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九年级下册教案doc
初三下册数学知识点总结
第一章直角三角形边的关系
一,锐角三角函数
1,正弦:
定义:
在RtAABC中,锐角ZA的放边与魁边的比叫做ZA的正弦,记作血A,即
.人ZA的对边
2,余弦:
定义:
在RtZABC中,锐角虫的邻边与斜边的比叫做虫的余弦,记作他韭,
即cosA=
ZA的邻边
斜边
3,正切:
定义:
在RtAABC'|>,锐角ZA的对边与邻边的比叫做ZA的正切,记作tanA,
4,余切:
定义:
在RtAABC^,锐角ZA的邻边少对.边的比叫做ZA的余切,记作ggtA,即
cotA=
★①tanA是一个完整的符号,它表示ZA的正切,记号里习惯省去角的符号2”;
2kmA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中ZA的对边与邻边的比;
3tanA不表示“tarT乘以“A”;
4初中阶段,我们只学习直角三角形小,ZA是锐角的正切;
5(anA的值越大,梯子越陡,ZA越大;ZA越大,梯子越陡,tanA的值越大。
★—个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
(通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:
一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:
若ZA为锐角,则
★利用特殊角的三角函数值表,可以看出,
(1)当角度在0°〜90°间变化吋,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0WsinciWl,OWcosciWl。
※同角的三角函数间的关系:
倒数关系:
商的关系:
平方关系:
tgCl•CtgU=1o
sinacosa
tga=,ctga=—
cosasince
an2Q+cos2Q=1.
二,仰角,俯角
1,仰角:
当从低处观测高处的目标时,
2,俯角:
当从高处观测低处的目标时,
h
3,坡角:
如图2,坡而与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。
用字母i表示,即/=y=tanA
I
4,方位角:
从某点的指北方向按顺吋针转到F1标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,0A、OB、0C的方位角分别为45°、135°、225°。
5,方向角:
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
如图4,0A、OB、0C、0D的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏四为60°,北偏四60°o
三,解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。
1,解直角三角形:
由肯角三角形屮除肓•角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三和形。
2,边角关系:
在AABC中,ZC为直角,ZA、ZB、ZC所对的边分別为a、b、c,则有
(1)三边之间的关系:
a2+b2=c2;
(2)两锐角的关系:
ZA+ZB=90°;
(3)边与角之间的关系:
sinA=
a
9c
cosA,
c
.a
tanA=—,b
4DcotA=—;
a
h
a
h
a
sinB=
COSO=—,
tanB=
cotB=-
(4)面积公式:
Sa=」ab==ch(入为C边上的高);
22
(5)直介三角形的内切圆半径r=a+h~c
2
(6)直角三角形的外接圆半径R=-c
2
三,解直角三角形的几种基本类型列表如下:
已知条件
解法
两条边
两条直角边&和b
c=7a2+b2,tgA=:
B=90°-A
b
一条直角边8和斜边C
b=7c2-a2sinA=—,c
B=90°
一条边和一个锐角
一条直角边8和锐角A
B=90°-A,c=亠,anA
b=a•etgA
斜边C和锐角A
B=90°4■a=c■sinA>
b=c■cosA
第二章二次函数一,二次函数的概念:
1,二次函数的定义:
形如y=ax'+Z?
x+c(d、b、c是常数,dHO)的函数,叫做x的二次函数。
自变量的取值范围是全体实数。
★在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,
并确定自变量的取值范围。
二,y=ax2(a^O)是二次函数的特例,此吋常数b二c=0.
★二次函数y=ax?
的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
1函数的取值范围是全体实数;
2抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)o
3当a>0时,抛物线开口向上,并月•向上方无限伸展。
当aVO时,抛物线开口向卜,并且向卜•方无限伸展。
4函数的增减性:
A、当a>0时]
SO时,y随兀增大而减小;>0时,y随兀增大而增大.
x
5当丨aI越人,抛物线开口越小;
当丨a丨越小,抛物线的开口越大。
6最大值或最小值:
当a>0,fLx=0时函数冇最小值,最小值是0;
当a<0,且x=0时函数有最人值,最犬值是0。
三,二次函数y=ax?
+c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
h
1二次函数y=d兀2+bx+c的图彖是以%二为对称轴,
2a
b4ac—b~
2顶点在(-匕,)的抛物线。
(开口方向和大小由a來决定)
2a4a
3bl的越人,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;lai的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越慢。
4二次两数y=ax2+c的图象屮,
a的符号决定抛物线的开口方向,
lai决定抛物线的开口程度人小,
c决泄抛物线的顶点位査,即抛物线位置的高低。
四,二次函数y=ax2+/?
x+c的性质:
二次函数y=ax2+bx+c
1对称轴:
x=-—
2a
2顶点坐标:
(丄,仏")
2d4a
3增减性:
若a〉0,则当x<———时,y随x的增大而减小;2a
当X>-A吋,y随x的增大而增大。
2a
若乳0,则当x<-A时,y随x的增人而增人;
2a
当x>-—时,y随x的增大而减小。
2a
五,二次函数的平移:
1
将y=ax2+Z?
x+c配方成y=。
(兀一力)2+k的形式;
2把抛物线y=ax2向右(h>0)或向左(hvO)平移Ihl个单位,得到y=a(x-h)2的图象;
3再把抛物线y=a(x-h)2向上(k>0)或向下(kvO)平移Ikl个单位,便得到
y=a(x-h)2+k的图象。
★自变量x左加右减应变量y上加下减
六,画二次函数y=ax2-^-bx+c的图象:
1,我们可以利用它与函数y=的关系,平移抛物线而得到,
2,但往往我们采用简化了的描点法■…五点法来画二次函数来画二次函数的图象,其步骤如下:
1先找出顶点(丄,w),画出对称轴x=-A.
2a4a2a
2找出图彖上关于直线x=-A对称的四个点(如与坐标的交点等);
2a
3把上述五点连成光滑的曲线。
七,图象与x轴交点和一元二次方程根的关系:
1,二次函数y=ax2^bx+c的图彖(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标",x?
是对应一
元二次方程d/+加+c=0的两个实数根
2,抛物线与x轴的交点情况町以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
b2-4ac>0<===>抛物线与x轴有2个交点;
h2-4ac=0<===>抛物线与x轴冇1个交点;
b~-4ac<0<===>抛物线与x轴有0个交点(无交点);
3,当b2-4ac>0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:
IAB1=1X)+X2\=J(%2—兀1)2=J(X[+兀2)2_4尢1兀2
化简后即为:
IAB\=^b2~4ac(b2-4ac>0)这就是抛物线与X轴的两交点Z
IaI
间的距离公式。
八,最值问题:
1,根据顶点式可得
2,二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得,
3,可以借助图彖观察。
★解决最人(小)值问题的基木思路是:
1理解问题;
2分析问题中的变量和常屋,以及它们Z间的关系;
3用数学的方式表示它们之间的关系;
4做数学求解;
5检验结果的合理性、拓展性等。
第三章圆
1.圆的定义:
1,描述性定义:
在一个平面内,线段0A绕它固定的一个端点O旋转一周,另一•个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径;以点0为圆心的圆,记作00,读作“鬪0”
2,集合性定义:
圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其屮定点叫做圆心,定
长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。
3,对圆的定义的理解:
①圆是一条封闭111J线,不是圆而;
②圆由两个条件唯一确定:
一是圆心(即定点),二是半径(即定长)
2.与圆相关的概念:
1弦和直径:
弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
肓径:
经过圆心的弦叫做肓径。
2弧、半圆、优弧、劣弧:
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“一”表示,以CD为端点的弧记为“三方”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆:
直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。
优弧:
大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧:
小于半圆的弧叫做劣弧。
(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。
)
3弓形:
弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
4同心圆:
圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。
5等圆:
能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
6等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
7圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角.
8弦心距:
从圆心到弦的距离叫做弦心距.
★垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:
平分弦(不是宜径)的直径垂肓于弦,并且平分弦所对的两条弧。
说明:
根据垂径定理与推论可知对于一•个圆和一条直线來说,如果具备:
1过圆心;②垂直于弦:
③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
★定理:
在同圆或等圆屮,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:
在同圆或等圆中,如果两个圜心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中冇一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三,圆的对称性:
1,圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
2,圆是屮心对称图形,对称屮心是圆心。
3.圆周角和圆心角的关系:
探1・1°的弧的概念:
把顶点在圆心的周角等分成360份吋,每-•份的角都是1。
的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
探2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的型度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成
ZAOB=庖这是错误的.
給圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※心圆周角定理:
—•条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;反Z,在同鬪或等鬪中,相等鬪周角所对的弧也相等;
※推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所対的弦是直径;
二,点与圆的位置关系及其数量特征:
如果圆的半径为「点到圆心的距离为d,则
1点在圆上<===>d=r;
2点在圆内<===>d 3点在圆外<===>d>r. 其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这儿个点 与一个定点、的距离相等。 ※四.确定圆的条件: 探1.理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的人小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 探2・经过三点作圆要分两种情况: (1)经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. ※定理: 不在同一肓线上的三个点确定一个圆. 探3.三角形的外接圆、三角形的外心、鬪的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆利圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三介形的外心的性质: 三介形外心到三顶点的距离相等. 5.直线与圆的位置关系 探1.直线和圆相交、相切相离的定义: ⑴相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线. ⑵相切: 宜线和圆有怖一公共点时,叫做宜线和圆和切,这时肓线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. ⑶相离: 直线和圆没有公共点吋,叫做直线和圆相离. 探2.直线与圆的位置关系的数量特征: 设。 0的半径为r,圆心0到直线的距离为d; ®d 2d=r<===>直线L和<30相切. 3d>r<===>直线L和<30相离. 探3.切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※厶切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1经过圆心且垂肓于切线的肓线必经过切点. ※推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. ※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如卜•结论: 如果一条直线具备下列三个条件屮的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线;②过切点;③过圆心. 探5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 探6.三角形内心的性质: ⑴三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 6.圆和圆的位置关系. 探1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义. ⑴外离: 两个圆没冇公共点拼H•每个圆上的点都在期一个圆的外部时,叫做这两个圆外离. ⑵外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交. (4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一•个圆上的都在另一个圆的内部 时,叫做这两个圆内切•这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含. 两圆同心是两圆内的一个特例. 探2.两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离<===>d>R+r (2)两圆外切<===>d=R+r (3)两圆和交v===>R-rvdvR+「(RMr) (4)两圆内切<===>d=R-r(R>r) (5)两圆内含<===>d 組相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.※厶相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7.弧长及扇形的面积 探1.圆周长公式: 圆周长C=2龙R(R表示圆的半径) 探2.弧长公式: 弧长[=怛(R表示圆的半径,n表示弧所对的関心角的度数) 180 探3.扇形定义: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.※彳弓形定义: rti弦及其所对的弧纽成的图形叫做弓形. 弓形弧的屮点到弦的距离叫做弓形高. ※厶.圆的面积公式. 圆的而积S=7iR(R表示圆的半径) ※点.扇形的而积公式: 2 扇形的面积Sep=也_(R表示圆的半径,n表示弧所対的圆心角的度数) 皿360 =—cl=—•2m'l=tttI 22 S表=S侧+S底面=mi十加2=7cr(r+1) QJl.与圆有关的辅助线 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线. 2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角. 3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线. 4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. 。 十.圆内接四边形 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 闘内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. ※十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理A 1.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和笔丁爲邈平分两条切线的夹角。 / 如图6,VPA,PB分别切。 0于A、B 一_4_ ・・・PA=PB,PO平分ZAPB r 2.弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 推论: 如果两个弦切介所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。 如图7,CD切<30于C,贝ij,ZACD=ZB图6 3.和圆有关的比例线段: 1相交弦定理: 圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等; 2推论: 如果弦与肓径垂肓相交,那么弦的一半是它分肓径所成的两条线段的比例屮项。 如图8,AP・PB二CP・PD 如图9,若CD丄AB于P,AB为<30直径,则CP2=AP*PB 4.切割线定理 1切割线定理,从圆外一点引I员I的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项; 2推论: 从圆外一点引鬪的两条割线,这一点到每条割线与鬪的交点的两条线段氏的积相等。 如图10,①PT切OO于T,PA是割线,点A、B是它与OO的交点,则PT2=PA*PB②PA、PC是00的两条割线,则PD・PC=PB・PA 5.两圆连心线的性质 1如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,或者说,连心线过切点。 2如果两圆和交,那么连心线垂直平分两圆的公共眩。 如图11,OOi与002交于A、B两点,则连心线01。 2丄AB且AC=BCo 6.两圆的公切线 两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。 如图12,AB分别切00|与002于A、B,连结0】A,02B,过O2作O2C丄0]A于C, 公切线长为/,两圆的圆心距为d,半径分别为/? r则外公切线长: 如图13,AB分别切OO|与Of)? 于A、B,O2C//AB,O2C丄O|C于C,G>0]半径为 R,(DO? 半径为r,则内公切线氏: L=Jd2_(R+r)2 次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果打理论值相等,这就是“随机事件”的特点・三.游戏公平吗? 1.游戏的公平性是指游戏双方各有5()%贏的机会,或者游戏多方赢的机会相等. 2.表示一个事件发生的可能性人小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在()与 1之间. 3.概率的预测的计算方法: 某事件A发生的概率: 事件A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 4.用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点: (1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果; (2)要弄清楚所冇机会均等的结果. (注: ※表示重点部分;。 表示了解部分;◎表示仅供参阅部分;)
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