人教版六年级下册数学广角鸽巢问题教学设计实小邹忠梅.docx
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人教版六年级下册数学广角鸽巢问题教学设计实小邹忠梅
人教版六年级下册数学广角
《抽屉原理》教学设计
南康区实验小学邹忠梅
【教学内容】:
人教版《义务教育课程标准实验教科书●数学》六年级(下册)第四单元数学广角“抽屉原理”第70、71页的内容。
【教材分析】:
“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。
在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题,如任意367名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日。
在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。
这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。
本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境,介绍了一类较简单的“抽屉原理”。
关于这类问题,学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。
教学时可以充分利用学生的生活经验,放手让学生自主思考,先采用自己的方法进行“证明”,然后再进行交流,在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较,使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题,发展学生的抽象思维能力。
让学生通过本内容的学习,帮助学生加深理解,学会利用“抽屉问题”解决简单的实际问题。
在此过程中,让学生初步经历“数学证明”的过程。
实际上,通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。
还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现学生数学思维和能力的重要方面。
【学情分析】:
抽屉原理是学生从未接触过的新知识,难以理解抽屉原理的真正含义,发现有相当多的学生他们自己提前先学了,在具体分的过程中,都在运用平均分的方法,也能就一个具体的问题得出结论。
但是这些学生中大多数只“知其然,不知其所以然”,为什么平均分能保证“至少”的情况,他们并不理解。
有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”。
1.年龄特点:
六年级学生既好动又内敛,教师一方面要适当引导,引发学生的学习兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主体性。
2.思维特点:
知识掌握上,六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少,尤其对于“数学证明”。
因此,教师要耐心细致的引导,重在让学生经历知识的发生、发展和过程,而不是生搬硬套,只求结论,要让学生不知其然,更要知其所以然。
【教学目标】:
1.知识与能力目标:
经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
通过猜测、验证、观察、分析等数学活动,建立数学模型,发现规律。
渗透“建模”思想。
2.过程与方法目标:
经历从具体到抽象的探究过程,提高学生有支据、有条理地进行思考和推理的能力。
3.情感、态度与价值观目标:
通过“抽屉原理”的灵活应用,提高学生解决数学问题的能力和兴趣,感受到数学文化及数学的魅力。
【教学重点】:
经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】:
理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教学准备】:
多媒体课件、扑克牌、签字笔、笔筒、练习纸。
【设计理念】:
1.用具体的操作,将抽象变为直观。
“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这句话对于学生而言,不仅说起来生涩拗口,而且抽象难以理解。
怎样让学生理解这句话呢?
我觉得要让学生充分的操作,一在具体操作中理解“总有”和“至少”,二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。
通过操作,最直观地呈现“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这种现象,让学生理解这句话。
2.充分发挥学生主动性,让学生在证明结论的过程中探究方法,总结规律。
学生是学习的主动者,特别是这种原理的初步认识,不应该是教师牵着学生手去认识,而是创造条件,让学生自己去探索,发现。
所以我认为应该提出问题,让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确,让学生初步经历“数学证明”的过程,逐步提高学生的逻辑思维能力。
3.适当把握教学要求。
我们的教学不同于民间的培优机构,因此在教学中不需要求学生说理的严密性,也不需要学生确定过于抽象的“抽屉”和“物体”。
【教学过程】:
一、谈话激趣,初步体验
1、出示几千年前我国教育家孔子名言:
“三人行,必有我师焉。
”学生说说自己的理解。
师:
同学们,你听过我国古代教育家孔子的这名句名言吗?
(课件出示)“三人行,必有我师焉。
”你是怎么理解这句话的呢?
生自由表达。
师:
是啊,学无止境,每个人都有值得我们学习的地方,在今后的学习与生活中就让大家互相学习,共同进步吧!
2、老师想把孔子这句话稍作改动,你们看,(课件出示)“三人同行,必有两人的性别相同。
”你认为老师的说法正确吗?
学生自由三人一组进行组合,说明组合情况。
师引导学生理解“必有”“至少”(两人或两人以上简称至少两人)
必有:
总会有。
肯定会有。
一定会有。
“至少”就是最少的意思。
不低于的意思。
就是最底限。
师:
是的,至少有2人,就是不少于2人,可以等于2支,也可以多于2人
师:
你还有其它方法说明吗?
学生交流交流讨论、汇报。
(因为人的性别只有两种,不是男就是女,三个人同行必有两人的性别相同。
)
师:
看似简单的道理,其实啊,这里蕴藏着一个非常神奇的数学原理,利用它我们可以解决很多有趣的数学问题,你们想一起来研究它吗?
二、操作探究,发现规律。
(一).研究签字笔数比笔筒数多1的情况。
1、把3支签字笔放进2个笔筒里,可以怎样放?
有几种不同的放法?
师:
好的,老师叫大家课前准备的学具带了吗?
那今天这堂课啊,我们就用手中的签字笔和笔筒来研究这个原理。
板书:
签字笔笔筒
现在呢要把3支签字笔放进2个笔筒里,可以怎样放?
有几种不同的放法?
那么请同桌三人摆摆看,看看有什么发现?
好吗?
现在开始。
2、学生分组操作,并把操作的结果到草稿纸上记录下来。
3、请一个小组汇报操作过程,教师在黑板上记录。
生:
我们组一共有2种摆法,第一种摆法是一个笔筒里放3支,另一个笔筒里没有,记作(30);第二种摆法是一个笔筒里放2支,另一个笔筒里放1支,记作(21)。
你们的摆法跟他一样吗?
师:
观察这所有的摆法,你们发现总有一个笔筒里至少有几支签字笔?
生1:
总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
师板书:
总有一个笔筒里至少有2。
4、4支签字笔放进3个笔筒里,又可以怎样放?
师:
依此推想下去,4支签字笔放进3个笔筒里,又可以怎样放?
大家再来摆摆看,看看又有什么发现?
学生分组操作,并把操作的结果记录下来。
请一个小组代表汇报操作过程,教师在黑板上记录。
生:
我们组一共有四种摆法。
第一种摆法是一个笔筒里放4支,另外两个笔筒里没有,记作(400);第二种摆法是一个笔筒里放3支,一个笔筒里放一支,另外一个笔筒里没有,记作(310);第三种摆法是一个笔筒里放2支,另一个笔筒里也放2支,最后一个笔筒里没有,记作(220);第四种摆法是一个笔筒里放2支,另外两个笔筒里各放一支,记作(211)。
师:
还有不同的摆法吗?
生都摇头表示没有异议。
师:
观察所有的摆法,你发现每种摆法中最多的那个笔筒是多少?
生1:
我发现第一种摆法最多的那个笔筒里有4支,第二种摆法最多的那个笔筒里有3支,另外两种摆法的最多的笔筒里有2支。
生2:
也就是说4支签字笔放进3个笔筒里,总有一个笔筒里至少放2支签字笔。
(板书:
2)
师小结:
指板书,刚才同学们把所有的摆法都一一罗列出来了,得出这样的结论,像这样的方法我们把它称之为枚举法,(板书:
枚举法)再导入下一环节:
5、6支签字笔放进5个笔筒里,猜一猜,会有什么样的结果?
师:
那我们再往下想,6支签字笔放进5个笔筒里,你感觉会有什么样的结果?
学生自由表达。
生1:
我认为至少有2支。
生2:
我认为总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
(师:
他是这样想的,还有谁想说)
师:
我的感觉也和大家是一样的?
可是我们想得对不对呢?
得要验证吧?
那我们还需要像刚才那样把所有的摆法都一一例举出来吗?
是的,随着数据的扩大,摆放的方法一定会更多,甚至不能一一罗列;那么我们能不能找到一种更为直接、更为简便的办法直接就能证明这个结论是对还是不对?
能行吗?
小组内先交流交流,还可以摆一摆。
生交流汇报。
师引导学生平均分。
生:
我是想,如果把这6支签字笔拿出5支,每个笔筒里先放一支,再把剩下的一支放进第一个笔筒里,那第一个笔筒里就有2支了。
师:
谁和他的分法是一样的?
哦,那么多小组采用了这种分法,那这种分法他是怎么分的啊?
平均分。
对于平均分的方法,你们有问题吗?
那我有问题能不能请教大家啊?
为什么只用平均分这一种方法就能证明这一结论啊?
生:
他们都是把6支签字笔先平均分在5个笔筒里,还剩1支签字笔,无论放进哪个笔筒里,总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
要保证笔筒的签字笔数最少数,就要怎样?
平均分,让每个笔筒都有签字笔,那如果有哪个笔筒空着,能保证保证笔筒的签字笔数最少要,也就是说平均分就是做好最坏的打算。
你们会用算式表示这种分法吗?
生:
可以用6÷5=1……1。
师:
第一个1表示什么?
第二个1又表示什么?
生:
第一个1表示商,第二个1表示余数。
师:
对。
第一个1还表示每个笔筒先平均分的1支签字笔,第二个1表示剩下的那支签字笔。
6、那如果用这种方法,你知道把7支签字笔放进6个笔筒里,会有什么样的结果呢?
为什么?
生:
把7支签字笔放进6个笔筒里,总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
因为7÷6=1……1,1+1=2.
师:
把10支签字笔放进9个笔筒里呢?
生:
把10支签字笔放进9个笔筒里,也是总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
师:
把100支签字笔放进99个笔筒里呢?
生:
还是总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
师:
你们真了不起,这么大的数据,一下子就找到了答案。
7、比较签字笔支数与笔筒的数量,是不是你们发现了什么规律呢?
生:
我发现只要是签字笔的数量比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
师:
你们发现了签字笔的数量比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
那如果签字笔的数量比笔筒的数量多2、多3,又会有什么样的结果呢?
(二)、研究签字笔数比笔筒数多2、多3的情况。
1、如果把5支签字笔放进3个笔筒里,会有什么结果?
谁来说一说。
生1:
我认为至少有3支签字笔,因为把5支签字笔平均分给3个笔筒,就还剩2支签字笔,所以至少有3支签字笔。
生2:
我认为总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
我是先把3个笔筒里各放1支,这样就还剩下2支签字笔,我再把这2支签字笔分在两个不同的笔筒里,至少就是2支签字笔了。
师:
先平均分掉3支,没问题吧。
那这剩下的2支签字笔该怎么分,才能保证至少有几支签字笔?
生:
剩下的2支签字笔分开放,才能保证至少。
引导学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分,余下的数也要进行二次平均分。
师:
怎样用算式表示呢?
生:
5÷3=1……2
2、把7支签字笔放进4个笔筒里,会有什么结果呢?
为什么?
生:
总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
因为先平均分了之后还剩3支签字笔,再把这3支签字笔分别放进不同的笔筒里,这样总有一个笔筒里至少有2支签字笔。
(三)、研究签字笔数比笔筒数的2倍多、3倍多…等情况。
师:
如果把9支签字笔放进4个笔筒里,把15支签字笔放进4个笔筒里,分别又会有什么结果?
小组内再来讨论讨论,再请同学说结果和理由。
生1:
把9支签字笔放进4个笔筒里,总有一个笔筒里至少有3支签字笔,因为:
9÷4=2……1,每个笔筒里平均分的2支签字笔,剩下的1支签字笔无论放进哪个笔筒里,都会有一个笔筒里至少有3支签字笔。
生2:
把:
15支签字笔放进4个笔筒里,总有一个笔筒里至少有4支签字笔,因为:
15÷4=3……3,每个笔筒里平均分的3支签字笔,剩下的3支签字笔无论分开放进哪个笔筒里,都会有一个笔筒里至少有4支签字笔。
(四)、总结规律。
1、师:
我们研究到这了,看一看,你能发现至少数2、3、4是怎么得到的?
有没有什么规律呢?
先和你的同桌说一说。
生1:
“至少数”只要用“商+1”就可以得到。
生2:
“至少数”只要用“商+余数”就可以得到。
商指的是谁除以谁的结果?
师:
到底是“商+1”还是“商+余数”呢?
谁的结论对呢?
从余数1到余数2,让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分,余下的数也要进行二次平均分。
(板书:
计算绝招:
至少数=商数+1)
2、了解抽屉原理
师:
同学们,刚才我们研究的这种规律啊,就是数学当中有名的抽屉原理(板书课题)。
我们今天所用的签字笔就被看作为被分的物体,谁做抽屉啊?
(笔筒)(板书:
被分的物体、抽屉)那么用被分的物体除以抽屉数所得的商加1就会得到总有一个抽屉的至少数了。
有关抽屉的知识我们一起来了解一下。
出示课件学生读资料,指名学生重点读最后一段。
师:
投影出世抽屉原理简介:
实际上抽屉原理就是有余数的除法,至少数等于商加上1;“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。
“抽屉原理”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
三、应用“抽屉原理”,感受数学的魅力。
师引:
那么应用今天所学的抽屉原理的知识,你能不能解决一些实际问题啊?
你觉得在解决这类问题时,应提醒大家注意些什么呢?
A、当我们应用这一原理解决问题时,能否找到该问题中什么是“被分的东西”,什么是“抽屉”,是解决问题的关键。
B、要记得至少数是“商+1”而不是“商+余数”
1、谁先来用今天所学的知识解释一下刚上课时老师说的“三人同行,必有两人的性别相同。
”这句话。
师:
好的,同学们马上打开书P71,完成例二及做一做。
2、、出示71页的例2:
把5本书放进2个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书。
如果一共有7本书呢?
9本书呢?
3、8只鸽子飞回3个鸽舍,至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
为什么?
生:
我把8只鸽子看做8个物体,把3个鸽舍看做3个抽屉,用8÷3=2……2,2+1=3,所以至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
(师:
是这样吗?
好的,把书关上。
第x组的速度最快了,我再点13个同学站起来,我敢肯定这13个同学中至少有2个人是同一个月出生的。
信吗?
学生现场点名报月份,谁能解释这其中的道理?
4、师:
请13名同学起立。
我敢肯定这13个同学中至少有2个人是同一个月出生的。
信吗?
学生现场点名报月份,谁能解释这其中的道理?
生:
信。
因为老师把13个人看作是要分的物体,12个月份看作是抽屉。
所以列式为13÷12=1……1,所以至少有2个人是同一个月生的。
师:
那我们六()班共有多少人啊?
全班至少有()名同学生是在同一个月中。
5、你们玩过扑克牌吗?
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色,哪四种知道吗?
那从中随意抽5张牌,至少有几张是同一花色的,为什么?
如果抽得3张是同花色的符合猜测吗?
生:
2张;因为5÷4=1…1
师:
先验证一下你们的猜测:
举牌验证。
师:
如有3张同花色的,符合你们的猜测吗
如果随意抽9张牌呢?
(至少有3张牌是同一花色,因为9÷4=2…1)
6、同学们喜欢听故事吗?
今天老师还给大家带来了一个与抽屉原理有关的古典,想了解吗?
《晏子春秋》里记载了一个“二桃杀三士”的故事:
齐景公门下有3名武功超群的勇士,他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。
他们虽为齐国立过不少功劳,但都居功自傲,目中无人,横行霸道。
齐国的宰相晏婴就想除掉他们。
晏婴知道,用武力绝对制服不了3人,只能用计谋。
于是,他请齐景公赏赐3名勇士两个桃子,并且吩咐说:
“你们自己按各人功劳的大小去分配桃子吧!
”
三名勇士都认为自己的功劳很大,应该单独吃一个桃子。
于是公孙接讲了自己的打虎功,拿了一只桃;田开疆讲了自己的杀敌功,拿起了另一桃。
两人正准备要吃桃子,古冶子说出了自己更大的功劳。
公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大,感到羞愧难当,赶忙让出桃子。
并且觉得自己功劳不如人家,却抢着要吃桃子,实在丢人,是好汉就没有脸再活下去,于是都拔剑自刎了。
古冶子见了,后悔不已。
仰天长叹道:
如果放弃桃子而隐瞒功劳,则有失勇士尊严;为了维护自己而羞辱同伴,又有损哥们义气。
如今两个伙伴都为此而死了,我独自活着,算什么勇士!
说罢,也拔剑自杀了。
晏子不费吹灰之力便达到了预期的目的。
有趣的是,他却运用了数学中的一个重要的原理——抽屉原理。
谁利用今天所学的知识来解释一下这个故事。
(四)、归纳总结,提炼方法。
师:
同学们,这节课你们觉得开心吗?
你有什么收获呢?
生:
……(自由表达)
师:
同学们有收获,老师也有收获,你们能通过自己的实际操作学懂抽屉学理,老师看到你们中获得了新知,老师心里就获得了快乐。
(六)拓展延伸,能力创新。
课外思考题:
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色,每种花色13张。
如果要抽得1张红心,至少要抽几张牌呢?
为什么?
(可能与今天学习的知识有一点区别,要注意实验、思考)
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