最大流问题.docx
- 文档编号:26214524
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:212.43KB
最大流问题.docx
《最大流问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最大流问题.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最大流问题
最大流问题
网络最大流问题
一产生背景
流量问题在实际中是一种常见的问题,在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。
例如铁路运输系统中的车辆流,城市给排水系统的水流问题,控制系统中的信息流问题,常见的人流,物流,水流,气流,电流,现金流等。
在一定条件下,求解给定系统的最大流量,就是网络最大流问题.网络系统最大流问题是图与网络理论中十分重要的最优化问题,它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。
二基本概念与定理
设cij为弧(i,j)的容量,fij为弧(i,j)的流量。
容量是弧(i,j)单位时间内的最大通过能力,流量是弧(i,j)单位时间内的实际通过量,流量的集合f={fij}称为网络的流。
发点到收点的总流量记为v=v(f)。
设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量cij=(vi,vj),记C={cij,(vi,vj)?
A},此外D中只有一个源vs和汇vt(即D中与vs相关联的弧只能以vs为起点,与vt相关联的弧只能以vt为终点),则称D=(V,A,C,vs,vt)为一网络。
引例1:
图1给出了一张网络,其中:
vs为源,vt为汇,弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量fij,则显然有0?
fij?
cij。
v2(3,3)v4
(3,3)(5,5)
Vs(2,2)(2,2)(2,2)vt
(6,4)(6,2)
v1(6,6)v3
图1
最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。
图1最大流问题的线性规划数学模型为
1
maxvff,,ss12
ffist,,,0(,),,ijij,ji,
所有弧(i,j)0,,fcijij,
由线性规划理论知,满足式上式的约束条件的解{fij}称为可行解,在最大流问题中称为可行流。
可行流满足下列三个条件:
(1)0,,fcijij
(2)ff,,,mjimji
(3)vff,,,,sjitvsvt
条件
(2)和条件(3)也称为流量守恒条件。
另外对有多个发点和多个收点的网络,可以另外虚设一个总发点和一个总收点,并将其分别与各发点、收点连起来(图*),就可以转换为只含一个发点和一个收点的网络。
ST
S*
T*
图*
所以一般只研究具有一个发点和一个收点的网络
在图D中,从发点到收点的一条路线称为链,从发点到收点的方向规定为链的方向。
与链的方向相同的弧称为前向弧,前向弧集合记为u+,与链的方向相反的弧称为后向弧,后向弧集合记为u-。
设f是一个可行流,如果存在一条从发点vs到收点vt到的链u满足:
(1)所有前向弧上fij,cij
2
(2)所有后向弧上fij,0,则称链u为增广链.
STVSTvSvT,,,,,,,,,,st设则称
(,)(,)|,STvvvSvT,,,,,ijij
CSTcvv(,)(,),,ij(,)(,),vvstij为图D的一个割集;称为割集(S,T)的容量。
显然对任意可行流f及任意割集(S,T)总有V(f)=C(S,T)。
故有某个可行流f*及某一割集(S*,T*)使得V(f*)=C(S*,T*),则f*为D的最大流,(S*,T*)为最小容量割集。
定理1图D上的可行流f*是最大流的充要条件是D上不存在关于f*的增广链。
三求解网络最大流的方法(标号法)
标号法是一种图上迭代计算方法,该算法首先给出一个初始可行流,通过标号找出一条增广链,然后调整增广链上的流量,得到更大的流量。
再用标号找出一条新的增广链,再调整直到标号过程不能进行下去为止,这时的可行流就是最大流。
标号法步骤如下:
第一步找出一个初始可行流fij(0),例如所有弧的流量fij(0)=0.
第二步对点进行标号找出一条增广链。
(1)起点标号(?
)
(2)选一个点vi已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查
(a)如果弧是前向弧且有fij,cij,则vj标号
,,cfjijij
,fjij(b)如果弧是后向弧且有fij,0,则vj标号
当收点已得到标号时,说明已找到增广链,依据v的标号反向追踪得到一条增广链。
当收点不能得到标号时,说明不存在增广链,计算结束
第三步调整流量
,,minjjj
(1)求增广链上点的vi标号的最小值,得到调整量号
3
(2)调整流量
,,fvvu,,,(,)ijij,,,ffvvu,,,(,),,ijij1
fvvu(,),ijij,,
得到新的可行流f1,去掉所有标号,返回到第二步从发点重新标号寻找增广
链,直到收点不能标号为止。
四例题应用
4
例2:
用标号法求网络最大流(图1),弧旁数字为(cij,fij(0))。
解
(1)标号过程。
见图2。
5
(,),(,)vvvvu,2132
(2)增广链为{vs,v1,v2,v3,vt}(注意)。
(3)调整量θ=2调整后得图3。
(4)二次标号过程。
见图3。
标号无法进行下去,最大流流量V(f*)=3+6=9,最小割集(S*,T*),S*={vs},T*={v1,v2,v3,v4,vt}。
(-v1,2)
v2(3,3)v4
(5,5)
(3,3)
vs(2,2)(2,2)(2,2)vt(v3,2)
(0,+)
(6,4)(6,2)
v1(6,6)v3
(v1,2)(-v2,2)
图2
v2(3,3)v4
(5,5)
(3,3)
vs(2,0)(2,0)(2,2)vt
(0,+)
(6,6)(6,4)
v1(6,6)v3
图3
例3:
在下面的有向图中1是发点,6是收点,求最大流.
214
42
12426
56
335
图解法如下:
6
2(1,+4)14(2,+1)
42
2426(5,4)1(0,+inf)
56
3(5,+5)35(2,+4)
2(5,-3)14(5,+2)
(4,4)2
1(0,inf)2(4,4)26(5,2)
5(6,4)
3(1,+5)35(3,+3)
2(5,-1)14(5,+1)
(4,4)2
1(0,inf)2(4,4)26(4,+1)
(5,2)(6,6)
3(1,+3)(3,2)5(3,1)
7
214
(4,4)(2,1)
61(0,inf)2(4,4)(2,1)
(5,3)(6,6)
3(1,2)(3,3)5
图中红色的是可增广链,可见S={1,3},S’={2,4,5,6},蓝色的三条边(1,2),(3,5),(2,3)组成的集合是最小割,割集容量为(1,2)和(3,5)两条边的容量之和7,也就是最大流的流量.
8
9
10
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最大 问题