含参数的一元二次方程的整数解问题.docx
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含参数的一元二次方程的整数解问题
第二十六讲
含参数的一元二次方程的整数根问
题
对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a丸)的实根情况,可以用判别式A=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就
没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性
质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法•
例1m是什么整数时,方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0
有两个不相等的正整数根.
解法1首先,m2-1丸,m工±.A=36(m-3)2>0,所以m工3.用求根公式可得
由于xi,X2是正整数,所以
m-仁1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12,
解得m=2.这时X1=6,x2=4.
解法2首先,m2-1丸,m工±.设两个不相等的正整数根为X1,X2,则由根与系数的
关系知
只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5.
经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根
说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法.
例2已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值.
分析至少有一个整数根”应分两种情况:
一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,一个不是整数根.我们也可以像上题一样,把它的两个根解出来.
解因为a^O,所以
(3a2-Sa)±-8a)2-4a2(2ar-13a+15)
B=2?
(3a2-8a)±(a2+2a)
=2?
,
所以
3a2-Sa4-(?
4-2a)3
”—W
弘'-亦+5
Sj=否=l_;
所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5.
例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程
mx2-(m-1)x+1=0
有有理根,求m的值.
解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.令
△=(m-1)2-4m=n2.
m2-6m+1=n2,
(m-3+n)(m-3-n)=8.
(m-3+n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数,所以m-3+n与m-3-n同奇偶,所以
所以m=E遠时方程的两个根为》
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根,那么它的判别式一定是完全
平方数,然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•
例4关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解,且a是整数,求a的值.
解当a=0时,原方程变成-6x-2=0,无整数解.
当a丸时,方程是一元二次方程,它至少有一个整数根,说明判别式
A=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a)
为完全平方数,从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n2,则n是正奇数,
且详3(否则—0)・所以"弓由求根公式痔
--3)±2n3±n
吩=H=-"一
要使xi为整数,而n为正奇数,只能n=1,从而a=2.要使X2为整数,即n-3|4,n
可取1,5,7,从而a=2,-4,-10.
综上所述,a的值为2,-4,-10.
说明本题是前面两种方法的综合”•既要用判别式是平方数,又要用直接求根•有时候,往往是几种方法一同使用•
例5已知关于x的方程
2
x2+(a-6)x+a=0
的两根都是整数,求a的值.
解设两个根为X1浓2,由韦达定理得
衍+x2-6-a,
=a.
从上面两式中消去a得
X1X2+X1+X2=6,
所以(X1+1)(X2+1)=7,
所以a=X1X2=0或16•
例6求所有有理数r,使得方程
rx2+(r+1)x+(r-1)=0
的所有根是整数
关于X
,均
分析首先对r=0和r丸进行讨论.r=0时,是关于x的一次方程;r丸时,的二次方程,由于r是有理数,处理起来有些困难,这时用直接求根或用判别式来做不能奏效.可用韦达定理,先把这个有理数r消去.
解当r=0时,原方程为x-仁0,所以x=1.
X1>X2,
当r丸时,原方程是关于x的一元二次方程,设它的两个整数根为xi,X2,且
则
消去r得
X1X2-X1-X2=2,
所以(Xi-1)(X2-1)=3.
综上所述.当2身,X1时,方程的所有根都是整瓠
例7已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程
ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0
至少有一个整数根,求a的值.
解将原方程变形为
(x+2)2a=2(x+6).
显然x+2工0,于是
2(x+£)
由于a是正整数,所以a>1,即
(盟+2沪,
所以x2+2x-8切,
(x+4)(x-2)<0,
所以-4 当x=-4,-3,-1,0,1,2时,得a的值为1,6,10,3, 14 L1.所%的値为1,X6.10. 说明从解题过程中知,当a=1时,有两个整数根-4,2;当a=3,6,10时,方程只 次的,可以先对这个 有一个整数根.有时候,在关于x的一元二次方程中,如果参数: 参数来求解. 例8已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根 ⑵求证: b-1 ⑶求b,c的所有可能的值. 解⑴由XiX2>0知,xi与X2同号.若xi>0,则X2>0,这3T-b=心+知〉山斯以bUD-与君盾.所以.KjCOr益 ⑵由 (1)知,xiv0,X2V0,所以xiW-1,X2W-1.由韦达定理 c-(b-1)=x1X2+Xi+X2+1 =(x1+1)(x2+1)>0, 所以c>b-1. 同理有 b*(_v-1J弓洗详)+孟]+Xjj+1 =(xi+r)(虬+1丿 所以cWb+1, 所以b-1wc命+1. ⑶由 (2)可知,b与c的关系有如下三种情况 (i)c=b+1.由韦达定理知 X1X2=-(X1+X2)+1, 所以(X1+1)(X2+1)=2, 叫kj+]=-2i Xj+1=-2(z2+1~-1. 解得X1+X2=-5,X1X2=6,所以b=5,c=6. (ii)c=b.由韦达定理知 X1X2=-(X1+X2), 所以(X1+1)(X2+1)=1, 所以X1=X2=-2,从而b=4,c=4. (iii)c=b-1 .由韦达疋理知 -(i|+s2)=*xj-lh 所以 〔若;+1〕&;+l)= 解得篦;+誰;=5£;爲=6,所以b=&t=5- 综上所述,共有三组解: (b,c)=(5,6),(4,4),(6,5).
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- 参数 一元 二次方程 整数 问题