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函数与方程
第九节函数与方程
考纲解读
1、了解函数的零点与方程根的关系,判断方程根的存在性及根的个数
2、能够根据具体函数的图像,用二分法求相应方程的近似解命题趋势探究
函数思想与方程思想是密切相关的,作为中学最主要内容的函数思想方法应用,在高考
中的考查力度有加强趋势;函数的零点及二分法的思想会以选择题、填空题或解答题的形式
出现,在今后的高考中,也将会加大考查力度
知识点精讲
一、函数的零点
对于函数y=fx,我们把使fx=0的实数x叫做函数y=fx的零点•
二、方程的根与函数零点的关系
方程fx=0有实数根二函数y二fx的图像与x轴有公共点二函数y二fx有零点.
三、零点存在性定理
如果函数y=fx在区间la,b〕上的图像是连续不断的一条曲线,并且有fafb:
:
0
,那么函数y=fx在区间a,b内有零点,即存在〔a,b,使得fc=0,c也就是方
程fx[=0的根•
四、二分法
对于区间a,b1上连续不断且fafb:
:
0的函数fx,通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法•求方程fx=0的近似解就是求函数fx零点的近似值.
五、用二分法求函数fx零点近似值的步骤
(1)确定区间a,b1验证fafb<0,给定精度;•
(2)求区间a,b的中点X1.
(3)计算f为.若f捲=0,则x1就是函数fx的零点;若fafx1:
0,则令b=为
(此时零点X。
•a,x1).若fbfx1:
0,则令a=X1(此时零点x^x「b)
(4)判断是否达到精确度名,即若a-b£s则函数零点的近似值为a(或b);否则
重复第
(2)—(4)步.
用二分法求方程近似解的计算量较大,因此往往借助计算完成
题型归纳及思路提示
题型33求函数的零点或零点所在区间思路提示求函数fX零点的方法:
(1)代数法,即求方程fX=0的实根,适合于宜因式分解的多项式;
(2)几何法,即
利用函数y=fx的图像和性质找出零点,适合于宜作图的基本初等函数
例2.74求下列函数的零点:
(1)fx=x3-2x2—x2;
(2)fx=x-4.
X
变式1函数fX]=2x3x的零点所在的一个区间是()
A-2.-1B、-1,0C、0,1D、1,2
变式2设x0是方程lnxx=4的解,贝Ux0属于区间()
变式3设函数
x°,y°,则X。
所在的区间是
图像的交点为
A、0,1B、1,2C、2,3D、3,4
变式4若a:
:
:
b...c,则函数fx=x-ax-bux-bx-c]、[x-cx-a的两个零
点分别位于区间()
A、a,b和b,c内B、-:
:
a和a,b内
题型34利用函数的零点确定参数的取值范围
思路提示:
本类问题应细致观察、分析图像,利用函数的零点及其他相关性质,建立参数关
系,列关于参数的不等式,解不等式,从而获解
32
0,1C、b1,2D、b2,:
:
例2.75已知函数fx二axbxcxd的图像如图2—29所示,则()
图2-29
变式1若函数fx二ax-x-aa-0且a=1有两个零点,则实数a的取值范围是
变式2已知函数fx=logax・x「ba.0且a",当2:
:
a:
:
3:
:
b
变式3(2012天津理14)已知函数
x2—1
x-1
的图像与函数
y=kx-2的图像恰有两个交
:
:
:
4时,函数fx的零点xo三[n,n1,n•N“,则n二__
题型35方程根的个数与函数零点的存在性问题
思路提示
方程的根或函数零点的存在性问题,可以依据区间端点处函数值的正负来确定,但是要
确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性,若在给定区间上是单调的,则至多有一个零点;如果不是单调的,可继续分出小的区间,再类似做出判断
例2.76判断方程3x—x2=0的负实数根的个数,并说明理由•
评注如果y=fx在a,b1上的图像时连续不断的曲线,且x0时函数y=fx在a,b上
的一个零点,不一定有f(a)f(b)c0如f(x)」x—•
<2丿
变式1已知函数fx=ax2bxc0,且fx=x没有实数根,证明:
是否
ffx二X是否有实数根?
变式2设M=&f(x)=xlN=&f[f(x卩=x},证明:
(1)MUN;
(2)f(x)为单
调函数时,是否有M=N
变式3对于定义域为0,11的函数fx,如果同时满足以下三条:
①对任意的0,1总有fx一0;⑦f1〔=1;③若x,_0,x2_0"•x2乞1,都有
fx!
x2—fX1+fX2成立,则函数fx为理想函数•
(1)若函数fx为理想函数,求fX的值域;
(2)
X0•0,1\使得fX0庄0,11,且ffX0=X0,
判断函数gx=2x-10,1丨是否为理想函数,并给与证明;
(3)若函数fx为理想函数,假定存在
求证:
fx0=x0.
‘X+1(x兰0)r1
例2.77已知f(x)=』,则函数y=f[f(x』+1的零点个数是()
log2x(x>0)
A4B、3C、2D、1
评注本题通过换元后,得到函数fx=t与y=ft1,同时做出t=fx与y=ft的
图像.由ft=-1得t的值(或范围),再由t二fx确定x的值(或范围),这时复合函
数求零点个数问题的通法,望掌握•
变式1已知函数f(x)=x3-3x2+1,g(x)n
1
x(x0)4x
2
-x
则方程
-6x-8x_0
gfx丨-a=0a•R的解的个数不可能为
A、3个B、4个C、5个D
变式2关于X的方程(x2-1$
2
-x一1+k=0,给出下列4个命题:
存在实数
存在实数
存在实数
存在实数
k,
k,
k,
k,
其中假命题的个数是
A0B
使得方程恰有使得方程恰有使得方程恰有使得方程恰有
(
C
2个不同的实数根;
4个不同的实数根;
5个不同的实数根;
8个不同的实数根;
)
、2D、3
变式3、若函数fx=x3•ax2•bx•c有极值点x1,x2,且fxjux-则关于x的方程
2
3fx2afx・b=0的不同实根个数是()
A3B、4C、5D、6
变式4(2012江苏18)已知a,b是实数,1和-1是函数fx=x3ax2bx的两个极值
占
八、、-
(1)求a和b的值;
(2)设函数gx的导函数g'x=fxi亠2,求gx的极值点;
(3)设hx二ffxuc,其中c•L2,2】,求函数y二hx的零点个数
、4C、6D、8
评注本题利用函数图像的中心对称性,整体求解横坐标之和,体现数学解题中整体思想的特点•
变式1已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4二-fx,且在区间0,21上增函数,
若方程fx二mm0在区间1-8,8上有4个不同的实根xi,x2,x3,x4,贝V
Xix2x3x4=.
最有效训练题
1
1、函数fxi=log2x的零点所在区间为()
x
A、0丄!
B、-,1!
C、(1,2)D、(2,3)
I2丿⑵丿」''
2、设X0是函数f2&」Og2X的零点,若X^xo则有()
A、fa=OB、fa:
0C、fa,0D、fa的符号不确定3、若函数fx=ax-bb=0有一个零点3,那么函数gx=bx2-3ax的零点是()
A、0B、-1C、0,-1D、0,1
4、已知函数fx二xeX_ax-1,则关于fx的零点叙述正确的是
fX]=X-XI则下列结论正确的是
7、f(X)=«
log2x(0vx兰2)
|x-3(x>2),若方程
fx=ax-1有3个不同的实数根,则实数a的取值
范围是
范围为的取值范围为8、设X1,X2是方程InX-2=m(m为实常数)的两个根,则&+x?
[“丫3
9、已知函数f(x)=d2丿4■一\若函数g(x)=f(x)_k有两个不同的零点,贝U实数
log2x0:
:
x:
:
2
k的取值范围是.
一一’ax+1,xE0
10、已知函数f(x)=」,若函数y=f(f(x))+1有4个不同的零点,则实
log2X(0vxc2j
数a的取值范围是
11、已知fx=x•1x-1,若关于x的方程fx=x•m有3个不同的实数解,求实数m
的取值范围.
12、已知函数f(x)=xx-a-a(aeR)
(1)当a=2时,求函数的单调区间;
(2)讨论函数y=fx的零点个数•
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