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常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式
武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理
我们知道,如果∠C=90°,a、b、c是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a2+b2=c2;反之,若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形,c为斜边.与此相类似,如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,则称a、b、c为勾股数,记为(a,b,c).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种:
一、三数为连续整数的勾股数
(3,4,5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢?
设三数为连续整数的勾股数组为(x-1,x,x+1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x2=(x+1)2,解得x=4或x=0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数
易知:
(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢?
a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1).
分别取n=1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),…
三、前两数为连续整数的勾股数
你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为:
(x,x+1,
)(x为正整数)。
设前两数为连续整数的勾股数组为(x,x+1,y),y=
则
(*)
整理,得
=
,化为
,即
=-1,
又
=-1,∴
=-1(n
N),
故取
=
,
=
,
解之,得x=
〔
+
-2〕,y=
〔
-
〕,
故前两数为连续整数的勾股数组是(
〔
+
-2〕,
〔
+
-2〕+1,
〔
-
〕).
4、后两数为连续奇数的勾股数
如(8,15,17),(12,35,37)…其公式为:
4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整数).
五、其它的勾股数组公式:
1.a=2m,b=m2-1,c=m2+1(m大于1的整数).2.a=
(m2-n2),b=mn,c=
(m2+n2)(其中m>n且是互质的奇数).
3.a=2m,b=m2-n2,c=m2+n2(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数).
下面我们把100以内的勾股数组列出来,供同学们参考:
345;51213;6810;72425;81517;91215;94041;102426;116061;121620;
123537;138485;144850;152025;153639;15112113;163034;166365
17144145;182430;188082;19180181;202129;204852;2099101;212835
217275;21220221;22120122;23264265;243240;244551;247074;24143145
256065;25312313;26168170;273645;27120123;27364365;284553;2896100
28195197;29420421;304050;307278;30224226;31480481;326068;32126130
32255257;334455;335665;33180183;33544545;34288290;358491;35120125
35612613;364860;367785;36105111;36160164;36323325;37684685;38360362
395265;398089;39252255;39760761;404258;407585;4096104;40198202
40399401;41840841;425670;42144150;42440442;43924925;44117125;44240244
44483485;456075;45108117;45200205;45336339;46528530;485573;486480
4890102;48140148;48189195;48286290;48575577;49168175;50120130;50624626
516885;51140149;51432435;52165173;52336340;52675677;547290;54240246
54728730;55132143;55300305;5690106;56105119;56192200;56390394;56783785
577695;57176185;57540543;58840842;606387;6080100;6091109;60144156
60175185;60221229;60297303;60448452;60899901;62960962;6384105;63216225
63280287;63660663;64120136;64252260;64510514;657297;65156169;65420425
6688110;66112130;66360366;68285293;68576580;6992115;69260269;69792795
70168182;70240250;7296120;72135153;72154170;72210222;72320328;72429435
72646650;75100125;75180195;75308317;75560565;75936939;76357365;76720724
77264275;77420427;78104130;78160178;78504510;8084116;80150170;80192208
80315325;80396404;80798802;81108135;81360369;84112140;84135159;84187205
84245259;84288300;84437445;84585591;84880884;85132157;85204221;85720725
87116145;87416425;88105137;88165187;88234250;88480488;88966970;90120150
90216234;90400410;90672678;91312325;91588595;92525533;93124155;93476485
95168193;95228247;95900905;96110146;96128160;96180204;96247265;96280296
96378390;96572580;96765771;98336350;99132165;99168195;99440451;99540549
100105145;100240260;100495505;100621629.
以下是大于100的勾股数:
第223组:
102136170
第224组:
102280298
第225组:
102864870
第226组:
104153185
第227组:
104195221
第228组:
104330346
第229组:
104672680
第230组:
105140175
第231组:
105208233
第232组:
105252273
第233组:
105360375
第234组:
105608617
第235组:
105784791
第236组:
108144180
第237组:
108231255
第238组:
108315333
第239组:
108480492
第240组:
108725733
第241组:
108969975
第242组:
110264286
第243组:
110600610
第244组:
111148185
第245组:
111680689
第246组:
112180212
第247组:
112210238
第248组:
112384400
第249组:
112441455
第250组:
112780788
第251组:
114152190
第252组:
114352370
第253组:
115252277
第254组:
115276299
第255组:
116837845
第256组:
117156195
第257组:
117240267
第258组:
117520533
第259组:
117756765
第260组:
119120169
第261组:
119408425
第262组:
120126174
第263组:
120160200
第264组:
120182218
第265组:
120209241
第266组:
120225255
第267组:
120288312
第268组:
120350370
第269组:
120391409
第270组:
120442458
第271组:
120594606
第272组:
120715725
第273组:
120896904
第274组:
121660671
第275组:
123164205
第276组:
123836845
第277组:
124957965
第278组:
125300325
第279组:
126168210
第280组:
126432450
第281组:
126560574
第282组:
128240272
第283组:
128504520
第284组:
129172215
第285组:
129920929
第286组:
130144194
第287组:
130312338
第288组:
130840850
第289组:
132176220
第290组:
132224260
第291组:
132351375
第292组:
132385407
第293组:
132475493
第294组:
132720732
第295组:
133156205
第296组:
133456475
第297组:
135180225
第298组:
135324351
第299组:
135352377
第300组:
135600615
第301组:
136255289
第302组:
136273305
第303组:
136570586
第304组:
138184230
第305组:
138520538
第306组:
140147203
第307组:
140171221
第308组:
140225265
第309组:
140336364
第310组:
140480500
第311组:
140693707
第312组:
140975985
第313组:
141188235
第314组:
143780793
第315组:
143924935
第316组:
144165219
第317组:
144192240
第318组:
144270306
第319组:
144308340
第320组:
144420444
第321组:
144567585
第322组:
144640656
第323组:
144858870
第324组:
145348377
第325组:
145408433
第326组:
147196245
第327组:
147504525
第328组:
150200250
第329组:
150360390
第330组:
150616634
第331组:
152285323
第332组:
152345377
第333组:
152714730
第334组:
153204255
第335组:
153420447
第336组:
153680697
第337组:
154528550
第338组:
154840854
第339组:
155372403
第340组:
155468493
第341组:
156208260
第342组:
156320356
第343组:
156455481
第344组:
156495519
第345组:
156667685
第346组:
159212265
第347组:
160168232
第348组:
160231281
第349组:
160300340
第350组:
160384416
第351组:
160630650
第352组:
160792808
第353组:
161240289
第354组:
161552575
第355组:
162216270
第356组:
162720738
第357组:
165220275
第358组:
165280325
第359组:
165396429
第360组:
165532557
第361组:
165900915
第362组:
168224280
第363组:
168270318
第364组:
168315357
第365组:
168374410
第366组:
168425457
第367组:
168490518
第368组:
168576600
第369组:
168775793
第370组:
168874890
第371组:
170264314
第372组:
170408442
第373组:
171228285
第374组:
171528555
第375组:
171760779
第376组:
174232290
第377组:
174832850
第378组:
175288337
第379组:
175420455
第380组:
175600625
第381组:
176210274
第382组:
176330374
第383组:
176468500
第384组:
176693715
第385组:
176960976
第386组:
177236295
第387组:
180189261
第388组:
180240300
第389组:
180273327
第390组:
180299349
第391组:
180385425
第392组:
180432468
第393组:
180525555
第394组:
180663687
第395组:
180800820
第396组:
180891909
第397组:
182624650
第398组:
183244305
第399组:
184345391
第400组:
184513545
第401组:
185444481
第402组:
185672697
第403组:
186248310
第404组:
186952970
第405组:
189252315
第406组:
189340389
第407组:
189648675
第408组:
189840861
第409组:
190336386
第410组:
190456494
第411组:
192220292
第412组:
192256320
第413组:
192360408
第414组:
192494530
第415组:
192560592
第416组:
192756780
第417组:
195216291
第418组:
195260325
第419组:
195400445
第420组:
195468507
第421组:
195748773
第422组:
196315371
第423组:
196672700
第424组:
198264330
第425组:
198336390
第426组:
198880902
第427组:
200210290
第428组:
200375425
第429组:
200480520
第430组:
200609641
第431组:
201268335
第432组:
203396445
第433组:
203696725
第434组:
204253325
第435组:
204272340
第436组:
204560596
第437组:
204595629
第438组:
204855879
第439组:
205492533
第440组:
205828853
第441组:
207224305
第442组:
207276345
第443组:
207780807
第444组:
207920943
第445组:
208306370
第446组:
208390442
第447组:
208660692
第448组:
208819845
第449组:
210280350
第450组:
210416466
第451组:
210504546
第452组:
210720750
第453组:
213284355
第454组:
215516559
第455组:
215912937
第456组:
216288360
第457组:
216405459
第458组:
216462510
第459组:
216630666
第460组:
216713745
第461组:
216960984
第462组:
217456505
第463组:
217744775
第464组:
219292365
第465组:
220231319
第466组:
220459509
第467组:
220528572
第468组:
220585625
第469组:
222296370
第470组:
224360424
第471组:
224420476
第472组:
224768800
第473组:
224882910
第474组:
225272353
第475组:
225300375
第476组:
225540585
第477组:
225924951
第478组:
228304380
第479组:
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第5
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