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数学中的美本科毕业论文
本科生毕业论文
(申请学士学位)
论文题目谈论数学中的美
作者姓名
专业名称数学及应用数学
指导教师
2014年6月
学生:
(签字)
学号:
2012220159
论文答辩日期:
2014年5月24日
指导教师:
(签字)
2.2数学中的抽象美4
2.3数学中的统一美6
2.4数学中的对称美7
谈论数学中的美
摘要:
“数学是美的”这一观点曾被著名数学家陈省身先生不止一次地提出。
而数学中的美则可以从不同的角度去观察。
数学中的美其表现形式也是不尽相同的。
数学中的美主要有符号美、抽象美、统一美、协调美、对称美、形式美、奇异美、有限美、常数美等。
每一种美都不是孤立的,她们是紧密结合在一块的,不可或缺的。
数学中的符号美、抽象美、统一美、协调美、对称美是数学美的基本特征。
这里,我仅从这五个基本特征来阐述数学中的美。
关键词:
数学;数学美;简洁美;协调美;对称美;统一美;符号美
TalkaboutthebeautyofMathematics
Abstract:
“Mathematicsisbeautiful”Thisviewhasbeenthefamousmathematician,Mr.ChenShengshenmorethanonceputforward.Andthebeautyofmathematicscanbeobservedfromdifferentangles.Thebeautyofmathematicsintheformisnotthesame.Thebeautyofmathematicsaresymbolsofbeauty,abstractbeauty,beautyofunity,harmony,thebeautyofsymmetryetc.Everybeautyisnotisolated,theyarecombinedtogether,theindispensable.Mathematicalsymbolsintheabstractbeauty,beauty,beauty,beautyofunifiedcoordination,symmetricalbeautyisthebasicfeatureofthebeautyofMathematics.ThereweonlyfromthefivebasiccharacteristicstoexplainthebeautyofMathematics.
Keywords:
Mathematics,mathematicalbeauty,simplebeauty,harmoniousbeauty,symmetry,unityofbeauty,FuHaomei
1.绪论
什么是美?
自古以来,人类从来没有停止过对美的学习,而且对“美是什么?
”都有不同的衡量标准和价值取向,见者见智。
那到底什么是美呢?
俗话说:
“爱美之心,人皆有之。
”著名的李泽厚大师曾说过:
“完好、和谐、鲜明、真及善、规律性及目的性的统一,就是美的本质和根源”。
[1]
“数学是美的”这一看法曾经被知名数学家陈省身先生不止一次地提及到。
而数学中的美则可以从不同的角度去观察。
数学中的美其表现形式也是不尽相同的。
她的美在于她是探索宇宙规律现象的起点,美在用一些字母符号就能表示丰富信息的简洁明了,美在她从不停下探索的脚步,敢于大胆假设并严格论证的性格,美在她对一些看似不相同的问题论证时,运用同一种思想便能得到答案,美在数学家为了论证定理终生锲而不舍的追求,美在她的思维、方式几乎在全部学科中都得以普遍的使用。
1.1背景和基本概念
如今美学家们以为:
美应包含以下各项:
从上面看来,这个世界并不是缺少美,而是缺少一双眼睛,一双发现美的眼睛。
那你有无察觉到这里面的一种美呢?
这类的美是唯一的,可以是暂时的,也可以是永恒的,这就是数学的美。
数学,如果正确地看,不但拥有真理,而且也具有至高的美——罗素。
数学的魅力,是因为他的美丽的,他的美丽的在我看来可以分为两类:
一是数学本身的美;另一种就是他为生活所创造的美。
“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,但数学却能提供以上的一切,给人快乐”这是美国的数学史家M·克莱因对数学做过的描述。
[1]
其实数学的美最主要的还是是数学自身的美。
前面我们已知道了数学美的特征,那就让我来简单的叙述一下其中的奥秘吧。
1的金字塔:
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
1111111×1111111=1234567654321
11111111×11111111=123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321
……
1.2已有相关结果
在吴正奎老师的《数学中的美》一书中,他总结到了数学中的美的几种形式:
(1)美是绝对观念在具体事物和现象中的表现或体现;[1]
(2)美是有意向的,从主观上认识事物的结果;[1]
(3)美是生活的本质同作为美得尺度的人相比,或者同他的实际需要、同他的理想和关于美好生活观念相比较的结果;[1]
(4)美是自然现象的自然属性。
著名的物理学家、哲学家爱因期坦说过:
“美,本质上终究是简单性。
”他还认为,只有通过数学这个工具,才可以达到简洁性的美学标准。
著名的物理学家,哲学家爱因斯坦对美的概述,在数学领域,也被大多数人所认同。
简练,朴实无华,是其外部的表现形式。
不光是要朴实清秀,还得内在充实,这样才可以称为是至美。
数学家欧拉给出的公式:
,称得上是“简单美”的典范。
世界上的多面体有多少?
没有人可以说得清楚。
但这些多面体的面数F、棱数E、顶点数V,都必须要及欧拉给出的公式相符合,这样一个这么简单的欧拉公式,竟然总结了无数的多面体的特性,怎么能不令人佩服和惊叹?
由她同样的还可派生出更多种同样美妙的东西。
如:
平面图的点数V、边数E、区域数F满足
,通过这个公式形成了近代数学的两个重要的分支——拓扑学及图论的基本公式。
这个公式不仅可以得到许多深刻的结论,同时对拓扑学及图论的发展也起了很大的作用。
[2]
2数学中的美的简述
2.1数学中的符号美
在数学美的各个属性中,首先要推崇的大概是简单性了。
——(莫德尔L.J.Mordell)[3]
数学符号节省了人们的思维。
——(莱布尼兹)[3]
就其本质而质而言,数学是抽象的;实际上它的抽象比逻辑的抽象更高一阶。
——(克里斯塔尔G
Chrystal)[3]
据我观察,“惰性”无论是在自然界,还是在人类的世界都受到我们的热烈追捧,只要能够偷懒,能够简洁,我们就绝不会去“多此一举”:
光沿直线方向传播,这是因为它是最为便捷的距离;大雁迁徙时呈人字飞行,这是由于他们所受到得阻力最小;在人体中,人的粗细血管之比是
,这又是缘于它在疏导液体时能量消耗得最少……这些都向我们展示了万事万物的简洁及和谐。
宇宙万物都是如此,那数学更不用说了。
法国哲学家狄德说道:
数学中所谓美的回答,是关于困难而繁杂的题目的简单回复。
事实上,数学的简单是体现在简单的语言和求解方法简单。
数学,不喜欢笨拙和复杂。
[4]
那现在我们就来看看数学符号吧!
数学符号的首要在于它存在无限的气力和门径来协助直觉,把自然和社会甚至于宇宙中的数学关联起来,去回答那些已知或未知的问题,去创造更新、更深的思维形式。
如:
①表示数的符号,如0,1,2,…,8,9这类数字在学习了计数的方法后,我们将使用它们来代表不同的数字。
②括号,如(),[],{},等等;通过它,可以对代数符号及符号构成式子(或项),进行组织,使之能形成各种复杂的结构。
括号在数学上,特别是代数公式语言的构成上起着十分重要的作用。
[5]
③语标符号,数学有一些语标符号。
这是表示特定的数学对象的符号,其书写形态也专门为此而“发明”的。
大家最熟悉的数字0,1,2,…,9便是语标符号的例子,其他还有+、-、×、÷、,…,等等。
[5]
由此看来数学符号的作用还真不少,英国学者R.斯坎普开列了如下“菜单”——数学符号的十种功能:
(1)传递;
(2)记录知识;(3)形成新的概念;(4)简化复杂纷繁的分类系统;(5)解释;(6)使反思活动成为可能;(7)揭示结构;(8)使操作程序自动化;(9)信息的恢复及理解;(10)进行创造性的思考。
[6]
2.2数学中的抽象美
在绘画及教学中,美有客观标准。
画家讲究结构、线条、造型、肌理,而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、……——(哈尔莫斯)[7]
数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏,创造了抽象和理想化的真理。
——(R.D.Carmicheal)[7]
自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。
——(C.N.杨)[7]
数学虽不研究事物的质,但任一事物必有量和形,这样两种事物如有相同的量和形,便可用相同的数学方法,因而数学必然也必须抽象。
“我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中,而数学正是书写宇宙的文字”——(伽利略语)。
[7]
物理、化学、工程以及许多科学技术领域中的基本的工作原理,都是通过用数学的语言来表达的。
万有引力的萌芽,在牛顿之前的历史上早就有存在,但仅仅只有当牛顿通过用数学公式精确的表达时,才成为科学中最有意义、最重要的万有引力定律。
爱因斯坦的广义相对论的孕育及发表,也得益于黎曼几何所供应的数学框架和门径。
在创造性的数学研究中,抽象分析是一种经常使用的首要方式,这是基于数学自身的特色——抽象性的。
数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生,是通过“抽象分析”得到的。
当数学家的思想变得更抽象时,他会发现使用物理世界来测试他的直觉越来越难。
为了确认直觉,他必须更详细地,更小心地下定义和证明,和为了到达更高程度的精确性而进行的连续的努力,这样以来也使得数学本身得以成长了。
数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性,换句话说:
数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。
而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时,抽象更是必不可少的。
[1]
如前所述,微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、创立同一学科——微分学;而他们又分别从“反运算”和“微分求和”不同角度建立另一门学科——积分学。
这也使微分、积分(微积分)成为一个不可分离的整体学科。
[1]
同一个拉普拉斯(Laplace)方程:
它可以用来表示溶质,稳态导热过程的动态平衡,弹性膜的平衡,也可以说是静电场电位,真空中的引力势以及不可压流体的定常运动等等。
这个方程因为抽象性而成为普适固然,方程本身的表达形式亦然很美,除符号美外,它还具对称美、简洁美),这显然也是数学本身的一大特色。
抽象是数学美的重要组成部分,也是因为数学抽象可以把人们置于脱开周围事物纷扰的“纯洁”的气氛中,虽然有时这种气氛离具体经验太遥远。
2.3数学中的统一美
数学起源于哲学,哲学中的对立统一规律反映在数学上就是其统一性。
统一是简单的基础,简单是数学的魅力。
用统一的眼光看数学,则动及静是统一的,数及式是统一的,运算及映射是统一的,二维及三维是统一的。
用统一的眼光看数学,才能将数学由厚读薄,由浅入深,才能领略到数学的简洁之美。
[8]
数学中的统一性,是指数学中部分及部分,部分及整体之间的和谐一致。
数学的统一美,美在数学对客观世界和谐协调、井然有序的真实反映上。
数学的统一美,使人们对数学能够居高临下、揽括一切,增强人们洞察世界的深度、广度。
[8]
微分和积分最先是当作两种数学的运算、两类的数学问题来分别以研究。
但是当牛顿及莱布尼茨独立地将微分和积分真正沟通,用微积分基本定理使得这两种数学的运算统一起来,正确清楚地找到了两种运算的内在的联系:
微分和积分是互逆的两种运算,微积分学才真正的建立起来。
建立射影几何的数学统一的典型结果。
相比及欧氏几何,射影几何的一个重要特征是点及直线的对称统一。
由于引进的无穷远点,点和线在射影几何中的地位是完全对称的,这也促使了射影几何的建立。
笛卡尔开创了几何形式及代数形式在数学内部横向统一,将坐标系引入几何,使曲线及方程得以互化,按照自己的方案统一了欧氏几何。
[8]
2.4数学中的对称美
“对称”这一词在古代的含意是“协调”、“雅观”。
事实上,这个词是从希腊语翻译,原文的意思是“在一些物品的布置时出现的般配及和谐。
毕达哥拉斯学派认为,一切空间图形中,最美的是球形;一切平面图形中,最美的是圆形。
圆是中心对称图形——圆心是它的对称中心,圆也是轴对称图形——任何一条直径都是它的对称轴。
毕达哥拉斯说:
“一切立体图形中,最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形。
”因为这两种形体在各个方向上都是对称的。
此外,像一般的正多边形,正多面体,旋转体及圆锥曲线给出了完美的对称美。
对称是数学美的一个重要内容,它为人们提供了一个良好的平衡和充分的享受和审美,其实质是对数学概念,对立统一的重要体现,在形式和结构命题和图形中也有着不可磨灭的必要性。
对称图形及其变换在几何中的是明显对称的,从最基础的圆、椭圆、双曲线到各类几何变换群的对称性都体现的非常明显,这些对称性是数学的形式美的表现,它直观给人以美的享受。
但是数学中更多的是数学的基本概念、定理、法则的对称性,这也是数学内容的对称美的表现。
在小学数学中,奇数及偶数,合数及质数,约数及倍数,整数及分数,和及差等都有一种很强的对称美感。
几何图形里,平行四边形的两对边等,三角形中的角及对边,都迸发着对称美的光辉。
被称为最美的平面图形就是圆,这是因为圆具有最多的对称性。
二项式的展开式:
中,
,
,
,……,也显出一种对称美。
3生活中的数学美
在我们的生活中有许多的图案,这些图案中大多数的是几何图形本身,但是有的则是依据数学中的重要定义产生的图形,也有的是几何图形组合,它们具有很强的审美价值。
而在学校的教学中同样也要充分利用图形的线条以及色彩,给学生最大的感知,充实领会数学图形给生活带来的美。
法国埃菲尔铁塔、法国巴黎圣母院、上海东方明珠电视塔、埃及金字塔、达芬奇的《蒙娜丽莎》、米罗的《断臂的维纳斯》……它们身上都有黄金分割的影子。
我也记得有这样一个问题,这个问题是:
一个跳芭蕾舞的小朋友问她的妈妈:
“妈妈,为什么我跳芭蕾舞的时候,老师要我把脚踮起来?
她找一个高一点的小朋友不就行了吗?
”妈妈说:
“这是因为踮起脚后,人的比例接近黄金分割,看起来会更加美。
有这里可以看出,在舞蹈中书学的美也是无处不在的。
[9]
在日常生活中,只要你够仔细的话,你可以找到许许多多的三角形,三角形在我们的生活照也是常客,比如,T台上可以看到各种各样的三角形图案的衣服,当然,运用得更为普遍的还是三角形的稳定性,海印桥的结构就运用了三角形的稳定性,这样既美观又安全,那些爱美的女士也要感谢三角形吧,不信,看看你的脚下,高跟鞋是不是及地面形成了一个三角形,让你稳稳地站着?
数学也美在三角形的稳定性。
在音乐中也有数学的身影,不信,你看看一份乐谱的第一页上方,一定有个分数,如2/4之类的,这便是这首曲子的节拍,音乐老师说过,节奏是音乐的骨骼,可见数学在音乐中也起了无可替代的作用。
所以,数学也美在音乐中。
我知道,大家的脑海中一定又出现了生活中的数学美,它虽不起眼,却一点一滴地组成了我们多彩的生活,这种美,无边无疆。
在当下,大街上随处可见的标志设计、招牌设计等等也无不体现出某种数学的美,对称和不对称、如何选取比例的分割,在在都要涉及到数学,数学的运用之广就如华罗庚所说:
宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。
数学充盈着我们的生活,只是——你发现了吗?
发现数学,发现数学的美。
用心去体会吧,枯燥的数学也有它不一般的美,只是我们从来不曾注意。
总之,数学的力量是无穷的,数学美犹如诗人创作的诗句,优美和谐的乐曲,别具一格的绘画,雄伟壮美的建筑,同样会使数学学习者们激情荡漾,兴趣盎然!
数学之美,还可以从更多的角度去审视,而每一侧面的美都不是孤立的,她们是相辅相成、密不可分的。
她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘,更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想,及其对人类思维的深刻影响。
如果在学习过程中,我们能及数学家,教师们一起探索、发现,从中获得成功的喜悦和美的享受,那么我们就会不断深入其中,欣赏和创造美。
[10]
参考文献
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1-13,99-140.
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[5]刘凤林,李俊.浅谈数学符号[J].数学通报,1986(3):
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[7]张祥勤.数学中的抽象[J].山东教育.1998(6):
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[8]徐五光.数学美及数学的统一美[J].杭州师范学院学报.1994(03):
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[10]彭宪亮.感受数学美,享受数学美[J].中学数学研究.2011(6):
12-14.
致谢
历时将近一个多月的时间终于将这篇论文写完,在论文的写作过程中遇到了许许多多的问题和困难,这些困难都在同学和老师的帮助下克服了。
在这里要感谢我的论文指导老师—陶庭婷老师,她对我进行了很详细的指导和帮助,不厌其烦的帮助和提醒我对论文的修改和改善。
另外,在学校的图书馆查找资料的时候,图书馆的老师也给我提供了很多的支持和帮助。
在此向帮助过我和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢!
感谢这篇论文所涉及到的各位学者和老师。
本文引用了多位学者的研究文献,如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发,我将很难完成本篇论文的写作。
感谢我的同学和朋友,在我写论文的过程中给予我了很多重要的素材,而且还在论文的撰写和排版等过程中提供热情的帮助。
由于我的学术水平有限,所写论文难免有不足之处,恳请各位老师和学友批评和指正!
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