中考三角函数专题训练.docx
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中考三角函数专题训练.docx
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中考三角函数专题训练
中考三角函数的应用专题训练
1、如图,小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕 CD,点 A 是小刚的眼睛,测得
屏幕下端 D 处的仰角为 30°,然后他正对屏幕方向前进了 6 米到达 B 处,又测得该屏幕上端 C 处的仰角
为 45°,延长 AB 与楼房垂直相交于点 E,测得 BE=21 米,请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离
CD.(结果保留根号)
2、丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形,作为要制作的风筝的一个翅膀.请你根据图中的
数据帮丁丁计算出 BE、CD 的长度(精确到个位,≈1.7).
3、为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图 1 所示是一辆自行车的实物图.车架档 AC
与 CD 的长分别为 45cm,60cm,且它们互相垂直,座杆 CE 的长为 20cm,点 A,C,E 在同一条直线上,
且∠CAB=75°,如图 2.
(1)求车架档 AD 的长;
(2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离.
( 结 果 精 确 到1cm . 参 考 数 据 :
sin75°≈0.9659 , cos75°≈0.2588 , tan75≈3.7321 )
4、生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当 50°≤α≤70°时(α 为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬.现
在有一长为 6 米的梯子 AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度 AC.
(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
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5、如图,在昆明市轨道交通的修建中,规划在A、B 两地修建一段地铁,点 B 在点 A 的正东方向,由于
A、B 之间建筑物较多,无法直接测量,现测得古树 C 在点 A 的北偏东 45°方向上,在点 B 的北偏西 60°
(
方向上,BC=400m,请你求出这段地铁 AB 的长度. 结果精确到 1m,参考数据:
2 ≈ 1.414,3 ≈ 1.732 )
6、如图,甲、乙两船同时从港口出发,甲船以 60 海里/时的速度沿北偏东 60°方向航行,乙船沿北偏西
30° 方 向 航行, 半小 时后甲 船到达 C 点, 乙船正 好到 达甲船 正西 方向的 B 点,求 乙船 的速度
.
7.某校课外活动小组,在距离湖面7 米高的观测台 A 处,看湖面上空一热气球 P 的仰角为 37°,看 P 在
湖中的倒影 P’的俯角为 53°,(P’为 P 关于湖面的对称点),请你计算出这个热气球 P 距湖面的高度 PC
约为多少米?
343
注:
sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈;
554
P
44
Sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈
53
A 37°
53°
湖面B
C
P'
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8、 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点 A 与望海楼 B 的距离为 300 m.在一处
测得望海校 B 位于 A 的北偏东 30°方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在 C 处测得望海楼 B
位于 C 的北偏东 60°方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离 BC (3 取 l.73.结果保留整数).
9、如图,飞机沿水平方向(A、B 两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就
必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离(因安全因素,飞
机不能飞到山顶的正上方 N 处才测飞行距离),请设计一个距离 MN 的方案,要求:
(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离 MN 的步骤.
ABN
M
(9 题图)
10、放风筝是大家喜爱的一种运动.星期天的上午小明在大洲广场上放风筝.如图他在 A 处时不小心让
风筝挂在了一棵树的树梢上,风筝固定在了 D 处.此时风筝线 AD 与水平线的夹角为 30°. 为了便于观
察.小明迅速向前边移动边收线到达了离 A 处 7 米的 B 处,此时风筝线 BD 与水平线的夹角为 45°.已知
点 A、B、C 在冋一条直线上,∠ACD=90°.请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米?
(本题
中风筝线均视为线段,≈1.414,≈1.732.最后结果精确到 1 米)
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11、在一次数学课外活动中,一位同学在教学楼的点 A 处观察旗杆 BC,测得旗杆顶部 B 的仰角为 30°,
测得旗杆底部 C 的俯角为 60°,已知点 A 距地面的高 AD 为 15cm.求旗杆的高度.
12、如图,一艘船以每小时 60 海里的速度自 A 向正北方向航行,船在 A 处时,灯塔 S 在船的北偏东 30°,
航行 1 小时后到 B 处,此时灯塔 S 在船的北偏东 75°,(运算结果保留根号)
(1)求船在 B 处时与灯塔 S 的距离;
(2)若船从 B 处继续向正北方向航行,问经过多长时间船与灯塔 S 的距离最近.
13、某校初三课外活动小组,在测量树高的一次活动中.如图所示,测得树底部中心 A 到斜坡底 C 的水
平距离为 8.8m,在阳光下某一时刻测得 l 米的标杆影长为 0.8m,树影落在斜坡上的部分 CD=3.2m,已知
斜坡 CD 的坡比 i= 1:
3 ,求树高 AB.(结果保留整数,参考数据:
3 ≈1.7).
14、我市某建筑工地,欲拆除该工地的一危房 AB(如图),准备对该危房实施定向爆破.已知距危房
AB 水平距离 60 米(BD=60 米)处有一居民住宅楼,该居民住宅楼 CD 高 15 米,在该该住宅楼顶 C
处测得此危房屋顶 A 的仰角为 30°,请你通过计算说明在实施定向爆破危房 AB 时,该居民住宅楼有
无危险?
(在地面上以点 B 为圆心,以 AB 长为半径的圆形区域为危险区域,参考数据:
2 ≈ 1.414 ,
3 ≈ 1.732 )A
E30°C
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BD
15、如图,在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶.在航行到 B 处时,发现灯塔 A
在我军舰的正北方向 500 米处;当该军舰从 B 处向正西方向行驶至达 C 处时,发现灯塔 A 在我军舰的北
偏东 60°的方向.求该军舰行驶的路程.(计算过程和结果均不取近似值)
16、如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭
前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处,测得树顶端 D
的仰角为 60°.已知 A 点的高度 AB 为 2 米,台阶 AC 的坡度为1:
3 (即 AB:
BC=1:
3 ),且 B、C、
E 三点在同一条盲线上。
请根据以上杀件求出树 DE 的高度(测倾器的高度忽略不计).
17、综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度。
如图所示是护城河的一段,两岸AB∥CD,河岸
AB 上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为 10 米.小明先用测角仪在河岸 CD 的 M 处测得∠α=36°,
然后沿河岸走 50 米到达 N 点,测得∠β=72°。
请你根据这些数据帮小明他们算出河宽 FR(结果保留两位
有效数字).
(参考数据:
sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin 72°≈ 0.95,cos 72°≈0.31,tan72°≈3.08)
A
E F B
α
β
CMN
R D
18、今年“五一“假期.某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下 A 点出发沿斜坡 AB 到达 B 点.再
从 B 点沿斜坡 BC 到达山顶 C 点,路线如图所示.斜坡 AB 的长为 1040 米,斜坡 BC 的长为 400 米,在
C 点测得 B 点的俯角为 30°.已知 A 点海拔 121 米.C 点海拔 721 米.
(1)求 B 点的海拔;
(2)求斜坡 AB 的坡度.
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19、五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动,在景点 P 处测得景点 B 位于南偏
东 45°方向;然后沿北偏东 60°方向走 100 米到达景点 A,此时测得景点 B 正好位于景点 A 的正南方向,
求景点 A 与 B 之间的距离.(结果精确到 0.1 米)
20、如图,在鱼塘两侧有两棵树 A、B,小华要测量此两树之间的距离.他在距 A 树 30 m 的 C 处测得∠
ACB=30°,又在 B 处测得∠ABC=120°.求 A、B 两树之间的距离(结果精确到 0.1m)(参考数据:
2≈1.414, 3≈1.732)
CC
A
B A
B
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三角函数 11 答案
1、 2011•綦江县)解答:
解:
∵∠CBE=45°,CE⊥AE,∴CE=BE.∴CE=21,∴AE=AB+BE=21+6=27.
在
ADE 中,∠DAE=30°,∴DE=AE×tan30°=27×=9
,∴CD=CE﹣DE=21﹣9 .
答:
广告屏幕上端与下端之间的距离约为 21﹣9m.
2、(2011•台州)
解答:
解:
由∠ABC=120°可得∠EBC﹣60°,在
BCE 中,CE=51,∠EBC=60°,
因此 tan60°﹣,BE=,
在矩形 AECF 中,由∠BAD﹣45°,得∠ADF﹣∠DAF=45°,
因此 DF=AF=51,
∴FC﹣AE﹣34+20﹣64,
∴CD=FC﹣FD≈64﹣51=13,
因此 BE 的长度均为 30cm,CD 的长度均为 13cm.
20、(2011•绍兴)
3、解答:
解:
(1)AD==75,
∴车架当 AD 的长为 75cm,
(2)过点 E 作 EF⊥AB,垂足为点 F,
距离 EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63cm,
∴车座点 E 到车架档 AB 的距离是 63cm,
4、解答:
解:
当 α=70°时,梯子顶端达到最大高度,(1 分)
∵sinα=,(2 分)
∴AC=sin70°×6=0.94×6=5.64,(2 分)≈5.6(米).
答:
人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约 5.6 米.(1 分)
5、答案:
解:
过点 C 作 CD⊥AB 于 D,由题意知:
7 / 11
3
BC=200, BD=CB•cos(90°﹣60°)=400×=200 3 ,AD=CD=200,
22
∴AB=AD+BD=200+200 3 ≈546(m),
答:
这段地铁 AB 的长度为 546m.
6、(2011•保山)解答:
解:
由已知可得:
AC=60×0.5=30,
又已知甲船以 60 海里/时的速度沿北偏东 60°方向航行,乙船沿北偏西 30°,
∴∠BAC=90°,
又乙船正好到达甲船正西方向的 B 点,
∴∠C=30°,
∴AB=AC•tan30°=30×=17,
所以乙船的速度为:
17÷0.5=34,
答:
乙船的速度为 34 海里/小时.
7、 25 米
8、BC≈173
9、解:
连结 AD 交 BH 于 F
.
此题为开放题,答案不唯一,只要方案设计合理,可参照给分
(1)如图,测出飞机在 A 处对山顶
的俯角为 α,测出飞机在 B 处
对山顶的俯角为 β,测出 AB
A
α
B
β
N
的距离为 d,连结 AM,BM.
(3 分)
(2)第一步骤:
在
AMN 中,
M
tanα =
MN MN
第二步骤:
在
BMN 中
tanβ =
MN MN
(22 题图)
其中:
AN = d+BN(5 分)
tanβ–tanα(7 分)
(
10、 2011•内江)解答:
解:
设 CD 为 x 米.
∵∠ACD=90°,
∴在直角△ ADC 中,∠DAC=30°,AC=CD•cos30°=
在直角△ BCD 中,∠DBC=45°,BC=CD=x,BD=
x,AD=2x,
= x,
∵AC﹣BC=AB=7 米,∴
x﹣x=7,
又∵≈1.4,
≈1.7,∴x=10 米,
则小明此时所收回的风筝的长度为:
AD﹣BD=2x﹣
x=6 米.
8 / 11
11、(2011•眉山)解答:
解:
过 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,由题意可知,四边形 ADCE 为矩形,
∴EC=AD=15,
在
AEC 中,tan∠EAC=
∴AE===5
在
AEB 中,tan∠BAE=
,
(米),
,
∴BE=AE•tan∠EAB=5•tan30°=5(米),∴BC=CE+BE=20(米).答:
旗杆高度为 20 米.
(
12、 2011•泸州)解答:
解:
(1)延长 AB,作 SC⊥AC,垂足为 C.
设 SC=x.
在
ASC 中,AC=xcot30°=x;
在
BSC 中,BC=xcot75°=(2﹣
∵AB=60 海里,
)x.
又∵AB=AC﹣BC=
x﹣(2﹣ )x=(2 ﹣2)x,
∴(2
﹣2)x=60, 解得:
x=15(
+1)海里.
BS=
= =30
海里.故
(1)BS=30
海里;
(2)船与灯塔 S 的最近距离为 CS,船的航行时间为=小时.
13、解:
过点作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,如图,
9 / 11
∵斜坡 CD 的坡比 i = 1:
3 ,即 tan∠DCF=
∴∠DCF=30°,而 CD=3.2m,
3
3
,
∴DF=
1
2
CD=1.6m,CF= 3 DF=1.6 3 m,
∵AC=8.8m,
∴DE=AC+CF=8.8+1.6 3 ,
DE8.8 + 1.6 3
==,
10.80.8
∴BE=11 + 2 3 ,
∴AB=BE+AE=12.6 + 2 3 1≈16m.
答:
树高 AB 为 16m.
14、解:
没有危险,理由如下:
……………………1 分
在△AEC 中,∵∠AEC=90°,∴ tan ∠ACE =
AE
CE
∵∠ACE=30°,CE=BD=60,∴AE= 20 3 ≈ 34.64 (米)……………………3 分
又∵AB=AE+BE,BE=CD=15,∴AB ≈ 49.64 (米)……………………4 分
∵ 60 > 49.64 ,即 BD > AB∴在实施定向爆破危房 AB 时,该居民住宅楼没有危险……………6 分
(
15、 2011•成都)解答:
解:
由题意得∠A=60°,
∴BC=AB×tan60°=500×=500m.答:
该军舰行驶的路程为 500m.
16、解:
树 DE 的高度为 6 米。
17、【解】过点 F 作 FG∥EM 交 CD 于 G.
则 MG=EF=20 米.
∠FGN=∠α=36°.
∴∠GFN=∠β-∠FGN= 72°-36°=36°.
∴∠FGN=∠GFN,
∴FN=GN=50-20=30(米).
在
FNR 中,
FR=FN×sinβ=30×sin72°=30×0.95≈29(米).
18、解答:
解:
如图,过 C 作 CF⊥AM,F 为垂足,过 B 点作 BE⊥AM,BD⊥CF,E、D 为垂足.
在 C 点测得 B 点的俯角为 30°,
∴∠CBD=30°,又 BC=400 米,∴CD=400×sin30°=400× =200(米).
∴B 点的海拔为 721﹣200=521(米).
(2)∵BE=DF=CF﹣CD=521﹣121=400 米,
10 / 11
∴AB=1040 米,AE===960 米,
∴AB 的坡度 iAB===,故斜坡 AB 的坡度为 1:
2.4.
19、 2011•湛江)解答:
解:
由题意可知:
作作 PC⊥AB 于 C,
∠ACP=∠BCP=90°,∠APC=30°,∠BPC=45°.
在
ACP 中,
∵∠ACP=90°,∠APC=30°,
∴AC= AP=50,PC=AC=50.
在
BPC 中,
∵∠BCP=90°,∠BPC=45°,
∴BC=PC=50.
∴AB=AC+BC=50+50≈50+50×1.732≈136.6(米).
答:
景点 A 与 B 之间的距离大约为 136.6 米.
20 、( 11 · 珠 海 )( 本 题 满 分7分 )【 答 案 】 解 :
作BD⊥AC , 垂 足 为 点
D……………………1 分
∵∠C=30°,∠ABC=120°,∴∠A=30°;
∴AB=BC
11
22
AB ,
∴AB= AD
2
答:
A、B 两树之间的距离约为 17.3m.
……………………2 分
……………………3 分
……………………4 分
……………………6 分
……………………7 分
11 / 11
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