六年级数学期末知识点.docx
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六年级数学期末知识点.docx
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六年级数学期末知识点
基本概念
一、整数和小数
1、整数:
像…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数叫做整数。
自然数和0都是整数。
2、自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。
0也是自然数。
3、小数:
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点组成。
【小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零,小数的大小不变。
】
4、小数的分类
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25、0.368都是纯小数。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
(也叫混小数)例如:
3.25,5.26都是带小数。
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7,25.3,0.23都是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33……,3.1415926……
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
例如:
π
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。
例如:
3.555……0.0333……12.109109……【循环小数一定是无限小数。
(√)】
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如:
3.99……的循环节是“9”,0.5454……的循环节是“54”。
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
例如:
3.777……简写作
,0.5302302……简写作
。
5、数位顺序表(数位、数级、计数单位)
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数的读法和写法
读法:
整数部分从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。
小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
写法:
整数部分从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5、数的改写
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
(1)准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万;改写成以亿做单位的数12.543亿。
(2)近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。
例如:
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
6、四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小,就把尾数去掉(四舍);如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1(五入)。
例如:
省略345900万后面的尾数约是35万。
省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。
【保留哪一位就看那一位右边一位。
】
7、大小比较
(1)比较整数大小:
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
(2)比较小数的大小:
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
(3)比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
8、数的整除、因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数
整除:
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
因数、倍数:
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数(也叫约数)。
倍数和因数是相互依存的。
【因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的因数。
】
(1)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
例如:
10的因数有1、2、5、10,其中最小的因数是1,最大的因数是10。
(2)一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
质数:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
合数:
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。
短除法分解质因数
3
所以18=2×3×3
【1不是质数也不是合数】11个因数【1】
非0自然数按照因数的个数可以分作三类:
质数2个因数【1和本身】
合数超过2个因数
质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,
叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
【质因数必须是质数。
】
分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
【短除法】
公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。
例如12的因数有1、2、3、4、6、12;18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公因数,6是它们的最大公因数。
【如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
】
互质数:
公因数只有1的两个数,叫做互质数。
【如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
】
如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
成互质关系的两个数,有下列几种情况:
(1)1和任何非0自然数互质。
(2)相邻的两个非0自然数互质。
(3)两个不同的质数互质。
(4)当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……,3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
【如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
】
短除法求最大公因数与最小公倍数
23
最大公因数:
2×3=6
最小公倍数:
2×3×2×3=36
【几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
】
个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304,都能被2整除。
。
个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405都能被5整除。
。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
108、204都能被3整除。
偶数:
能被2整除的数叫做偶数。
【0也是偶数。
】
奇数:
不能被2整除的数叫做奇数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
二、分数和百分数
1、分数:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
约分的方法:
用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法:
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线上面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
分数单位:
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
例如
2、分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
【真分数小于1。
】
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
【假分数大于或等于1。
】
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3、约分和通分
约分:
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
通分:
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
最简分数:
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
【约分要把分数变成最简分数。
】
4、百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
(也叫做百分率或百分比)百分数通常用“%”来表示。
5、数的互化
6、倒数:
乘积是1的两个数互为倒数。
【1的倒数是它本身,0没有倒数。
】
求倒数:
只需将分子、分母交换位置。
【整数可以看作分母为1的假分数。
】
7、常见的百分率:
出勤率=
×100%合格率=
×100%出米率=
×100%
出油率=
×100%【一般情况下,这些百分率都是把总量作为单位“1”,当做除数。
】
8、与百分数有关几个问题:
(1)折扣:
80%——八折;65%——六五折。
【成数:
80%——八成;65%——六成五。
】
折扣问题:
现价=原价×折扣
(2)利息:
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×时间×利率【时间和利率要对应,例如是年利率,时间也要按年算。
】
利息税=利息×税率【利息税是上缴给国家的,因此要从利息中减掉。
】
本息=本金+利息【如果有利息税则还要减掉利息税。
】
(3)纳税:
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入(销售额、营业额、应纳税所得额……)的比率叫做税率。
应纳税额=收入×税率
运算和规律
1、四则运算顺序:
1、有括号先算括号内的;(先小括号,再中括号,最后大括号。
)
2、先乘除后加减(乘、除都是二级运算,加、减都是一级运算);
3、从左到右按顺序计算(只有加减或者只有乘除)。
【例:
①327-20×12+77先算×,再算-,最后算+;②50×(27+57)先算括号内的+,再算×。
】
2、运算律:
加法交换律a+b=b+a
加法结合律﹙a+b﹚+c=a+﹙b+c﹚
连减规律a-b-c=a-﹙b+c﹚
乘法交换律a×b=b×a
乘法结合律﹙a×b﹚×c=a×﹙b×c﹚
乘法分配律a×﹙b+c﹚=a×b+a×c或a×﹙b-c﹚=a×b-a×c
a×b+a×c=a×﹙b+c﹚a×b-a×c=a×﹙b-c﹚
连除规律a÷b÷c=a÷﹙b×c﹚
3、简便计算:
1、观察数字,能否凑整,有没有特殊数字(25、125、101、99、199等等);
2、观察运算符号,看看是否符合运算定律的要求,如不符合则不能使用运算定律。
4、规律:
(1)商不变规律:
被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。
【例:
7.89÷3.3=78.9÷33】
(2)商的变化规律:
①除数不变,被除数扩大(或缩小)几倍,商也扩大(或缩小)相同的倍数。
【例:
1.44÷12=0.12;144÷12=12】
②被除数不变,除数扩大(或缩小)几倍,商则缩小(或扩大)相同的倍数。
【例:
1.44÷12=0.12;1.44÷1.2=1.2】
(3)积不变规律:
一个因数扩大(或缩小)几倍,另一个因数缩小(或扩大)相同的倍数,积不变。
【例:
35×2.7=0.35×270;6.52×300=652×3】
(4)积的变化规律:
一个因数不变,另一个因数扩大(或缩小)几倍,积也扩大(或缩小)相同的倍数。
【例:
35×2=70;35×200=7000】
简易方程
1、用字母表示数:
字母与数字相乘,数字写前面(数字是1则省略不写)【如a×3=3a;1×b=b】
平方:
a2=a×a【注意跟2a区分,2a=a+a两者不同】
2、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
【方程一定是等式,等式不一定是方程】
3、方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
4、解方程:
求方程的解的过程叫做解方程。
5、用方程解决问题的一般步骤:
(1)仔细审题,确定题目中的未知数,写出解设;【直接设、间接设】
(2)找出题目中的等量关系;【找含有相等意思的句子并将它化成等量关系式。
】
(3)根据等量关系列出方程并解方程;
(4)验算,并观察求出的结果是否符合题目要求,最后写答。
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1米=100厘米
面积单位换算
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方千米=1000000平方米
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米1平方米=10000平方厘米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米
1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤=2市斤
人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年大月(31天)有:
1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:
4\6\9\11月平年2月28天,闰年2月29天
平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒
【能被4整除且不能被100整除的为闰年。
如果年份是世纪年(整百年),能被400整除的才是闰年。
如2000年是闰年,1900年不是闰年。
】
常用的数量关系式
四则运算法则:
加法:
加数+加数=和可以推出:
和-一个加数=另一个加数
减法:
被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
乘法:
因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
除法:
被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
推导公式
每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
一倍数×倍数=几倍数几倍数÷一倍数=倍数几倍数÷倍数=一倍数
速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率
比和比例
1、比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
【通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
】【比的后项不能是0。
】
2、比的2种写法:
(1)比号形式:
如3∶4
(2)分数形式:
如
【仍读作“3比4”。
】
3、比的基本性质:
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
4、比、除法、分数之间的关系:
名称
联系
比
前项
:
(比号)
后项
比值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
分数
分子
──(分数线)
分母
分数值
5、比的计算:
(1)求比值:
前项除以后项。
【结果一般用分数表示】
(2)化简比:
将一个比化作前、后项互质的整数比。
①整数比(前后项都是整数):
把比的前后项同时除以它们的最大公因数。
②分数比(前后项都是分数):
把比的前后项同时乘上它们分母的最小公倍数,约分去掉分母,变成整数比。
【如果化成整数比后还不是最简比,还要按整数比的化简方法继续化简。
】
③小数比(前后项都是小数):
把比的前后项同时乘上一个相同的数(一般是10、100…,看小数的位数)变成整数比,再按整数比化简的方法化成最简整数比。
④混合比(比的前后项是整数、小数和分数的混合):
先化作前3种类型再做。
【注意:
如果比是带有单位的单位比,化简前应先将单位统一。
】
【写比的时候一般都要化简成最简整数比,即使题目没有要求也应该习惯这样做。
】
6、比例的意义:
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
7、比例的基本性质:
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积,这叫做比例的基本性质。
【外项积=内项积】
8、解比例:
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
0
5km
0
15km
9、比例尺:
比例尺=
比例尺的分类:
数值比例尺(100000∶1不带单位);线段比例尺:
(1cm代表5km)
10、按比例分配
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:
首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
【例:
将糖和水按1:
4的比例配置成糖水,如果要配出500克糖水需要多少克糖?
分析题目可以看出糖占糖水的
,即糖=糖水×
500×
=100(克)答:
需要100克糖。
】
11、正比例和反比例
(1)成正比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示
(2)成反比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示
空间与图形
1、直线:
没有端点;可以向两端无限延伸。
【过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。
】
射线:
只有一个端点;可以向一端无限延伸。
线段:
有两个端点;可以度量。
【两点的连线中,线段最短。
】
2、平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
垂线:
两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
【两条平行线之间的距离处处相等。
】
3、角:
从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
角的分类:
锐角:
小于90°的角叫做锐角。
直角:
等于90°的角叫做直角。
钝角:
大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角:
角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。
平角180°。
周角:
角的一边旋转一周,与另一边重合。
周角是360°。
3、三角形:
由三条线段围成的图形。
【三角形有三条高。
】
三角形具有稳定性。
内角和是180度。
三角形任意两边的和大于第三边。
【一般用最短两边之和与第三边比较就可以判断是否能组成三角形。
】
三角形的分类:
按角分
锐角三角形:
最大的角是锐角。
直角三角形:
最大的角是直角。
【等腰直角三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。
】
钝角三角形:
最大的角是钝角。
按边分
一般三角形:
三条边长度不相等。
等腰三角形:
有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。
等边三角形:
三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。
【是特殊的等腰三角形。
】
4、平行四边形:
两组对边分别平行的四边形。
【相对的边平行且相等。
对角相等,相邻的两个角的度数和是180°。
】平行四边形容易变形。
长方形:
对边相等,4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
【是特殊的平行四边形。
】
正方形:
四条边都相等,4个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
【是特殊的长方形。
】
5、梯形:
只有一组对边平行的四边形。
【等腰梯形有一条对称轴。
】
圆的画法:
1、定半径:
把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径);
2、定圆心:
把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;
3、画圆:
把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆。
【旋转时有针尖的脚不能移动,两脚间的距离也不能改变;如果出现这些问题,请回到第一步重新开始。
】
6、圆:
圆中心的一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
半径:
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用r表示。
直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用d表示。
【在同一个圆里,有无数条半径,每条半径的长度都相等。
】
【同一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。
】
【同一个圆里,直径等于两个半径的长度,即d=2r。
】
【圆的大小由半径决定。
圆的位置由圆心决定。
】
【圆有无数条对称轴。
】
7、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
。
8、长方体:
8个顶点,12条棱,6个面且都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。
相对的面,面积相等;相对的4条棱长度相等。
正方体:
8个顶点,12条棱,6个面且都是正方形。
每条棱的长度都相等,每个面的面积都相等。
【是特殊的长方体。
】
9、圆柱:
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
【侧面展开是一个长方形(正方形)。
】
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
圆锥:
圆锥的底面是个圆。
圆锥的侧面是个曲面。
【侧面展开是一个扇形。
】
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
10、平面图形的周长和面积:
(周长用C表示,面积用S表示。
)
长方形:
周长=(长+宽)×2C=2(a+b)
面积=长×宽S=a×b
正方形:
周长=边长×4C=4a
面积=边长×边长S=a2
平行四边形:
面积=底×高S=ah
三角形:
面积=底×高÷2S=
ah或S=ah÷2
梯形:
面积=(上底+下底)×高÷2S=
(a+b)h或S=(a+b)h÷2
圆:
周长=圆周率×直径C=πd
周长=圆周率×半径×2C=2πr
面积=圆周率×半径×半径S=πr2
圆环:
面积=大圆面积-小圆面积S=πR2-πr2【R表示大圆半径,r表示小圆半径。
】
=π(R2-r2)
11、立体图形的表面积和体积:
(面积用S表示,体积用V表示。
)
长方体:
表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2【相对的面相等,所以只需算出3个不同的面的和,再乘以2】
体积=长×宽×高V=abh
正方体:
表面积=棱长×棱长×6S=6a2
体积=棱长×棱长×棱长V=a3
圆柱:
侧面积=周长×高S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh
底面积就是圆的面积S底=πr2
表面积=侧面积+底面积×2S表=S侧+2S底
体积=底面积×高V=S底h或V=πr
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