数学建模试验报告-微分方程.doc
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数学建模试验报告(四)
学号
班级
问题:
(微分方程)
讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.
(1)若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比,说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时,国民平均收入才是增长的.
(2)作出k(x)和r(x)的示意图,分析人口激增会引起什么后果.
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问题的分析和假设:
问题分析:
人口增长与国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化,人均国民收入与人口增长成反比,与国民收入增长成正比。
总资金增长与人口增长都满足指数增长,由题意知:
国民平均收入与人口平均资金积累成正比,设此比例系数为a。
在国家统计局查询得:
2012年,我国大陆总人口数为134735万人,总资金(国生产总值)总量为47.1564万亿元,则a的值约为1。
问题假设:
为t时刻总资金积累量
为t时刻的人口数量
为t时刻国民平均收入量
为人口平均资金积累
k为总资金的相对增长率
r为人口的相对增长率
建模:
由分析及假设可列出如下方程:
一定时期后,增长的人口数量为:
;总资金增长量为;
由题意知:
由上述公式,微分得:
所以当k>r时,国民收入增加,即国民平均收入增加。
列微分方程如下:
求解的Matlab程序代码:
建立.M文件,lab4.m,如下:
functiondx=lab4(t,x)
dx=zeros(3,1);
k=0.093;
r=0.00479;
a=1;
dx
(1)=k*x
(1);
dx
(2)=r*x
(2);
dx(3)=a*(k-r)*x(3);
主程序:
[t,x]=ode45('lab4',[20112100],[134735471564000034999.37]);
figure
(1),plot(t,x(:
1),'k*')
xlabel('时间[年]'),ylabel('总资金积累量[亿元]')
figure
(2),plot(t,x(:
2),'m-')
holdon
xlabel('时间[年]'),ylabel('人口总数')
figure(3),plot(t,x(:
3),'r+')
holdon
xlabel('时间[年]'),ylabel('国民平均收入量')
计算结果与问题分析讨论:
由题意和模型分析知:
国民收入量呈指数增长,增长率为(k-r),则当k>r时,国民平均收入量才会呈现增长趋势。
总资金积累量随时间变化的图像:
人口总数随时间变化的图像:
国民收入量随时间变化的图像:
问题分析:
(1)由图像可以看出:
总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时,国民平均收入是增长的
(2)当人口激增时,在一定程度上,人口平均资金积累和国民平均收入都会减少,人们的生活水平会下降,国家应实施宏观调控,来控制人口增长,以保证人民的生活水平进一步提高。
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