全等三角形证明经典40题含答案.docx
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全等三角形证明经典40题含答案
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD的长.
解:
延伸AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
2.已知:
BC=ED,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
证实:
衔接BF和EF
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF
衔接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF.
∵∠ABC=∠AED.
∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等.
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2).
3.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延伸线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
4.已知:
AD等分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
A
证实:
延伸AB取点E,使AE=AC,衔接DE
∵AD等分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
5.已知:
AC等分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证实:
在AE上取F,使EF=EB,衔接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF(SAS)
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC等分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
6.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE.CE分离等分∠ABC.∠BCD,且点E在AD上.求证:
BC=AB+DC.
在BC上截取BF=AB,衔接EF
∵BE等分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE,CE等分∠BCD,CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
7.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
证实:
设线段AB,CD地点的直线交于E,则:
△AED是等腰三角形.
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
8.P是∠BAC等分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB 在AC上取点E, 使AE=AB. ∵AE=ABAP=AP∠EAP=∠BAE, ∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB. PC<EC+PE ∴PC<(AC-AE)+PB ∴PC-PB<AC-AB. 9.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE 证实: 延伸BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC–AB=FC,FB=2BE ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C ∵∠AFB=∠C+∠FBC ∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C ∴∠FBC=2∠C 即∠FBC=∠C ∴FB=FC ∴AC-AB=FB=2BE 10.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 解: 延伸AD至BC于点E, ∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 11.如图,OM等分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A.B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 证实: ∵OM等分∠POQ ∴∠POM=∠QOM ∵MA⊥OP,MB⊥OQ ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM ∴△AOM≌△BOM(AAS) ∴OA=OB ∵ON=ON ∴△AON≌△BON(SAS) ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180 ∴∠ONA=∠ONB=90 ∴OM⊥AB 12.如图,已知AD∥BC,∠PAB的等分线与∠CBA的等分线订交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 做BE的延伸线,与AP订交于F点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角等分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角等分线 ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 13.如图,△ABC中,AD是∠CAB的等分线,且AB=AC+CD,求证: ∠C=2∠B 延伸AC到E 使AE=AC衔接ED ∵AB=AC+CD ∴CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 14.已知: 如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AED≌△EBC. (2)不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出成果,不请求证实): 证实: ∵DC∥AB ∴∠CDE=∠AED ∵DE=DE,DC=AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE=BE ∴BE=DC ∵DC∥AB ∴∠DCE=∠BEC ∵CE=CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 15.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的等分线,BD的延伸线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延伸线于F. 求证: BD=2CE. 证实: ∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE四点共元 ∵∠ABE=∠CBE ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD的中点G,衔接AG,则: AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而: ∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等) ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而: AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 16.如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证: △AED≌△BFC. 证实: ∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF∴△AED≌△BFC(SAS) 17.如图: AE.BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF. 求证: AM是△ABC的中线. 证实: ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 18.如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点.求证: BD⊥AC. ∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC 19.AB=AC,DB=DC,F是AD的延伸线上的一点.求证: BF=CF 在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 20.如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证: AF=DE. ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DCBF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,个中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试解释三只石凳E,F,M正好在一条直线上. 证实: 衔接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M是BC中点 ∴BM=CM 在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM≌△CFM(SAS) ∴CF=BE 22.已知: 点A.F.E.C在统一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证: △ABE≌△CDF. ∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)∵BE=DF∴: △ABE≌△CDF(SAS) 23.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E.F分离是DC.BC的中点,求证: AE=AF. 衔接BD; ∵AB=ADBC=D ∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC; ∵BC=DCE\F是中点 ∴DE=BF; ∵AB=ADDE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF. 24.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6. 证实: 在△ADC,△ABC中 ∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC(两角加一边) ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC与△BEC中 ∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC(双方夹一角) ∴∠DEC=∠BEC 25.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: △ABC≌△DEF. ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF(ASA) 26.已知: 如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分离为D.E,BD.CE订交于点F,求证: BE=CD. 证实: ∵BD⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS) ∴BE=CD 27.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的等分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 求证: DE=DF. 证实: ∵AD是∠BAC的等分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD(AAS) ∴AE=AF 在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF ∴△AEO≌△AFO(SAS) ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF 28.已知: 如图,AC BC于C,DE AC于E,AD AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长? ∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E 依据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE ∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)∴AD=AB=5 29.如图: AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分离为E.F,ME=MF.求证: MB=MC 证实: ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME⊥AB,MF⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME和△CMF中 ∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF ∴△BME≌△CMF(AAS) ∴MB=MC. 30.在△ABC中, 直线 经由点 且 于 于 . (1)当直线 绕点 扭转到图1的地位时,求证: ① ≌ ;② ; (2)当直线 绕点 扭转到图2的地位时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证实;若不成立,解释来由. (1) ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴∠CAD=∠BCE. ∵AC=BC, ∴△ADC≌△CEB. ②∵△ADC≌△CEB, ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE+CD=AD+BE. (2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 又∵AC=BC, ∴△ACD≌△CBE. ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE 31.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BF (1)∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC, 即∠EAC=∠BAF, 在△ABF和△AEC中, ∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC, ∴△ABF≌△AEC(SAS), ∴EC=BF; (2)如图,依据 (1),△ABF≌△AEC, ∴∠AEC=∠ABF, ∵AE⊥AB, ∴∠BAE=90°, ∴∠AEC+∠ADE=90°, ∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等), ∴∠ABF+∠BDM=90°, 在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°, ∴EC⊥BF. 32.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证: (1)AM=AN; (2)AM⊥AN. 证实: (1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN (2) ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN 33.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC∥EF 在△ABF和△CDE中 AB=DE ∠A=∠D AF=CD ∴△ABF≡△CDE(边角边) ∴FB=CE 在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF ∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF 34.如图,已知AC∥BD,EA.EB分离等分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗? 请解释来由 在AB上取点N,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE为公共边 ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 35.如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE∥CF. 证实: ∵AD是△ABC的中线BD=CD∵DF=DE(已知)∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC则∠EBD=∠FCD∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行). 36.已知: 如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足, . 求证: . 证实: ∵DE⊥AC,BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90º 又∵AB=CD,BF=DE ∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL) ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD 37.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证: AB=CD ∵,∠3=∠4 ∴OB=OC 在△AOB和△DOC中 ∠1=∠2 OB=OC ∠AOB=∠DOC △AOB≌△DOC ∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB 在△ACB和△DBC中 AC=DB ∠3=∠4 BC=CB △ACB≌△DBC ∴AB=CD 38.如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜测线段CE与DE的大小与地位关系,并证实你的结论. CE>DE.当∠AEB越小,则DE越小. 证实: 过D作AE平行线与AC交于F,衔接FB 由已知前提知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形. RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90° ∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB中,∠FBA=90°-∠DBF<45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CEAF=DE ∴CE>DE 39. (10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证: AE=DE. ∵AB=DC,AC=DB,BC=BC ∴△ABC≌△DCB, ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE,AB=DC ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 40.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ∠ADC=∠BDE. 作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA,∠BCE=90º-∠CDA∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE,∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º,CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE
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