吕跃进-指数标度与1-9标度比较研究.doc
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指数标度与1-9标度互不相容及其比较研究
吕跃进1张维2
(1.广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004
2.天津大学管理学院,天津300072)
摘要:
标度的选择直接影响到应用层次分析法建模的正确性,本文对最常用的两个标度指数标度与1-9标度作了全面的比较分析,证明了这两个标度的不相容性,得出1-9标度可能导致决策结果错误,而指数标度则是一个优良的结果可靠的标度这一结论。
关键词:
层次分析,指数标度,1-9标度,数学建模,决策
中图分类号:
O223
1.引言
层次分析法(AHP)作为一基本的定性与定量分析相结合的系统决策方法,已经在社会、经济、管理、军事等等领域中得到了广泛的应用。
标度是将人们的定性分析转化为定量分析的桥梁,使用AHP的关键的第一步是选择一标度系统构造因素之间的判断矩阵,标度系统决定判断矩阵的量化数值,其本身的优劣将直接影响根据判断矩阵计算的排序权重的正确与否,从而影响到决策的成败。
在实际应用中,使用最多的标度是1-9标度[1]和指数标度[2](见表1),但是往往它们的结果并不相符,甚至出现逆序。
这就提出了一个严重的问题:
如何选择合适的标度系统?
表1指数标度与1-9标度的关系
重要性程度
同等重要
稍微重要
明显重要
强烈重要
极端重要
1-9标度值
1
3
5
7
9
指数标度值
=1.316时
1
1.732
3
5.194
9
2.指数标度与1-9标度互不相容
2.1在层次单排序中,指数标度与1-9标度可能出现逆序
例1.考察四个元素相对于总目标重要性程度,得到如下的判断:
A1比A2在强烈重要与极端重要之间,A1比A3强烈重要,A1比A4在同等重要与稍微重要之间,A2比A3稍微重要,A2比A4强烈不重要,A3比A4明显不重要。
那么,由1-9标度和指数标度(=1.316)构造的判断矩阵分别为A与B如下:
,
___________________________
*资助项目:
广西壮族自治区教育厅科研基金(编号桂教财1996[403])
**作者简介:
吕跃进(1958-)男,广东龙川人,广西大学数学与信息科学系副教授,天津大学访问学者,主要研究方向:
运筹学,数学模型,预测与决策等。
Email:
luyj@
由A得到的排序向量为WA=(0.5098,0.0773,0.0513,0.3617),排序结果为A1>A4>A2>A3。
(最大特征值=4.3353)。
而由B得到的排序向量为WB=(0.4499,0.0768,0.0806,0.3927),排序结果为A1>A4>A3>A2。
(此时最大特征值=4.2460)
2.2在层次总排序中,指数标度与1-9标度可能出现逆序
例2.假设对于总目标O而言,准则R1比R2稍微重要;而相对于准则R1,方案A1比A2稍微不重要;又相对于准则R2而言,方案A1比A2极端重要。
若用1-9标度,则各层的判断矩阵及层次单排序向量如表2-1至表2-3:
表2-11-9标度下O对准则的判断表2-21-9标度下R1对方案的判断表2-31-9标度下R2对方案的判断
O-R
R1R2
权重
R1
13
0.75
R2
1/31
0.25
R1-A
A1A2
权重
A1
13
0.75
A2
1/31
0.25
R2-A
A1A2
权重
A1
11/9
0.1
A2
91
0.9
由此可得在1-9标度下,方案A1关于总目标的排序权重为0.75*0.75+0.1*0.25=0.5875,方案A2关于总目标的排序权重为0.25*0.75+0.9*0.25=0.4125,排序结果是A1>A2。
若用指数标度,则方案层关于两个准则的判断矩阵及层次单排序向量如表3-1至表3-3:
表3-1指数标度下O对准则的判断表3-2指数标度下R1对方案的判断表3-3指数标度下R2对方案的判断
O-R
R1R2
权重
R1
11.732
0.6340
R2
0.57741
0.3660
R1-A
A1A2
权重
A1
11.732
0.6340
A2
0.57741
0.3660
R2-A
A1A2
权重
A1
11/9
0.1
A2
91
0.9
由此可得在指数标度下,方案A1关于总目标的排序权重为0.634*0.634+0.1*0.366=0.4386,方案A2关于总目标的排序权重为0.366*0.634+0.9*0..366=0.5614,排序结果是A2>A1。
例2表明,尽管在层次单排序时没有出现逆序,但在总排序时却出现了逆序。
2.3指数标度与1-9标度的一致性相互矛盾
从表1可知,1-9标度与指数标度的关系是:
((1)
[定理1]设A=,B=分别是1-9标度和指数标度下的判断矩阵,n3,且A中至少有三行元素两两不全等,则当A一致时,B必不一致;反之,当B一致时,A必不一致。
证明:
如果A,B均为一致矩阵,则对任意1i,j,kn应有,及bijbjk=bik
由两个标度的关系
(1)可知b=a,所以又有,故得
(2)
而方程组的解为x=1,y=c或x=c,y=1。
因此对任意1i,j,kn均有
或。
当时,由k的任意性知第j行与第i行对应元素相等。
当时,对任意1in,由A的一致性,所以,即第j行与第k行对应元素相等。
由i,j,k的任意性可知矩阵A中的任意三行元素中必有两行元素对应相等,这与题设相矛盾。
证毕。
定理1说明,1-9标度与指数标度关于一致性是不相容的。
3指数标度的效果优于1-9标度
3.1指数标度符合人们心理感觉判断,而1-9标度与人们心理感觉判断差距太大
就两个因素比较而言,应用指数标度与1-9标度所作出的各级重要性程度所对应的排序权重的百分比如表4:
表4各级重要性程度的排序权重
A比B重要程度
同等重要
稍微重要
明显重要
强烈重要
极端重要
A与B的权重比
(指数标度)
0.50:
0.50
0.63:
0.37
0.75:
0.25
0.84:
0.16
0.90:
0.10
A与B的权重比
(1-9标度)
0.50:
0.50
0.75:
0.25
0.83:
0.17
0.87:
0.13
0.90:
0.10
A的权重应落在的范围(调查结果)
0.46~0.55
0.56~0.65
0.66~0.79
0.80~0.89
0.90~1
从表4可知,当A比B稍微重要时,1-9标度给出的结果是A与B的权重比为0.75:
0.25,这与人们的心理预期相差太远。
又当随着重要程度的增加,1-9标度给出的权重之差迅速缩小,且明显重要与强烈重要的差距又很小,这也与人们的心理感觉不符。
相比之下,用指数标度给出的权重则合理的多,也符合我们所作的心理感觉判断的调查,事实上指数标度就是根据心理学上的韦伯定律而设计的。
3.2指数标度下判断矩阵的一致性符合人们思维判断一致性,而1-9标度下判断矩阵的一致性与与人们思维判断一致性不符
首先考察思维一致的判断而对应的判断矩阵是否为一致矩阵。
人的思维判断具有如下形式的基本传递性:
若因素A比因素B重要,因素B又比因素C重要,则因素A比因素C重要。
一般地,我们将判断传递性的规律归纳为表6所示,表中为方便起见,分别用1,3,5,7,9代表同等、稍微、明显、强烈、极端重要的五个等级(不是标度值),而用5-7表示重要性程度在明显与强烈之间等等。
由于指数标度与1-9标度均是点判断标度,我们取它们的中值。
表5 思维量判断传递性的规律
A:
B:
CC
A:
B
1
3
5
7
9
1
1
3
5
7
9
3
3
4-5
5-7
7-9
>=9
5
5
5-7
6-8
9
>=9
7
7
7-9
9
>=9
>=9
9
9
>=9
>=9
>=9
>=9
将所有思维一致的判断所对应的判断矩阵逐一加以检查,我们发现用指数标度所构造的判断矩阵均为一致矩阵,而用1-9标度构造的判断矩阵大都不是一致矩阵。
例如,从思维上来说,以下的判断是一致的:
因素A比B稍微重要,B比C稍微重要,则A要比C明显重要。
这个判断所对应的1-9标度判断矩阵和指数标度判断矩阵分别为C和D:
,
易知C不是一致的,而D是一致的。
其次,考察两个标度下的判断矩阵为一致时,其对应的思维判断是否符合逻辑。
对于指数标度,可以证明(因篇幅所限,我们将另行文):
其三阶一致判断矩阵只有如下28类:
{(,,)∣0 然后对这28个三阶一致判断矩阵逐一检验,它们的确满足表5所示的判断传递性的规律。 而对于1-9标度,其一致判断矩阵所对应的思维判断则常常是不合逻辑的。 例如,判断矩阵 是一致的,但其所对应的思维判断是: 如果因素A比B稍微重要,B比C稍微重要,那么A比C极端重要! 实际的判断至多为A比C明显重要,两者重要性程度相差太大。 可见1-9标度下一致矩阵并不代表一致性的思维判断。 3.3指数标度符合客观排序,1-9标度常与客观排序相反 例3[4].在例2中,假设是这样的一个实际问题: 总目标O是合理选购某种设备,准则是质量R1和价格R2,通常认为质量R1比价格R2稍微重要;现有两款设备可供选择,一是国产的设备A1,一是进口设备A2,国产的设备其质量比进口的稍差,而其价格仅为进口的九分之一。 问应选购哪一款设备? 对于这个实际问题,专家们根据经验可以很快就作出决策: 购买国产设备。 而如果用层次分析法来考虑,当用1-9标度时,如例2已经计算出的结果,应选购进口设备,这与实际的客观排序相反。 但当用指数标度时,结论是应选购国产设备,与实际的客观排序一致。 4指数标度具有良好的数学结构,1-9标度的数学结构则很差 4.1标度系统有界封闭性 [定义1]一个标度系统的取值集合称为该标度系统的值域,记为D。 如果D满足: D中元素非负;1D;且由aD,能推出1/aD,则称该标度系统是正互反型的。 [定义2]称正互反型的标度系统关于运算是有界封闭的,如果对任意a,bD,若mabM,则abD,其中m,M分别D中的最小值和最大值。 标度系统的有界封闭性
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- 跃进 指数 标度 比较 研究