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简易逻辑
简易逻辑
简易逻辑
1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.
2.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题,形成良好的思维品质;学会判断和推理,解决简易逻辑问题,培养逻辑思维能力..简易逻辑是一个新增内容,据其内容的特点,在高考中应一般在选择题、填空题中出现,如果在解答题中出现,则只会是中低档题.
2.集合、简易逻辑知识,作为一种数学工具,在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用,高考题中常以上面内容为载体,以集合的语言为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现.
第1课时逻辑联结词和四种命题
一、逻辑联结词
1.可以的语句叫做命题.命题由两部分构成;
命题有之分;数学中的定义、公理、定理等都是命题.
2.逻辑联结词有,不含的命题是简单命题.
由的命题是复合命题.复合命题的构成形式有三种:
,(其中p,q都是简单命题).
3.判断复合命题的真假的方法—真值表:
“非p”形式的复合命题真假与p的当p与q都真时,p且q形式的复合命题,其他情形;当p与q都时,“p或q”复合形式的命题为假,其他情形.
二、四种命题
1.四种命题:
原命题:
若p则q;逆命题:
、否命题:
逆否命题:
.
2.四种命题的关系:
原命题为真,它的逆命题、否命题、逆否命题.原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同.
3.反证法:
欲证“若p则q”为真命题,从否定其出发,经过正确的逻辑推理导出矛盾,从而判定原命题为真,这样的方法称为反证法.
例1.下列各组命题中,满足“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真的是()
A.p:
0=;q:
0∈
B.p:
在ABC中,若cos2A=cos2B,则A=B;y=sinx在第一象限是增函数
C.;不等式的解集为
D.p:
圆的面积被直线平分;q:
椭圆的一条准线方程是x=4
解:
由已知条件,知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假,排除;选项(B)中,
命题p真而命题q假,排除;选项(D)中,命题p和命题q都为真,排除;故选(C).
变式训练1:
如果命题“p或q”是真命题,“p且q”是假命题.那么()
A.命题p和命题q都是假命题
B.命题p和命题q都是真命题
C.命题p和命题“非q”真值不同
D.命题q和命题p的真值不同
解:
D
例2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:
(1)若q1,则方程x2+2x+q=0有实根;
(2)若ab=0,则a=0或b=0;
(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.
解:
(1)逆命题:
若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:
若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.逆否命题:
若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,为真命题.
(2)逆命题:
若a=0或b=0,则ab=0,为真命题.
否命题:
若ab≠0,则a≠0且b≠0,为真命题.
逆否命题:
若a≠0且b≠0,则ab≠0,为真命题.
(3)逆命题:
若x、y全为零,则x2+y2=0,为真命题.
否命题:
若x2+y2≠0,则x、y不全为零,为真命题.
逆否命题:
若x、y不全为零,则x2+y2≠0,为真命题.
变式训练2:
写出下列命题的否命题,并判断原命题及否命题的真假:
?
(1)如果一个三角形的三条边都相等,那么这个三角形的三个角都相等;?
(2)矩形的对角线互相平分且相等;?
(3)相似三角形一定是全等三角形.?
解:
(1)否命题是:
“如果一个三角形的三条边不都相等,那么这个三角形的三个角也不都相等”.?
原命题为真命题,否命题也为真命题.?
(2)否命题是:
“如果四边形不是矩形,那么对角线不互相平分或不相等”?
原命题是真命题,否命题是假命题.?
(3)否命题是:
“不相似的三角形一定不是全等三角形”.?
原命题是假命题,否命题是真命题.
例3.已知p:
有两个不等的负根,q:
无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
分析:
由p或q为真,知p、q必有其一为真,由p且q为假,知p、q必有一个为假,所以,“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件,再分类讨论.
解:
p:
有两个不等的负根.
q:
无实根.
因为p或q为真,p且q为假,所以p与q的真值相反.
(ⅰ)当p真且q假时,有;
(ⅱ)当p假且q真时,有.
综合,得的取值范围是{或}.
变式训练3:
已知a0,设命题p:
函数y=ax在R上单调递减,q:
不等式x+|x-2a|1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题,求a的取值范围.
解:
由函数y=ax在R上单调递减知0a1,所以命题p为真命题时a的取值范围是0a1,令y=x+|x-2a|,
则y=不等式x+|x-2a|1的解集为R,只要ymin1即可,而函数y在R上的最小值为2a,所以2a1,即a即q真a若p真q假,则0a≤若p假q真,则a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0a≤或a≥1.
例4.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:
a、b、c中至少有一个大于0.
证明:
假设都不大于0,即,则
而
=
,.
相矛盾.因此中至少有一个大于0.
变式训练4:
已知下列三个方程:
①x2+4ax-4a+3=0,②x2+(a-1)x+a2=0,③x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.
解:
设已知的三个方程都没有实根.
则
解得.
故所求a的取值范围是a≥-1或a≤-.
1.有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中,字面上未出现“或”与“且”字,此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.
2.当一个命题直接证明出现困难时,通常采用间接证明法,反证法就是一种间接证法.
3.反证法的第一步为否定结论,需要掌握常用词语的否定(如“至少”等),而且推理过程中,一定要把否定的结论当条件用,从而推出矛盾.用反证法证明命题的一般步骤为:
(1)假设命题的结论不成立,即假设命题结论的反面成立;
(2)从这个假设出发,经过正确的推理论证得出矛盾;(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定所证命题正确.
第2课时充要条件
1.充分条件:
如果则p叫做q的条件,q叫做p的条件.
2.必要条件:
如果则p叫做q的条件,q叫做p的条件.
3.充要条件:
如果且则p叫做q的条件.
例1.在下列各题中,判断A是B的什么条件,并说明理由.
1.A:
,B:
方程有实根;
2.A:
,B:
;
3.A:
;B:
;
4.A:
圆与直线相切,B:
分析:
要判断A是B的什么条件,只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可.
解:
(1)当,取,则方程无实根;若方程有实根,则由推出或6,由此可推出.所以A是B的必要非充分条件.
(2)若则
所以成立
若成立取,知不一定成立,
故A是B的充分不必要条件.
(3)由,由解得,所以A推不出B,但B可以推出A,故A是B的必要非充分条件.
(4)直线与圆相切圆(0,0)到直线的距离,即==.所以A是B的充要条件.
变式训练1:
指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).?
(1)在△ABC中,p:
∠A=∠B,q:
sinA=sinB;?
(2)对于实数x、y,p:
x+y≠8,q:
x≠2或y≠6;?
(3)非空集合A、B中,p:
x∈A∪B,q:
x∈B;?
?
(4)已知x、y∈R,p:
(x-1)2+(y-2)2=0,q:
(x-1)(y-2)=0.?
解:
(1)在△ABC中,∠A=∠BsinA=sinB,反之,若sinA=sinB,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.?
(2)易知:
p:
x+y=8,q:
x=2且y=6,显然qp.但pq,即q是p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.?
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.?
(4)条件p:
x=1且y=2,条件q:
x=1或y=2,?
所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.?
例2.已知p:
-2<m<0,0<n<1;q:
关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根,试分析p是q的什么条件.
解:
若方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根,设为x1、x2.
则0<x1<1、0<x2<1,∵x1+x2=-m,x1x2=n
∴0<-m<2,0<n<1∴-2<m<0,0<n<1
∴p是q的必要条件.
又若-2<m<0,0<n<1,不妨设m=-1,n=.
则方程为x2-x+=0,∵△=(-1)2-4×=-1<0.∴方程无实根∴p是q的非充分条件.
综上所述,p是q的必要非充分条件.
变式训练2:
证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.?
证明:
充分性:
若ac0,则b2-4ac0,且0,?
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负根.?
必要性:
若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,则=b2-4ac0,x1x2=0,∴ac0.
综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.
例3.已知p:
|1-|≤2,q:
:
x2-2x+1-m2≤0(m0),若是的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
解:
由题意知:
命题:
若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:
p是q的充分不必要条:
|1-|≤2-2≤-1≤2-1≤≤3-2≤x≤10
q:
x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0*
∵p是q的充分不必要条件,
∴不等式|1-|≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m0)解集的子集.
又∵m0,∴不等式*的解集为1-m≤x≤1+m
∴,∴m≥9,
∴实数m的取值范围是[9,+∞
变式训练3:
已知集合和集合,求a的一个取值范围,使它成为的一个必要不充分条件.
解:
,
由
所以是必要但不充分条件.说明:
此题答案不唯一.
例4.“函数y=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方”,这个结论成立的充分必要条件是什么?
解:
函数的图象全在轴上方,若是一次函数,则
若函数是二次函数,则:
反之若,由以上推导,函数的图象在轴上方,综上,充要条件是.
变式训练4:
已知P={x||x-1||2},S={x|x2+,的充要条件是,求实数的取值范围.
分析:
的充要条件是,即任取,反过来,任取
据此可求得的值.
解:
的充要条件是
∵P={x||x-1|>2}}=
S={x|x2+(a+1)x+a>0)}={x|(x+a)(x+1)>0}
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论,然后才能进行推理和判断.不仅要深刻理解充分、必要条件的概念,而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念.
2.确定条件为不充分或不必要的条件时,常用构造反例的方法来说明.
3.等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一,特别是对于否定的命题,常通过它的等价命题,即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系.
4.对于充要条件的证明题,既要证明充分性,又要证明必要性,从命题角度出发,证原命题为真,逆命题也为真;求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)而得到,也可以从结论推导必要条件,再说明具有充分性.
5.对一个命题而言,使结论成立的充分条件可能不止一个,必要条件也可能不止一个.
简易逻辑章节测试题
一、选择题
1.设集合的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的()
?
A.充分不必要条件B.必要不充分条件?
?
C.充要条件?
D.既不充分也不必要条件?
3.(2009合肥模拟)已知条件p:
(x+1)24,条件q:
xa,且的充分而不必要条件,则a的取值范围是()
A.a≥1B.a≤1?
C.a≥-3?
D.a≤-3?
?
4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()
A.充分而不必要条件?
B.必要而不充分条件?
C.充分必要条件?
D.既不充分也不必要条件?
5.设集合M={x|x2},P={x|x3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的()
?
A.充分不必要条件B.必要不充分条件?
充要条件D.既不充分也不必要条件?
6.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是()
7.(2008浙江理,3)已知a,b都是实数,那么“a2b2”是“ab”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条充分必要条件D.既不充分也不必要条(2008北京海淀模拟)若集合A={1,m2},集合B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件?
C.充分必要条件?
D.既不充分也不必要条件?
9.若数列{an}满足=p(p为正常数,n∈N*),则称{an}为“等方比数列”.?
甲:
数列{an}是等方比数列;?
乙:
数列{an}是等比数列,则()
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件?
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件?
C.甲是乙的充要条件?
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件?
10.命题p:
若a、bR,则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件.命题q:
函数y=的定义域是,则()
A.“p或q”为假B.“p且q”为真
C.p真q假D.p假q真
二、填空题
11.已知数列,那么“对任意的n∈N*,点都在直线上”是“为等差数列”的条件.
12.设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b},若A∩B={2},则A∪B已知条件p:
|x+1|2,条件q:
5x-6x2,则非p是非q的条件.?
不等式|x|a的一个充分条件为0x1,则a的取值范围为.?
已知下列四个命题:
①a是正数;②b是负数;③a+b是负数;④ab是非正数.
选择其中两个作为题设,一个作为结论,写出一个逆否命题是真命题的复合命题.
三、解答题
16.设命题p:
(4x-3)2≤1;命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.?
.求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.?
18.设p:
实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0;q:
实数x满足x2-x-6≤0,或x2+2x-8>0,且的必要不充分条件,求a的取值范围.?
.
(1)是否存在实数p,使“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件?
如果存在,求出p的取值范围;
(2)是否存在实数p,使“4x+p0”是“x2-x-20”的必要条件?
如果存在,求出p的取值范围.
20.已知,设函数在R上单调递减,:
不等式的解集为R,如果和有且仅有一个正确,求c的取值范围.
简易逻辑章节测试题答案
1.B
2.A?
?
A?
?
?
?
5.B?
?
6.B?
?
D
8.A?
?
9.B?
?
10.D
11.充分而不必要条件
12.{1,2,5}?
充分不必要?
a≥1?
若①③则②(或若①②则④或若①③则④)
16.解设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},?
易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.?
由p是q的必要不充分条件,从而p是q的充分不必要条件,即AB,∴
故所求实数a的取值范围是[0,].解方法一若a=0,则方程变为-x+1=0,x=1满足条件,若a≠0,则方程至少有一个正根等价于?
?
或
或-1a0或a0.?
综上:
方程至少有一正根的充要条件是a-1.?
方法二若a=0,则方程即为-x+1=0,?
∴x=1满足条件;?
若a≠0,∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)?
=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0,∴方程一定有两个实根.?
故而当方程没有正根时,应有解得a≤-1,
∴至少有一正根时应满足a-1且a≠0,综上:
方程有一正根的充要条件是a-.解设A={x|p}={x|x2-4ax+3a20,a0}={x|3axa,a0},?
B={x|q}={x|x2-x-6≤0或x2+2x-80}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-80}?
={x|-2≤x≤3}∪{x|x-4或x2}=
方法一∵的必要不充分条件,∴则而RB==RA∴
则综上可得-
方法二由p是q的必要不充分条件,
∴p是q的充分不必要条件,
∴AB,∴a≤-4或3a≥-2,又∵a0,∴a≤-4或-≤a0.解
(1)当x2或x-1时,x2-x-20,由4x+p0,得x-故-≤-1时,
“x-”“x-1”“x2-x-20”.∴p≥4时,“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件.
(2)不存在实数p满足题设要求.
20.解:
函数在R上单调递减
不等式的解集为函数
,在R上恒大于1
函数在上的最小值为
不等式的解集为R
,如果p正确,且q不正确
则,如果p不正确,且q正确,则,所以c的取值范围为.
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