函数性质的综合问题考点和题型归纳.docx
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函数性质的综合问题考点和题型归纳
函数性质的综合问题考点和题型归纳
考点一函数的单调性与奇偶性
[典例]
(1)(2017全·国卷Ⅰ)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()
f
(1)=
A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
(2)函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,
且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是
()
A.f
(1) 75 B.f2 (1) C.f72 (1) D.f52 (1) [解析] (1)∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∵f (1)=-1,∴f(-1)=-f (1)=1. 故由-1≤f(x-2)≤1,得f (1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减, ∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3. (2)∵函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数, ∴函数y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数y=f(x)满足f(2-x)=f(2+x), 75∴f (1)=f(3),f2 75即f2 (1) [答案] (1)D (2)B [解题技法] 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同 的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. f(x1)>f(x2)或 (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成 f(x1) 数的影响. [题组训练] 1.已知函数f(x)满足以下两个条件: ①任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·f([x1)-f(x2)]<0;②对定义域内任意x有f(x)+f(-x)=0,则符合条件的函数是() A.f(x)=2xB.f(x)=1-|x| C.f(x)=-x3D.f(x)=ln(x2+3) 解析: 选C由条件①可知,f(x)在(0,+∞)上单调递减,则可排除A、D选项,由条 件②可知,f(x)为奇函数,则可排除B选项,故选C. 2.(2018·石家庄一模)设f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≥f(3)的解集为() A.[-3,3]B.[-2,4] C.[-1,5]D.[0,6] 解析: 选B因为f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数, 所以有-2b+3+b=0,解得b=3, 由函数f(x)在[-6,0]上为增函数,得f(x)在(0,6]上为减函数,故f(x-1)≥f(3)? f(|x- 1|)≥f(3)? |x-1|≤3,故-2≤x≤4. 考点二函数的周期性与奇偶性 [典例](2017山·东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=. [解析]∵f(x+4)=f(x-2), ∴f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期为6, ∵919=153×6+1,∴f(919)=f (1). 又f(x)为偶函数,∴f(919)=f (1)=f(-1)=6. [答案]6 [解题技法] 已知f(x)是周期函数且为偶函数,求函数值,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解. [题组训练] 31.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=-fx+2,且f (1)=2,则f(2018)= 3333解析: 因为f(x)=-fx+2,所以f(x+3)=fx+2+2=-fx+2=f(x). 所以f(x)是以3为周期的周期函数. 则f(2018)=f(672×3+2)=f (2)=f(-1)=-f (1)=-2. 答案: -2 2.已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f (1)<1,f(5)=2a-3,则实数a的取值范围为. 解析: ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f (1),∵f (1)<1, f(5)=2a-3<1,即a<2. 答案: (-∞,2) 考点三函数性质的综合应用 [典例] (1)(2018全·国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f(3)+⋯+f(50)=() A.-50B.0 C.2D.50 31 (2)定义在R上的奇函数f(x)满足fx+2=f(x),当x∈0,2时,f(x)=log1(1-x),则 222 3 f(x)在区间1,2内是() B.减函数且f(x)<0 D.增函数且f(x)<0 A.减函数且f(x)>0 C.增函数且f(x)>0 [解析] (1)法一: ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)=-f(x-1). 由f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1), ∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数得f(0)=0.又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f (2)=f(0)=0,∴f(-2)=0. 又f (1)=2,∴f(-1)=-2, ∴f (1)+f (2)+f(3)+f(4)=f (1)+f (2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0, ∴f (1)+f (2)+f(3)+f(4)+⋯+f(49)+f(50) =0×12+f(49)+f(50) =f (1)+f (2)=2+0=2. π 法二: 由题意可设f(x)=2sin2x,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f (1)+f (2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f (1)+f (2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f (1)+f (2)=2. (2)当x∈0,21时,由f(x)=log1(1-x)可知,f(x)单调递增且f(x)>0,又函数f(x)为奇 22 13 函数,所以f(x)在区间-2,0上也单调递增,且f(x)<0.由fx+2=f(x)知,函数的周期为33 2,所以在区间1,2上,函数f(x)单调递增且f(x)<0. [答案] (1)C (2)D [解题技法] (1)函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用. (2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区 间,再利用奇偶性和单调性求解. [题组训练] 1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,2)上单调递减,则下列结论正确的是() A.0 (1) (1) C.f (1)<0 (1)<0 解析: 选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0. 由f(x+2)=-f(x), 得f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故函数f(x)是以4为周期的周期函数, 所以f(3)=f(-1). 又f(x)在[0,2)上单调递减, 所以函数f(x)在(-2,2)上单调递减, 所以f(-1)>f(0)>f (1), 即f (1)<0 2.已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件: ①对任意的x1,x2∈[4,8],当 fx1-fx2 x1 b=f(11),c=f(17),则a,b,c的大小关系正确的是() A.a C.a 解析: 选B由①知函数f(x)在区间[4,8]上单调递增.由②知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为8,所以b=f(11)=f(3),c=f(17)=f(2×8+1)=f (1).由③可知f(x)的图象关于直线x=4对称,所以b=f(11)=f(3)=f(5),c=f (1)=f(7).因为函数f(x)在区间[4,8]上单调递增,所以f(5) [课时跟踪检测] A级 1.(2019长·春质检)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是() A.y=ex+e-x B.y=ln(|x|+1) sinx C.y=|x| 1D.y=x-x 解析: 选D选项A, B显然是偶函数,排除;选项C是奇函数,但在(0,+∞)上不是 11 单调递增函数,不符合题意;选项D中,y=x-x是奇函数,且y=x和y=-x在(0,+ 1 ∞)上均为增函数,故y=x-x在(0,+∞)上为增函数,所以选项D正确. x 2.下列函数中,与函数 1 y=21x-2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是() A.y=cosx 1 B.y=x3 C.y=x1 x -x2,x≥0, D.y=2 x2,x<0 1 解析: 选D函数y=2x-2x为奇函数,且在R上单调递减.函数y=cosx是 11偶函数,且在R上不单调.函数y=x3是奇函数,但在R上单调递增.函数y=x 的定义域是{x|x≠0},不是 -x2,x≥0, R.画出函数y=的大致图象如图所示, x2,x<0 可知该函数是奇函数,且在 R上单调递减.故选D. 55 3.已知定义在R上的奇函数f(x)有fx+2+f(x)=0,当-4≤x≤0时,f(x)=2x+a,则f(16)的值为() 1 1 A.2 B.-2 C.3 C.2 D.-2 55 解析: 选A由fx+2+f(x)=0,得f(x)=-fx+2=f(x+5), ∴f(x)是以5为周期的周期函数, ∴f(16)=f(1+3×5)=f (1). ∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(0)=1+a=0,∴a=-1. ∴当-≤x≤0时,f(x)=2x-1,4 -11 ∴f(-1)=2-1-1=-2, 11 ∴f (1)=2,∴f(16)=2. 4.已知函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,且在区间[a,b](a [-3,4],则在区间[-b,-a]上() B.有最小值-4 则不等式f(log2x)>2的解集为() B.0,12∪(2,+∞) 解析: 选B因为f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数, 所以f(x)在[0,+∞)上是增函数, 1所以f(log2x)>2=f (1)? f(|log2x|)>f (1)? |log2x|>1? log2x>1或log2x<-1? x>2或0 3 1 1 A. f32 4 1 1 3 B. f 4 4 2 3 1 -1 C. f32 -4 D. f- 14 3 4 2 4 解析: 选C因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数的周期为4, 作出f(x)的草图,如图,由图可知f32 5 7.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f-2=. 55111解析: f-2=f-2+2=f-2=-f2=-2. 1 答案: -12 8.(2018·合肥二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是. 解析: 令x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1), 令x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x). 故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x). 答案: f(x)=log2(3-x) 19.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f2=0,则f(x)>0的 解集为. 1 解析: 由奇函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f2=0,可知函数y=f(x)在(-∞, 1110)内单调递增,且f-2=0.由f(x)>0,可得x>2或-2 11答案: x-2 10.已知函数f(x)为偶函数,且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,若g(3)=2,则f(-2)=. 解析: 因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(3)=2,所以f (2)=3.因为函 数f(x)为偶函数,所以f(-2)=f (2)=3. 答案: 3 11.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0 时,f(x)=-x. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式. 解: (1)∵f(1+x)=f(1-x),∴f(-x)=f(2+x). 又f(x+2)=f(x),∴f(-x)=f(x). 又f(x)的定义域为R,∴f(x)是偶函数. (2)当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],则f(x)=f(-x)=x; 从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2. -x,x∈[-1,0], 故f(x)=x,x∈0,1, -x+2,x∈[1,2]. 12.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π的)值; (2)当-4≤x≤4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积. 解: (1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, 所以f(π=)f(-1×4+π=)f(π-4)=-f(4-π=)-(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x), 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x). 故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S, 1 则S=4S△OAB=4×2×2×1=4. B级 1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则() A.f(0)>f(log32)>f(-log23) B.f(log32)>f(0)>f(-log23) C.f(-log23)>f(log32)>f(0) D.f(-log23)>f(0)>f(log32) 解析: 选C∵log23>log22=1=log33>log32>0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(log23)>f(log32)>f(0),又函数f(x)为偶函数,∴f(log23)=f(-log23), ∴f(-log23)>f(log32)>f(0). 2.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).现有以下三种叙述: 18是函数f(x)的一个周期; 2f(x)的图象关于直线x=2对称; 3f(x)是偶函数. 其中正确的序号是. 解析: 由f(x)+f(x+2)=0,得f(x+2)=-f(x), 则f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即4是f(x)的一个周期,8也是f(x)的一个周期,故①正确; 由f(4-x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=2对称,故②正确; 由f(4-x)=f(x)与f(x+4)=f(x), 得f(4-x)=f(-x),f(-x)=f(x), 即函数f(x)为偶函数,故③正确. 答案: ①②③ 1 3.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈0,2,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2). 11 (1)设f (1)=2,求f2,f4; (2)证明: f(x)是周期函数. 1xx 解: (1)由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈0,2,知f(x)=f2·f2≥0,x∈[0,1]. 11111 ∵f (1)=f2+2=f2·f2=f22,f (1)=2, 1 111f=f+f2=f4+4 12, 4, 12=22, ∴f14=24 (2)证明: 依题设,y=f(x)关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x). 又∵f(-x)=f(x),∴f(-x)=f(2-x),∴f(x)=f(2+x), ∴f(x)是定义在R上的周期函数,且2是它的一个周期.
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