固定收益证券计算题.docx
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固定收益证券计算题
计算题
题型一:
计算普通债券的久期和凸性
N
久期的概念公式:
DtWt
t1
其中,W是现金流时间的权重,是第t期现金流的现值占债券价格的比重。
且以上求出的久期是以期数为单位的,还要把它除以每年付息的次数,转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式:
(1y)T(cy)c[(iy)T1]y
其中,c表示每期票面利率,
y表示每期到期收益率,T表示距到期日的期数。
凸性的计算公式:
C12N(t2t)Wt
(iy)t1
其中,y表示每期到期收益率;W是现金流时间的权重,是第t期现金流的现值占债券价格的比重。
且求出的凸性是以期数为单位的,需除以每年付息次数的平方,转换成以年为单位的凸性。
例一:
面值为100元、票面利率为8%勺3年期债券,半年付息一次,下一次付息在半年后,如果到期收益率(折现率)为10%计算它的久期和凸性。
每期现金流:
C咛%4实际折现率:
5%
息票债券久期、凸性的计算
时间(期
数)
现金流
(元)
现金流的现值
(元)
权重
(W)
时间x权
重
(txW)
2
(t+t)xw
1
4
4
38095
(3.8U95)
(94.9243)
(15%)
2
4
4
36281
2U厶O1
(15%)
3
4
4
QA^A
33.4554
(15%)
4
4
4
QOQAQ
43.29U8
(15%)4
5
4
4
QdaAd
53.1341
(15%)5
6
104
1U4
■7-7
677.6U64
(15%)6
总计
1
即,D=2=
利用简化公式:
D15%(15%)6(4%5%)5.4349(半年)5%4%[(15%)1]5%
即,(年)
()
以年为单位的凸性:
C=
(2))=
利用凸性和久期的概念,计算当收益率变动1个基点(%时,该债券价格的
波动
利用修正久期的意义:
P/PD*y
*27175
D2.71752.5881(年)
15%
当收益率上升一个基点,从10勉高到%寸,
P/P2.58810.01%0.0259%;
当收益率下降一个基点,从10%F降到%寸,
P/P2.5881(0.01%)0.0259%。
*1
凸性与价格波动的关系:
p/pD?
y-?
C?
y
当收益率上升一个基点,从10勉高到%寸,
P/P2.58810.01%-8.3377(0.01%)20.0259%;
2
当收益率下降一个基点,从10%F降到%寸,
P/P
2.5881(0.01%)丄8.3377(0.01%)20.0676%
2
又因为,债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感,所以凸性的估
计结果与真实价格波动更为接近。
题型二:
计算提前卖出的债券的总收益率
首先,利息+利息的利息=C—1;ri为每期再投资利率;
然后,有债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格;
其中,
投资期末的债券价格:
C1(1D)
N
C
F
F
N为投资期末距到期日的期数;「2为预期的投资期末的每期收益率。
例二:
投资者用元购买一种面值为1000元的8年期债券,票面利率是12%半年付息一次,下一次付息在半年后,再投资利率为8%如果债券持有到第6年(6年后卖出),且卖出后2年的到期收益率为10%求该债券的总收益率。
解:
所以,
6年后的期末价值=+=元
总收益=元
总收益率=(1+%2-仁%
题型三:
或有免疫策略(求安全边际)
例三:
银行有100万存款,5年到期,最低回报率为8%现有购买一个票面利率为8%按年付息,3年到期的债券,且到期收益率为10%求1年后的安全边际。
解:
银行可接受的终值最小值:
100X(1+8%)5=万元;
如果目前收益率稳定在10%
触碰线:
146.934100.36万元
(110%)
1年后债券的价值=100X8%—8!
°^=万元;
110%(110%)
安全边际:
万元;
触碰线
所以,采取免疫策略为卖掉债券,将所得的万元本息和重新投资于期限为
匸、到期收益率为
10%勺债券。
债券年收益率
=5104.53(110%)4i8.88%
\100
题型四:
求逆浮动利率债券的价格
例四(付息日卖出):
已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%两种债券面值都为1万,3年到期。
1年后卖掉逆浮动利率债券,此时市场折现率(适当收益率)为8%求逆浮动利率债券的价格。
解:
在确定逆浮动利率债券价格时,实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合,分别投资1万元在这两种债券上,则相当于购买了票面利率为6%面值为1万元的两张债券。
又因为在每个利息支付日,浮动利率债券价格都等于其面值,所以逆浮动利率债券价格易求。
1年后,算票面利率为6%面值为1万的债券价格
9643.347元
60010600
2
(18%)(18%)
P逆=2P-P浮=2X=元
题型五:
关于美国公司债券的各种计算(债券面值1000美元、半年付息一
次)(YTM实为一种折现率)
例五:
现有一美国公司债券,息票利率为8%30年到期,适当收益率为6%求债券现在的价值
解:
因为该债券面值为1000美元,每半年付息一次,所以:
例六:
现有一美国公司债券,息票利率为8%30年到期,假设现在的售价
为美元,求债券到期收益率
解:
因为该债券面值为1000美元,每半年付息一次,所以:
通过上式求出该债券的半年期到期收益率为
率为6%X2=12%
例七:
美国债券市场上交易的一种零息债券,距到期日还有10年,到期价
值为5000元,年适当贴现率是8%计算该债券的价值。
解:
因为该债券半年付息一次,所以每期贴现率为8%/2=4%n=20
P=^°^
(14%)
例八:
一种美国公司债券,票面利率是10%2008年4月1日到期。
每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。
如果投资者在2003年7月10日购买,该债券的适当贴现率是6%则该债券的净价是多少全价是多少(采用360天计算)
解:
2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天,且利息支付期
为半年,即180天。
那么n=81/180=。
1189.79元
即该债券的净价为元
又因为距上一次付息日为180-8仁99天,所以
99一
AI5027.5兀
180
即该债券的全价为+=元
例九:
在美国债券市场上有一种2年期的零息债券,目前的市场价格为元,计算该债券的年到期收益率。
解:
因为该债券为票面价格为1000元,半年付息一次,所以:
1000
857.344
(1YTM)
通过上式求出该债券的半年到期收益率为%因此该债券的年到期收益率
为%2=%
例十:
美国债券市场上有一种债券,票面利率为10%每年的3月1日和9月
1日分别付息一次,2005年3月1日到期,2003年9月12日的完整市场价格为
1045元,求它的年到期收益率。
(按一年360天计算)
解:
2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天,半年支
付一次。
即n=169/180=
又因为全价二净价+应付利息
所以,净价==元
即,
1041.94
该债券的半年到期收益率为YTM=%
年到期收益率为%X2=%
题型六:
交税方法
例十一:
一种10年期基金,票面利率为6%按年付息、持有到期。
政府对
其收税,税率为20%现有两种交税方式:
一年一付;到期时一起付;问选
择哪种交税方式更好(改变哪个数值会造成相反的结果)
解:
设在某年年初购买该基金;基金面值为100元;市场适当收益率为r;
一年一付(年末付):
每年年末应交:
1006%20%1.2元
现值:
101.21.21(1r)10
PV1n
n1(1r)r
到期时一起付
总利息为:
10X=12元
现值:
12
PV210
(1r)
若PV1
PV2,则r1%
所以:
当市场适当收益率为1%寸,两种交税方式都可以;
当市场适当收益率大于1%寸,选择到期一起付;
当市场适当收益率小于1%寸,选择一年一付。
附:
课上提过的重点题
例十二:
有一个债券组合,由三种半年付息的债券组成,下次付息均在半年后,每种债券的相关资料如下:
债券名称
票面利率
到期时间
(年)
面值(元)
市场价格
(元)
到期收益率
(年率)
A
6%
6
1000
7%
B
%
5
20000
20000
%
C
%
4
10000
8%
求该债券组合的到期收益率。
(步骤:
1、列表;2、列方程)
解:
若考试时试题未给出债券的市场价格,必须计算出来。
A:
951.68
12
30
1000
n1(1
3.5%)n
(1
3.5%)12
B:
20000
10
550
2000010(平价出售)
2.75%)10
n1(1
2.75%)n
(1
C:
9831.68
8
375
10000
n1(1
4%)n
(1
4%)8
该债券组合的总市场价值为:
+20+9=30兀
列表:
r为债券组合的到期收益率
期数
A的现金流
(元)
B的现金流
(元)
C的现金流
(元)
债券组合的现
金流(元)
总现金流的现值
(元)
1
30
550
375
955
955/(1+r)
2
30
550
375
955
955/(1+r)2
3
30
550
375
955
955/(1+r)3
4
30
550
375
955
4
955/(1+r)
5
30
550
375
955
5
955/(1+r)
6
30
550
375
955
955/(1+r)6
7
30
550
375
955
955/(1+r)7
8
30
550
10375
10955
10955/(1+r)8
9
30
550
580
g
580/(1+r)
10
30
20550
20580
10
20580/(1+r)
11
30
30
30/(1+r)11
12
1030
1030
1030/(1+r)12
总市场价值
30
④列方程:
r3.13%
所以该债券的半年期到期收益率为%其年到期收益率(内部回报率)为%
例十三:
APF与EAR勺换算
EAR(1jAPR)n1
公式:
n
其中:
EAF为实际年利率;APR为名义年利率;n为一年中的计息次数;
A债券的年利率为12%半年支付一次利息。
B债券的年利率为12%每季度支付一次利息。
C债券的年利率为10%每季度支付一次利息。
求这三种债券的实际年收益率。
A:
EAR
1
2
12%
2
1
12.36%
B:
EAR
1
4
12%
1
12.55%
C:
EAR
1
4
4
10%
1
10.38%
4
注:
名义利率一样,付息次数越多,实际收益率越大;
付息次数一样,名义利率越大,实际收益率越大
例十四:
求债券总收益或总收益率(与题型二对比此题没有提前出售债券
这一条件故较为简单)
此时,债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值
总收益=债券实际总价值-购买债券时的价格
求总收益率:
公式:
每期收益率=(期末价值/期初价值)1/n-1
实际年收益率=(1+每期收益率)m-1
投资者用元购买一种8年后到期的债券,面值是1000元,票面利率为12%每半年付息一次,下一次付息在半年后。
假设债券被持有至到期日,再投资利率等于到期收益率,分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。
解:
1108.3860n100016半年期的YTM=5%即每期的再投
ni(1YTM)(1YTM)
资利率为5%
该债券的利息=60X16=960元
利息的利息==元
持有到期时债券的总价值=+1000=元
总收益=元
每期收益率=f船15%
总收益率=15%2110.25%
例十五:
(资产组合的久期)一个债券组合由三种半年付息的债券构成,求该债券组合的久期,并说明利率变动时价格的变化。
债券名称
面值(元)
票面利率
到期时间(年)
市场价格(元)
YTM(年)
A
1000
6%
6
7%
B
20000
%
5
20000
%
C
10000
%
4
8%
解:
1.若没给出市场价格,先计算市场价格;
2.利用简化公式,求出各自的久期;
3.得出修正久期,算出总D*;
4.假设利率变动,计算现在的价格。
久期的简化公式:
1y(1y)T(cy)
yc[(1y)T1]y.
7
分别计算出A、B、C的久期:
Da
』%(13.5%)12『%3.5%)10.2001(半年)
3.5%3%(13.5%)13.5%
*
Da
10.2001
9.8552
13.5%(半年)=(年)
Db
12.75%(12.75%)
2.75%2.75%(12.75%)1012.75%
12.75%1
2.75%1(12.75%)108.8777
水88777
Db厂药跖86401(半年)=(年)
De
』(14%)8(辽5%4%)7.0484(半年)
4%3.75%14%14%
*7.0484
De厂阮6.7773(半年)=(年)
该债券组合的市场总价值等于+20000+=元,债券A的权重为、债券B的权重为、债券C的权重为。
因此,该债券组合的久期为:
D*4.92760.03094.32010.64973.38870.31944.0414(年)
这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时,组合的市场价值将
会变动%
例十六:
如何构造理论上的即期利率曲线一一解鞋带的方法:
假设存在5种政府债券,期限分别从1年到20年。
这些债券都是平价债券,即价格与面值相等,等于100元。
因为是平价债券,所以这些债券的到期收益率与票面利率正好相等。
债券期限(年)
YTM(票面利率)
即期利率(Sn)
远期利率(fn1,n)
1
5%
5%
5%
2
%
%
%
3
%
%
%
4
%
%
%
5
%
%
%
解:
在整个计算过程中,债券都被看做是一系列零息债券构成的债券组合,债券的价格等于这些零息债券的价值总和;先求出即期利率,再利用
(1汀
(1Sn1)n1
1,计算远期利率
1年期债券的到期收益率就是1年期的即期利率,即S15%;
2年期债券的现金流模式如下:
1001005.1%100(15.1%)
(1SJ(1S2)2
解得S45^68%'S1S'8525%;
⑤5年期债券的现金流模式如下:
100
5.45
5.45
5.45
5.45105.45
(1S1)
(1S2)2
(1S3)3(1
S4)4(1S5)5
解得S5
5.4763%
f(1
、f4,5(1
5
5.4763%)
4
5.368%)
15.9106%
根据以上计算,画图:
60000^
BSOOO%
56000%
54000%
SJ000%
5.0000%
4H000%
4.6000%
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