专题几何不等式.docx
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专题几何不等式
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专题:
几何不等式
平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会
呈现不等的关系.由于这些不等关系出现在几何问题中,故称之为几何不
在解决这类问题时,我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理,本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理,通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题.这些问题难度较大,在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外,还需考虑几何图形的特点和性质.
几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类,在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理,还需用到一些图形的面积公式.下面先给出几个基本定理.
定理1在三角形中,任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三
边.
定理2同一个三角形中,大边对大角,小边对小角,反之亦然.
定理3在两边对应相等的两个三角形中,第三边大的,所对的角也大,反之亦然.
定理4三角形内任一点到两顶点距离之和,小于另一顶点到这两顶点距离之和.
定理5自直线I外一点P引直线I的斜线,射影较长的斜线也较长,反之,斜线长的射影也较长.
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说明如图2-135所示.PAPB是斜线,HA和HB分别是PA和PB在
l上的射影,若HA>HB贝UPA>PB若PA>PB贝UHA>HB事实上,
由勾股定理知
pA-hA^p^pOhb2,
所以
pA-pbTAhb2.
从而定理容易得证.
定理6在厶ABC中,点P是边BC上任意一点,则有
PACmax{AB,AC,
当点P为A或B时等号成立.
说明max{AB,AQ表示ABAC中的较大者,如图2-136所示,若
P在线段BH上,则由于PHCBH由上面的定理5知PACBA从而
PACmax{AB,AC.
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同理,若P在线段HC上,同样有PACmax{ABAQ
例1在锐角三角形ABC中,AB>ACAM为中线,P为厶AMC内一点,
证明:
PB>PC(图2-137).
证在厶AMBW^AMC中,AM是公共边,BM=M,且AB>AC,由定理3知,/AM>ZAMC所以/AMC:
90°.
过点P作PH!
BC,垂足为H,则H必定在线段BM的延长线上.如果
H在线段MC内部,则
BH>BM=M>HC
如果H在线段MC的延长线上,显然BH>HC所以PB>PC.
例2已知P是厶ABC内任意一点(图2-138).
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⑴求证:
舟(a-Fb+c)
A+PB+PC
va+b+c;
⑵若厶ABC为正三角形,且边长为1,求证:
PA+P+PCV2.
证
(1)由三角形两边之和大于第三边得
PA+PB>c,PB+POa,PC+PA>b.把这三个不等式相加,再两边
除以2,便得
PA+PB+PC>|+O.
又由定理4可知
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