. 1.设A={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}},下列选项正确的是(C) A.1∈AB.{1,2,3}AC.{{4,5}}AD.∈A 2.设A={x|x3–x=0},B={x|x2–4<0,x∈z},C={x|y=2x-1},D={x|x+y=5,xy=6}则有(A) A.A=BB.A=CC.C=DD.C=A 25.求关系的定义域和值域: 设A={2,4,6,8},R是A上的小于关系,即当a,b∈A且a 答案: R={(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)}. R的定义域D(R)={2,4,6}, R的值域C(R)={4,6,8}。 26.设A={a,b,c,d},求A上的恒等关系。 答案: IA={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}。 27.设A={1,2,3,4,5},R是A上的小于等于关系,即当a≤b时,(a,b)∈R。 求R的关系矩阵和关系图。 答案: 解: 易知A上的小于等于关系为 R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5), (4,4),(4,5),(5,5)} 其关系矩阵为 28.X={a,b,c},Y={1,2}, 关系R={(a,1),(b,2),(c,1)}S={(a,1),(b,1),(c,1)} 求R∪S、R∩S和R的补 答案: 29.设A={1,2,3},B={a,b,c,d},C={x,y,z},R是A到B的二元关系,R={(1,a),(1,b),(2,b),(3,c)},S是B到C的二元关系,S={(a,x),(b,x),(b,y),(b,z)}。 求复合关系RοS的关系矩阵. 答案: 30. 答案: 31.设A={a,b,c},R是A上的二元关系,R={(a,a),(b,b),(a,b),(a,c),(c,a)},问: R是自反的吗是反自反的吗是对称的吗是反对称的吗是可传递的吗 答案: 由于c∈A,而(c,c),所以R不是自反的。 × 由于(a,a)∈R,(b,b)∈R,所以R不是反自反的。 × 由于(a,b)∈R,而(b,a),所以R不是对称的。 × 由于(a,c)∈R,且(c,a)∈R,所以R不是反对称的。 × 由于(c,a)∈R,且(a,c)∈R,但(c,c),所以R不是可传递的。 × 32. 设A={1,2,3},分析A上的下述5个关系具有哪些性质: L={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} N={<1,3>,<2,3>} S={<1,2>,<2,1>,<1,3>} G={<1,1>,<1,2>,<2,3>} 答案: 33.设A={a,b,c,d},A上的关系,R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)} 求r(R)、s(R)、t(R) 答案: 34.A={a,b,c},R={(a,b),(b,c),(c,a)},求r(R),S(R)和t(R) 答案: 35.A={1,2,3,4},R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)},判断R是否是等价的。 答案: 36.判断下列关系是否为等价关系 (1)A={a,b,c,d},R={(a,a),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,c)} (2)A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(2,3),(3,3),(4,4),(3,2)} 答案: (1)× (2)√ 37.A={1,2,3,4}在幂集ρ(A)上定义的二元关系如下: R={(S,T)|S,T∈ρ(A),|S|=|T|},写出商集ρ(A)/R。 答案: 解: 首先求ρ(A)。 ρ(A)={,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}, {1,2,3,4}}共16个元素! 38.设集合X={2166,243,375,648,455} X中的关系R为: R={(x,y)|x,y∈X,并且x和y中有相同数字} 问: R是不是相容关系 答案: 39.A={1,2,3,4,5,6,8,10,12,16,24},R是A上的整除关系,请画出R的哈斯图。 答案: 40.已知偏序集的哈斯图如图所示,试求出集合A和关系R的表达式.求A的极小元、最小元、极大元、最大元.设B={b,c,d},求B的下界、上界、最大下界、最小上界. 答案: 极小元: a,b,c,g; 极大元: a,f,h; 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在,上界有d和f, 最小上界为d. 41.以下关系矩阵所代表的关系是什么关系 答案: 相容关系 42.设集合A={1,2,3,4,5,6,8,10,12,16,24},R是A上的整除关系,请问关系R是否是偏序关系是否是全序关系画出R的哈斯图,并根据图求集合A的极大极小元、最大最小元, 设B={2,3,4},求集合B的上界、最小上界、下界、最大下界。 答案: 是偏序关系,不是全序关系。 A的极大元: 24,16,10 A的极小元: 1 A的最大元: 没有 A的最小元: 1 B的上界: 12,24 B的最小上界: 12 B的下界: 1 B的最大下界: 1 43.找出如下哈斯图中的子集{a,b,c}、{j,h}和{a,c,d,f}的上界和下界。 答案: {a,b,c}上界: e,f,j,h下界: a {j,h}上界: 无下界: f,d,e,b,c,a {a,c,d,f}上界: f,j,h下界: a 44.判断下列关系是否是映射是否是单射是否是满射 答案: 映射(非单射、非满射)、映射(满射) 映射(单射)、不是映射 45.X={x1,x2,x3},Y={y1,y2},Z={z1,z2} f: X→Y,g: Y→Z,求h=gf 答案: 46. 下列哪些关系可以构成函数(映射) a.f={(x,y)|x,y∈N,x+y<10} b.f={(x,y)|x,y∈R,x2=y} 答案: 能 不能 47. 判断下列函数是单射、满射或双射 a.f: N→N,f(x)=x+2; b.f: N→N,f(x)=x(mod2); c.f: N→ρ(N),f(x)={x}; 答案: 单射 什么都不是 单射 48. f1°f=,f°f1= 答案: f1°f=IA,f°f1=IB 49. 构造下列函数的反函数: (x)=sinx (x)=x2,x∈(-∞,0) ={1,2,3},B={a,b,c},f: A→B,f={(1,a),(2,c),(3,b)} 答案: f-1(x)=arcsinx f-1(x)=-x1/2 f-1={(a,1),(c,2),(b,3)} 50. 答案: 51. 已知x={a,b,c},Y={1,2,3,4}f: X→Y如图所示,试构造函数g: Y→X,使得g·f=Ix 答案: g={(1,a),(2,c),(3,b),(4,a)} 52. 请给出图中各点的度数,以及图的最大度数和最小度数。 答案: d(v1)=4,d(v2)=4,d(v3)=2,d(v4)=1,d(v5)=3 D(G)=4,d(G)=1 53.请给出图中各点的出度和入,以及图的最大出度和最小入度。 答案: d+(a)=4,d-(a)=1,d(a)=5, d+(b)=0,d-(b)=3,d(b)=3, +(D)=4,+(D)=0,(D)=3, (D)=1,(D)=5,(D)=3. 54.(3,3,3,4),(2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗 答案: 不可能.它们都有奇数个奇数. 55.已知图G有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问G至少有多少个顶点 答案: 设G有n个顶点.由握手定理, 43+2(n-4)210 解得n8 56.下面无向图中有几个顶点 (1)16条边,每个顶点都是2度顶点 (2)21条边,3个4度顶点,其余的都是3度顶点 (3)35条边,每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点 答案: 57.确定下列各图的出度、入度和度数 答案: 58.判断下列图是否同构 答案: 是 是 不是 是 59.下图中, 1.写出{a,d,e}的导出子图 2.画出它的一个生成子图 3.边集{e4,e7,e6}的导出子图 答案: 60.试画出以下两个图的并图、交图和环和。 答案: 61.判断下列各图是否是连通图: 答案: 是、不是 62.指出下列有向图的连通性 答案: 强连通图 单向连通图 弱连通图 强连通图 单向连通图 弱连通图 63.求下列图的强连通分支 答案: 64. (1){e5}、{e2、e3}、{e6}、{e4}是否是下图的边割集 (2){v5}、{v2、v4}、{v3}、{v1、v2}、{v2、v3}是否是下图的点割集 答案: (1)是、是、是、否 (2)是、是、是、否、否 65.求出下图的全部割点和桥 答案: 66.下列图是否是树如果是,找出树的分枝结点和树叶。 答案: 不是、是 分枝结点: e,f 树叶: a,b,c,d,g,h 67.设一棵树T有2个度数为2的结点,1个度数为3的结点,3个度数为4的结点,求T有几片树叶。 答案: 68.已知无向树T有5片树叶,2度与3度顶点各1个,其余顶点的度数均为4.求T的阶数n。 答案: 69.求下列树的树根、树叶、树高、内点、分枝点、各个结点的层数 答案: a是树根. b,e,f,h,i是树叶. c,d,g是内点. a,c,d,g是分枝点. a为0层;1层有b,c;2层有d,e,f; 3层有g,h;4层有i. 树高为4. 70.求下列树的树高、内点数、分枝点树、几叉树 答案: 4、5、6、4 71.下列树是不是完全二叉树是不是满二叉树 答案: 4叉树、完全3叉树 72.求下列二叉树的前序、中序、后序遍历 答案: 前序: a→b→d→e→h→c→f→g→i→j 中序: d→b→h→e→a→f→c→i→g→j 后序: d→h→e→b→f→i→j→g→c→a 73.求下列二叉树的前序、中序、后序遍历 答案: 74.构造下列数的排序二叉树: 15,3,1,6,18,7,10,20 答案: 75.求树叶权为4,2,3,5,1的最优树。 答案: 最优树的权重W(T)为: 1×3+2×3+3×2+4×2+5×2=33 76.求带权图的最小生成树。 答案: 这棵最小生成树的权为: 1+1+2+2+3+4=13. 77.求下图的邻接矩阵 答案: 78.写出下列表达式的“波兰表示式” ((a–4b)c–(7d+b))/(c+5a) 答案: 先表示成二叉树的形式 再对二叉树进行前序遍历即的波兰式为: /–×–a×4bc+×7db+c×5a
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