高中数学知识点总结大全文科.docx
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高中数学知识点总结大全文科
高中数学知识点总结
第一章——集合与简易逻辑集合——知识点归纳定义:
一组对象的全体形成一个集合特征:
表示法:
列举法{1,2,3,„}、描述法{x|P}
分类:
有限集、无限集数集:
自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ关系:
属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等=运算:
交运算A∩B={x|x∈A且x∈B};
并运算A∪B={x|x∈A或x∈B};
补运算CUA={x|xA且x∈U},U为全集
性质:
AA;φA;若AB,BC,则AC;
A∩A=A∪A=A;A∩φ=φ;A∪φ=A;
A∩B=AA∪B=BAB;
A∩CUA=φ;A∪CUA=I;CU(CUA)=A;
CU(AB)=(CUA)∩(CU方法:
韦恩示意图,数轴分析注意:
①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
②AB时,A有两种情况:
A=φ与A≠φ③若集合A中有n(nN)个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2n,所有真子集的个数是2-1,所有非空真子集的个数是22nn
④区分集合中元素的形式:
如A{x|yx22x1};B{y|yx22x1};C{(x,y)|yx22x1};D{x|xx22x1};E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ};
yF{(x,y’)|yx22x1};G{z|yx22x1,z}x
⑤空集是指不含任何元素的集合{0}、和{}的区别;0与三者间的关系空集是任何集
1
⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系;符号“Ø,”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系绝对值不等式——知识点归纳1绝对值不等式xa与xa(a0)型不等式axbc与axbc(c0)型不等式的解法与解集:
不等式xa(a0)的解集是xaxa;不等式xa(a0)的解集是xxa,或xa不等式axbc(c0)的解集为x|caxbc(c0);不等式axbc(c0)的解集为x|axbc,或axbc(c0)2解一元一次不等式axb(a0)
①a0,xx
ba0,②xxaba
3韦达定理:
方程axbxc0(a0)的二实根为x1、x2,2
bxx212a则b4ac0且cx1x2a
0①两个正根,则需满足x1x20,
xx012
0②两个负根,则需满足x1x20,
xx012
0③一正根和一负根,则需满足xx012
42
22对于一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0,设相应的一元二次方程
ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2,b24ac,则不等式的解的各种情况如下表:
方程的根→函数草图→观察得解,对于a0的情况可以化为a0的情况解决注意:
含参数的不等式ax2+bx+c>0恒成立问题含参不等式ax2+bx+c>0的解集是R;其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况简易逻辑——知识点归纳命题可以判断真假的语句;
逻辑联结词或、且、非;
简单命题不含逻辑联结词的命题;
复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题
三种形式p或q、p且q、非p
真假判断p或q,同假为假,否则为真;
p且q,同真为真,否则为假;
非p,真假相反
原命题若p则q;逆命题若q则p;若p则q;若q则p;
3
反证法步骤充要条件条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充分条件,
结论q成立条件p成立,则称条件p是结论q的必要条件,
条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充要条件,
第二章——函数函数定义——知识点归纳1函数的定义:
设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域2两个函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同3映射的定义:
一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:
A→由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解:
(1)A中每一个元素都有象;
(2)B中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;(3)A中每一个元素的象唯一1函数的三种表示法
(1)解析法:
就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式
(2)列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系
(3)图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系2求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:
待定系数法;
4
(2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x):
换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解例1
(1)已知f(x)x31
x1,求f(x);3x
(2)已知f
(1)lgx,求f(x);
(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x);2x
1
x
111313解:
(1)∵f(x)x3(x)3(x),xxxx(4)已知f(x)满足2f(x)f()3x,求f(x)∴f(x)x3x(x2或x2)3
2,1t(t1)x
222则x,∴f(t)lg,∴f(x)lg(xt1t1x1
(2)令
(3)设f(x)axb(a0),
则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b
axb5a2x17,
∴a2,b7,∴f(x)2x(4)2f(x)f()3x①,1
x113,得2f()f(x)②,xxx
3①2②得3f(x)6x,∴f(x)2xx把①中的x换成
注:
第
(1)题用配凑法;第
(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法定义域和值域——知识点归纳5
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练1求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:
待定系数法;
(2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x):
换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)外还有其他未知量,需构造另个等式:
解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2求函数定义域一般有三类问题:
(1)给出函数解析式的:
函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)实际问题:
函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;
(3)已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域:
①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域;②若已知f(x)的定义域a,b,其复合函数fg(x)的定义域应由ag(x)b解出3求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的
(1)求常见函数值域;
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运①直接法:
利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数yk(k0)的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};x
二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R,
2(4acb)};当a>0时,值域为{y|y4a
2(4acb)}当a<0时,值域为{y|y4a
6
②配方法:
转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:
f(x)ax2bxc,x(m,n)的形式;③分式转化法(或改为“分离常数法”)④换元法:
通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;⑤三角有界法:
转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式法:
转化成型如:
yxk利用平均值不等式公式来求值域;(k0),x
⑦单调性法:
函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域⑧数形结合:
根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法(反求法):
通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,得出y的取值范围;常用来解,型如:
y
单调性——知识点归纳axb,x(m,n)cxd
1函数单调性的定义:
2证明函数单调性的一般方法:
①定义法:
设x1,x2A且x1x2;作差f(x1)f(x2)(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号②用导数证明:
若f(x)在某个区间A内有导数,则f(x)0,(xA)
’
3求单调区间的方法:
定义法、导数法、图象法4复合函数yfg(x)在公共定义域上的单调性:
①若f与g的单调性相同,则fg(x)为增函数;
注意:
先求定义域,单调区间是定义域的子集5
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
7
增函数f(x)增函数g(x)是增函数;
减函数f(x)减函数g(x)是减函数;
增函数f(x)减函数g(x)是增函数;
奇偶性——知识点归纳
(1)定义域关于原点对称;
(2)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;3f(x)为偶函数f(x)f(|x|)4f(x)的定义域包含0,则f(0)5使定义域不受影响;
67判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
f(x)f(x)0,f(x)f(x)
8设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇1形式:
f(x)=f(x)f(x)f(x)=0;
230,则f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;4y轴对称,因此根据图象的对称性可以判
8
断函数的奇偶性5T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期反函数——知识点归纳1反函数存在的条件:
从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;2定义域、值域:
反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若yf(x)与yf1(x)互为反函数,函数yf(x)的定义域为A、值域为B,则
x(xB)f[f(x)]x(xA);,1f[f1(x)]
3单调性、图象:
互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于yx对4求反函数的一般方法:
(1)由yf(x)解出xf11(y),
(2)将xf(y)中的x,y互换位置,得
二次函数——知识点归纳二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
1二次函数的图象及性质:
二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x2b,2a
b4acb2
顶点坐标是2a4a
用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法
)有三种形式,即f(x)axbxc(一般式),f(x)a(xx1)(xx2(零点式)和
f(x)a(xm)2n2
3根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:
令f(x)=ax2+bx+c(a>0)
9
00
(1)x1<α,x2<α,则b/(2a);
(2)x1>α,x2>α,则b/(2a)
af()0af()0
00f()0(3)α<x1<,α<x2<,则(4)x1<α,x2>(α<),则f()0
f()0f()0b/(2a)
(5)若f(x)=0在区间(α,)2的符号;③对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:
①0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
②0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为(,)()或者是(,)(,)指数对数函数——知识点归纳1根式的运算性质:
①当n为任意正整数时,(a)n=a②当n为奇数时,a=a;当n为偶数时,a=|a|=
npnna(a0)a(a0)⑬根式的基本性质:
ampam,(a0)2分数指数幂的运算性质:
10
amanamn(m,nQ)
(am)namn(m,nQ)(ab)nanbn(nQ)
3ya(a0且a1)
x
4指数式与对数式的互化:
aNlogaNbb5重要公式:
loga10,logaa对数恒等式alogaNN6对数的运算法则
如果a0,a1,N0,M0有
loga(MN)logaMlogaN
MlogaMlogaNN
mloganMmlogaMnloga
7对数换底公式:
logaNlogmN(a>0,a1,m>0,mlogma
8两个常用的推论:
①logablogba1,logablogbclogca1②logambnnlogab(a,b>0且均不为1m
9对数函数的性质:
11
ya与对数函数ylogax互为反函数x
11指数方程和对数方程主要有以下几种类型:
(1)af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;(定义法)
(2)af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0(转化法)
(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)
(4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)
函数图象变换——知识点归纳1作图方法:
描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:
①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象
2三种图象变换:
平移变换、对称变换和伸缩变换等等;
3识图:
分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换:
(1)水平平移:
函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到;
12
(2)竖直平移:
函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可得到
①y=f(x)y=f(x+h);②y=f(x)y=f(xh);
③y=f(x)y=f(x)+h;④y=f(x)y=f(x)h
左移h右移h上移h下移h
到;
(2)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到;
(3)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到;
①y=f(x)
x轴y轴y=f(x);②y=f(x)y=f(x);直线xa
③y=f(x)y=f(2ax);④y=f(x)直线yxy=f1(x);
原点
⑤y=f(x)y=
f(x)翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留yf(x)的x轴上方部分即可得到;
(2)函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(
x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代
1)函数yaf(x)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点横
13
坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩(0a1)为原来的a倍得到;
(2)函数yf(ax)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a1)或压缩(0a1)为原来的
x1倍得到a①y=f(x)y=f(x);②y=f(x)y=ωy
数列定义——知识点归纳
(1)一般形式:
a1,a2,,an
(2)通项公式:
anf(n)
(3)前n项和:
Sna1a2an及数列的通项an与前n项和Sn的关系:
(n1)S1Sna1a2ananSS(n2)n1n
等差数列——知识点归纳
1等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示2等差数列的判定方法:
②定义法:
对于数列an,若an1and(常数),则数列an③等差中项:
对于数列an,若2an1anan2,则数列an是等差数列3等差数列的通项公式:
④如果等差数列an的首项是a1,公差是d,则等差数列的通项为ana1(n1)d该公式整理后是关于n的一次函数4等差数列的前n项和:
⑤Snn(a1an)n(n1)⑥Snna1d22
对于公式2整理后是关于n5等差中项:
⑥如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项即:
Aab或2
2Aab
14
在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5等差数列的性质:
如果an是等差数列的第n项,am是等差数列的第m项,且mn,公差为d,则有anam(nm)d
⑧对于等差数列an,若nmpq,则anamapaq也就是:
a1ana2an1a3an2
Sn是其前n项的和,⑨若数列an是等差数列,那么Sk,S2kSk,S3kS2kkN,*
S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k
SkS2kSkS3kS2k
6奇数项和与偶数项和的关系:
⑩设数列an是等差数列,S奇是奇数项的和,
项的和,则有如下性质:
前n项的和SnS偶是偶数项项的和,Sn是前nS奇S偶
nd,其中d为公差;2
22当n为偶数时,S偶S奇当nn1n1SSaSaSa中,奇偶中,奇为奇数时,则中,偶
S奇S偶n1Snn(其中a是等差数列的中间一项),中n1S奇S偶S奇S偶S奇S偶
7前n项和与通项的关系:
⑾若等差数列an的前2n1项的和为S2n1,等差数列bn的前2n1项的和为
anS2n1’’S2n1,则bS2n1n等比数列——知识点归纳
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0)15
2等比中项:
如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b也就是,如果是的等比中项,那么
3等比数列的判定方法:
Gb2,即GabaG
①定义法:
对于数列an,若an1q(q0),则数列an是等比数列an
②等比中项:
对于数列an,若anan2an1,则数列an是等比数列2
4等比数列的通项公式:
如果等比数列an的首项是a1,公比是q,则等比数列的通项为ana1qn1或着anamqn5等比数列的前n项和:
aanqa1(1qn)1Sn2Sn1(q1)○(q1)○1q1q
3当q1时,Snna1○
当q1时,前n项和必须具备形式Sn
6等比数列的性质:
A(qn1),(A0)如果ann项,am是等差数列的第m项,且mnq,则有anamqnm
②an,若nmuv,则anamauav
也就是:
a1ana2an1a3an2
a1ana1,a2,a3,,an2,an1,an如图所示:
a2an1
③若数列an是等比数列,Sn是其前n项的和,kN*,那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列如下图所示:
S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k
SkS2kSkS3kS2k
1等差数列的前n项和公式:
16
Sn=na1n(a1an)n(n1)n(n1)Sn=nandSn=d222当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;
当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式2等比数列的前n项和公式:
当q=1时,Sn=na1(是关于n的正比例式);
aanqa1(1qn)当q≠1时,Sn=Sn=11q1q
3拆项法求数列的和,如an=2n+3n4错位相减法求和,如an=(2n-1)2n
(非常数列的等差数列与等比数列的积的形式)5分裂项法求和,如an=1/n(n+1)11nn1
(分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式)6反序相加法求和,如an=nC100n
7求数列{an}的最
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