完整word版将军饮马问题的11个模型及例题.docx

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完整word版将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题

问题概述

路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题

方法原理

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3•中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短・

基本模型

1.

已知：

如图，定点A、B分布在定直线1两侧；要求：

在直线1上找一点P,Pt^PB的值最小

解：

连接AB交直线1于点点\P即为所求,

PA+PB的最小值即为线樹B的长度

理由：

在1上任取异于点P的一点P',连接APZ、BP',

在厶ABP'中，AP‘+BP'>AB,即

AP‘+BP'>AP+BP

・・・P为直线AB与直线1的交点时，PA+PB最小.

已知：

如图，定点A和定点B在定直线1的同侧要求：

在直线1上找一点P,使得PA+PB值最小

或厶ABP的周长最小）

解：

作点A关于直线1的对称点Xf,连接NB交1于P,

点P即为所求；

理由：

根据轴对称的性质知直线1为线段AA'的中垂线,

由中垂线的性质得：

PA=PAz,要使PA+PB最小，则

需PA'+PB值最小，从而转化为模型1.

已知：

如图，定点A、B分布在定直线1的同侧

3.

（A、B两

点到1的距离不相等）

要求：

在直线1上找一点P,使丨PA-PB|的值最大

解：

连接BA并延长，交直线1于点P,点P即为所求；

理由：

此时IPA-PB|二AB,在1上任取异于点P的一

点Pz,

连接AP‘、BP,,由三角形的三边关系知IP‘A-P‘B|

A已知：

如图，定点A、B分布在定直线1的两侧（A、B

1两点到1的距离不相等）

R要求：

在直线1上找一点P,使IPA-PB|的值最大

解：

作点B关于直线1的对称点B7，连接WA

并延长交

于点P,点P即为所求；

理由：

根据对称的性质知1为线段BB,的中垂

痒.止Irh冠

线的性质得：

PB=PB,,要使|PA-PB|最大，则需

IPA-PBz丨侑最大，从而转化为模型3.

典型例题1T

2

如图，直线y二Jx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、

0B的中点，点P为0A上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为,此时PC+PD

的最小值为・

【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小，由条件知CD为厶班。

的中位线，0卩为△CDD'的中位线，易求0P长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算・

【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点V,连接CDZ交x轴

于点P,此时PC+PD值最小.令y=,x+4中x二0,则y二4,

3

3x+4=0,解得：

X-6,.孑屮席握鏗33（°’4）；令y=sX+4中尸°’则

为（-6,0）・•••点C、D分别为线段AB、0B的中点，・•・BA0的中位线，/.CD//x轴，且CD=12A0=3,

・••点D'和点D关于x轴对称，・・・0为DL的中点，

D'（0,-1）,・•・0卩为厶CDD'的中位线，JOP^CDT,

・••点P的坐标为（-餐0）•在RtACDD,中，

CD'=CDDD=3242=5,即PC+PD的最小值为5.

小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变

化，C、D不是AB和0B中点时，则先求直线CD'的解析式，再求其与x轴的交点P的坐标・

典型例题1-2

如图，在平面直角坐标系中，已知点

A

的坐标为（0,1）,点B

的坐标为（J,-2）,，PA-PB|的最大值.

点P在直线y二-x上运动，

当|PA-PB|最

大时点P的坐标为

分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y二・x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程；求得BC与直线y=-x的交点P的坐标；此时PA・PB|=|PC-PB|=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值•

解答】作A关于直线y=-x对称易得C的坐标为（-1,连接BC,可得直线点C,的方程为y=-5*x--s,与直敎；y=-x联立解得交点仙P为（4,-

4）；此时|PA最大值BC=（%1）=

（2）2-PB|=|PC・PB|=BC取得最大值，="；

小结】“两点一线”大多考查2和4,需作一次对称点，连线

基本模型得交点

变式训练1-1

已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A

（5,0）,

0B=4V5,点P是对角线0B上的一个动点，D（0,1），当

CP+DP最短时，点P的坐标为（）

A.（0,0）B・（1,2）C・（5，5）D・（7，7）

变式训练1-2

如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点0,AC二2,

BD=2V3,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的

最小值为・

变式训练1-3

如图，已知直线y=；x+l与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线yp空+bx+c与直线交于

A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,

0）・

1）求该抛物线的解析

（选；/I拋物线的対称轴卜•找-点M,使|AM-MC|的値最大，求川点M的坐标

拓展模型

已知：

如图，A为锐角ZM0N外一定点；

要求：

在射线0M上找一点P,在射线0N上找一点

Q,使AP+PQ的值最小・

解：

过点A作AQ丄0N于点Q,AQ与0M相交于点

P,此时,AP+PQ最小；

理由：

AP+PQMAQ,当且仅当A、P、Q三点共线

时，AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最

短，当AQ丄0N时，AQ最小・

已知：

如图，A为锐角ZMON内一定点;

要求：

在射线0M上找一点P,在射线ON上找一点Q,使

AP+PQ的值最小・

3.

解：

作点A关于0M的对称点A',过点A'作AQ丄ON

于点Q,A'Q交0M于点P,此时AP+PQ最小；理由：

由轴对称的性质知AP二A'P,要使AP+PQ最小，

只需AzP+PQ最小，从而转化为拓展模世1

已知：

如图，A为锐角ZMON内一定点；

要求：

在射线0M上找一点P,在射线ON上找一点

Q,使

AAPQ的周长最小

解：

分别作A点关于直线0M的对称点Ai,关于

ON的对

称点A2,连接AA交0M于点P,交ON于点

Q,点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A】去的长度；

理由：

由轴对称的性质知AP=A1P,AQ=A2Q,AAPQ的周长AP+PQ+AQ二1AP+PQ+A2Q,当Ai、P、Q、A2四点共线时，其值最小.

已知：

如图，A、B为锐角ZMON内两个定点；

要求：

在0M上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形APQB的周长最小

解：

作点A关于直线0M的对称点N,作点B关于直线ON的对称点B',连接A'Bz交0M于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A'的长度之和；

理由：

AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA',将QB转化为QB',当A'、P、Q、四点共线时，PA'+PQ+QB7的值最小，即PA+PQ+QB的值最小.

5.搭桥模型

A

1

1

1m

丿/

1/

6.

已知：

如图，直线m//n,A、B分别为m上方和n下方的定

点，（直线AB不与ni垂直）

要求：

在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最

小・分析：

PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使

P、Q“接头”,转化为基本模型

解：

如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A',使得AAZ=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQ丄n,交直线ni于点P,线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.

理由：

易知四边形QPAA'为平行四边形，则QA'二PA,当B、Q、A'三点共线时，QA‘+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小・

已知：

如图，定点A、B分布于直线1两侧，长度为a

（a为定值）的线段PQ在1上移动（P在Q左边）要求：

确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：

PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型

解：

将点A沿着平行于1的方向，向右移至A',使AA‘P=Q=a,连接A'B交直线1于点Q,在1上截取PQ=a（P在Q左边）,则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ,即AfB+a理由：

易知四边形APQA'为平行四边形，则PA=QA7,当A'、Q、B三点共线时，QA‘+QB最小，即PA+QB

最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.

已知：

如图，泄点A、B分布于直线1的同侧，长度a为定值）的线段PQ在1上移动（P在Q左边）

要求：

确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：

AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点

关于1的对称点，转化为上述模型3解：

作A点关于1的对称点Az,将点Az沿着平行于1的方向，向右移至A','使NA''=PQ=a,连接A'V交1于Q,在1上截取QP=a（P在Q左边）,线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为

AzB‘+AB+PQ,即A'+AB+a

典型例题2-1

如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,若点M、N分别AC、

AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为

是线段

分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对

称点E,再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等

面积法和相似可求其长度・

解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作EN丄AB于N,则BM+MN二EM+,MN

其最小值即EN长；JAB=10,BC=5,

・•・AC=ABBC==55,

等面积法求得AC边上的高为105=25

BE=45,

55

EN=8

易知△ABC^A

AB_AC

即BM+MN的最小值为8・

小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂

线；可作

定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作

动点的对称点易解・

Af

典型例题2-2

如图，ZA0B=60°，点P是ZAOB内的定点且0P二，点M、N

分别是射线OA、0B上异于点0的动点，则厶PMN周长的最小

值是（）

A.B・C・6D・3

【分析】符合拓展3的特彳弓作P点分别关于OA、0B的对称点C、D,连接模型OA、0B于MO*炉扯爺△PMN周长最小，其值为CD长；根据对0C、

知OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，％

懈答】缩P点分别盪爭廉0B的C、D,连接CD分别交0A、0B于M、对称八、则MP二M,CNP=ND,0P=0D=0§=N/少?

IjP二ZBOD,Z

即Pp陥P阳拆二ND+MN+NC,=ZDCC0D=ZB0P+ZB0D+ZA0P+ZA0C=2Z

A.。

呢I私'PMN周长最小，作OH丄CD于血CH=DH,Z0CH=30°,:

.0H=0逗

..22

CH=陟1,・•・

2CD=2CH=・3

即厶PMN周长的最小值是费选:

【小结7•根据对称的性质，发现△OCD是顶角为12°°白齧腰三角形，是解题的关键，也.

是难点

典型例题

・•・OP=EM,IPM是定值，・•・PB+ME'二OP+PB的值最小时，BP+PM+M'E的长度最小，・••当0、P、B共线时，BP+PM+M'E的长度最小，•・•直线0B的解析式为y=x,

・•・P（2,）・

小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边

形）的方法，转化为基本模型

典型例题2-4

如图所示，在平面直角坐标系屮，RtAAOB的顶点坐标分

别为A（-2,0）,O（0,0）,B（0,4）,把厶AOB绕点O按顺时针方向旋转90’,得到△COD

（「）求GD两点的坐标;

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的対称轴上取两点E、F（点E在点F

的上方），且EFh,使四边形ACERJ9周长最小,求出E、

F两点的坐标.

分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的

解答】

（1）由旋转的性质可知:

OC=OA=,20D=0B=4Z.,C点的坐

标是（0,2）,D点的坐标是（4,

0）,

2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

4a-2b+c=0

由题意，得16a+4b+c=0

c=4

1

解得a=-2,b=l,c=4,

3）只需AF+CE最短，抛物线y=-2x2+x+4的对称轴为x=l,

将点A向上平移至Ai（-2,1）,则AF=AiE,作A】关于对称轴x=l的对称点A2（4,1）,连接A2C,A£与对称轴交于点E,E为所求，可求

得比C的解析式

小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连缈中，作对称和平移的顺序可互换

变式训练2-1

几何模型：

条件：

如图1,A,B是直线1同旁的两个定点.问题：

在直线1上确定一点

P,使PA+PB的值最小.

方法：

作点A关于直线1的对称点A',连接A'B交1于点P,即为所求・

（不必证明）模型应用：

1）如图2,已知平面直角坐标系中两定点A（0,-1）和B（2,-1）,P为x轴上一动

点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB=・

2）如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是・

3）如图4,在菱形ABCD中，AB=10,ZDAB=60°,P是对角线AC上一动点，E,F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是.

4）如图5,在菱形ABCD中，AB=6,ZB=60°，点G是边CD边的中点，点E.F分别是

AGAD±的两个动点，贝!

JEF+ED的最小值是.

变式训练2-2

如图，矩形ABCD中，AD二15,AB=10,E为AB边上一点，且

DE=2AE,连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边

和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长

的最小值是

变式训练2-3

如图，已知直线11//12,li>12之间的距离为8,点P到直线h的

离为6,点Q到直线12的距离为4,PQ=4,在直线11上有一动

点A,直线12上有一动点B,满足AB丄12,且PA+AB+BQ最小，此时

PA+BQ=

变式训练2-4

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在x轴的正半轴上，OA=AB=,20C=3,过点B作BD丄BC,交0A于点D.将ZDBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.

1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

2）当BE经过

（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方）,且PQ二1,要使四边形BCPQ

的周长最小，求出P、Q两点的坐标.

中考真题

2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）,D是0B的中点，E是0C上的一点，当厶ADE的周长最小时，点E的坐标是（）

5.如图，点A（a,3）,B（b,1）都

y2上，.

V

点C,D,分另燼乩y轴上的动点,

则四边形ABCD周长的最小值为（）

A

A・B・

C・

D・

6•如图,在RtAABC中,

ZC=90°,AC=3,BC=4,D、E分别是AB、BC边上的动点,

3.如图，在矩形ABCD中，AB=5,

P满足Sapab=1S矩形ABCD,则点P到A、B两点距3

AD=3,动点离之和PA+PB的最小值为

C・5

（）

D.

4.已知抛物线y二x2+l

具有如下性质：

该抛物线上任意一点到定点0,2）的距离与到x

轴的距离始终相等，如图，也的坐标为（，3）,P是抛物线二x2+l上一个动点,

则厶PMF周长的最小值）

A.3

B.4

C.5

D.6

则AE+DE的最小值为（

5

D.

12

第X腿

点D,E分别是边BC,AC上的动点,

第&越1

7.如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AC=6,AB=3,则DA+DE的最小值为・

8.如图，等腰△ABC的底边BC=20,120,点F在边BC上，且BF=3FC,EG是

面积为垂直平分线，若点D在EG上腰AC的CDF周长的最小值为・

9•如图，菱形ABCD的边长为6,ZABC=120°,M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）

10.如图，RtAABC中，ACB=90°AC=6,BC=8,AD平分CAB交BC于D点，E,

在Z,ZF分

别是AC上的动点，CE+EF的最小值为（）

11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y

x>0）的图象与边长是6的正方形

OABC

的两边AB,BC分别相交于M,N两点.

上，则PM+PN的最小值是（）

第9勒

△OMN的面积为10.若动点P在x轴

C.2

D.2

A.6

B.1

12•如图，AA0fi：

=BC=,2AB=1,将它沿AB翻折得到厶ABD,则四边中，的形状是形ADBCP、E、F篦别为线髯上的任意点，贝PE+PF形，的最小值是・

_9

13.如图，已知抛物峯x】bx+c与直y二x+3交于A,B两连接AC、BC,已缩1）求此抛物线的解需式；2）在抛物线对称轴1上找一点M,使|MB・MD|的值最大，并求出这个最大值；

3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接于点Q,问：

是否存在点P,使得以A,相似？

若存曲,A,请求哉丿祈祸袴葩狛交y的点轴P,Q为顶点的三角形与

△ABCP的坐标；若不存

x轴于C、D两点,

明理由.

14•如图，在四边形ABCD中，ZB=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+C・D

（1）用尺规作ZADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在

（1）的条件下，

1证明：

AE±DE；

2若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值.

15•如图，抛物线y二ax'+bx+c（aH0）经过点A（-1,0）,B（3,0）,C

（0,3）三点.

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限，当S-xbc二Saabc时，求N点的坐标；

（3）在

（2）问的条件下，过点C作直线1〃x轴，动点P（m,3）在直线1上,动点Q（m,

0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ,当m为何值时，PM+PQ+Q的N和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值.

16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax+4x+c的图象交x轴于另一点B.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC,点N是线段BC上的动点，作ND丄x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值；

（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4,m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标.

17•如图1,已知抛物线y二（x-2）（x+a）（a>0）与x轴从左至右交于A,B两点，与y轴交于点C.

（1）若抛物线过点T（1,・），求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D,

使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△

ABC相似？

若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

（3）如图2,在

（1）的条件下，点P的坐标为（-1,1）,点Q（6,t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2,问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？

请直接写出符合条件的点M的坐标.

18•如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1,0）,C（0,5）两点，与x

轴另一交点为氏已知M（0,1）,E（a,0）,F（a+1,0）,P是第一象限内抛物线上的动点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a二1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若厶PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？

请说明理由.

19.探究：

小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点Pi

（xi,yi）,P2（X2,y2）,可通过构造直角三角形利用图1得到结论：

PiP2=

他还利用图2

证明了线段PR的中点P（x,y）

P的坐标公式：

1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：

（2）①已知点M（2,-

1）,N（-3,5）,则线段MN长度为

②直接写出以点A（2,2）,B（-2,0）,C（3,-1）,D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：

拓展：

（3）如图3,点P（2,n）在函数y二x（x20）的图象0L与x轴正半轴夹角的平分线上，请在0L、x轴上分别找出点E、F,使厶PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.

20.睾那還聲（『迸A*'b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（-

（1）求直线y二kx+b的函数解需击；

（2）若点P（x,y）是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最

小值.

21•如图①，在平面直角坐标系中，0A=6,以OA为边长作等边三角形ABC,使得

BC〃0A,且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上.

（1）求这条抛物线的