新教材北师大版高中数学必修四综合能力检测1及答案解析.docx
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新教材北师大版高中数学必修四综合能力检测1及答案解析
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第一章综合能力检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·全国大纲文,2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=( )
A. B.
C.- D.-
[答案] D
[解析] 由条件知:
x=-4,y=3,则r=5,∴cosα==-.要熟练掌握三角函数的定义.
2.集合M={x|x=sin,n∈Z},N={x|x=cos,n∈Z},则M∩N等于( )
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{0} D.∅
[答案] C
[解析] ∵M={x|x=sin,n∈Z}={-,0,},N={-1,0,1},
∴M∩N={0},应选C.
3.(2014·辽宁理,9)若点A(x,y)是600°角终边上异于原点的一点,则的值是( )
A. B.-
C. D.-
[答案] C
[解析] 由三角函数定义知,=tan600°,
而tan600°=tan240°=tan60°=,∴=.
4.下列说法中错误的是( )
A.y=cosx在(k∈Z)上是减函数
B.y=cosx在[-π,0]上是增函数
C.y=cosx在第一象限是减函数
D.y=sinx和y=cosx在上都是减函数
[答案] C
[解析] ∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z,
∴在上y=cosx是减函数,但在第一象限不是减函数.
5.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵sin>0,cos<0,
∴点(sin,cos)在第四象限.
又∵tanα==-,
∴α的最小正值为2π-π=π.
6.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )
A.y=4sin(4x+)B.y=2sin(2x+)+2
C.y=2sin(4x+)+2D.y=2sin(4x+)+2
[答案] D
[解析] 由四个选项可以看出A>0,ω>0,则有解得A=m=2.又周期T==,解得ω=4,则y=2sin(4x+φ)+2.排除选项A和B;又直线x=是其图像的一条对称轴,则当x=时,函数取得最值,排除选项C.
7.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示,f=-,则f(0)=( )
A.- B.
C.- D.
[答案] B
[解析] 考查正弦型函数的振幅、周期、初相的求法.
由图知=⇒T=π,由=T⇒ω=3.
∴设y=Acos(3x+φ),
当x=π时,y=0⇒3×π+φ=2kπ-(k∈Z),
φ=2kπ-,当k=1时,φ=-.
∴y=Acos,
当x=时,y=-得-=A·cos,
-A=-⇒A=.
∴y=cos,
当x=0时,f(0)=·cos=,∴选B.
8.将函数y=3sin(2x+)的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( )
A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增
C.在区间[-,]上单调递减D.在区间[-,]上单调递增
[答案] B
[解析] 本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间.
y=3sin[2(x-)+]=3sin(2x+-π)
=-3sin(2x+).
2kπ-≤2x+≤2kπ+,
2kπ-≤2x≤2kπ+,kπ-≤x≤kπ+,
∴[kπ-,kπ+](k∈Z)是减区间,[kπ+,kπ+](k∈Z)是增区间.
9.对于函数y=f(x)=(0 A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值 C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值 [答案] B [解析] 令t=sinx,t∈(0,1],则y=1+,t∈(0,1]是一个减函数, 则f(x)只有最小值而无最大值. 另外还可通过y=1+, 得出sinx=,由sinx∈(0,1]也可求.故选B. 10.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是( ) A.[kπ-,kπ+](k∈Z)B.[kπ,kπ+](k∈Z) C.[kπ+,kπ+](k∈Z)D.[kπ-,kπ](k∈Z) [答案] C [解析] 由∀x∈R,有f(x)≤|f()|知,当x=时,f(x)取最值. ∴f()=sin(+φ)=±1, ∴+φ=±+2kπ(k∈Z), ∴φ=+2kπ或φ=-+2kπ(k∈Z). 又∵f()>f(π),∴sin(π+φ)>sin(2π+φ). ∴-sinφ>sinφ,∴sinφ<0, ∴φ取-+2kπ(k∈Z). 不妨取φ=-,则f(x)=sin(2x-). 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z), ∴+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z). ∴+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z). 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 11.若tanα=2,则=________;=________. [答案] -1 [解析] ===-1; ===. 12.已知函数f(x)=asin3x+btanx+1满足f(5)=7,则f(-5)=________. [答案] -5 [解析] 易知f(5)+f(-5)=2,∴f(-5)=-5. 13.函数y=-sin(4x+)的图像与x轴的各个交点中,离原点最近的一点是________. [答案] (,0) [解析] 由4x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z. k=0时,x=-;k=1时,x=. 所以离原点最近的点是(,0). 14.函数f(x)=lg(2cosx-)的单调增区间为____________. [答案] (2kπ-,2kπ],(k∈Z) [解析] 2cosx->0即cosx>.由图像观察 2kπ- 15.关于函数f(x)=4sin(x∈R),有下列命题: (1)y=f为偶函数; (2)要得到函数g(x)=-4sin2x的图像,只需将f(x)的图像向右平移个单位长度; (3)y=f(x)的图像关于直线x=-对称; (4)y=f(x)在[0,2π]内的增区间为和.其中正确命题的序号为________. [答案] (2)(3) [解析] (1)f=4sin=4sin,所以y=f不是偶函数,所以 (1)不正确; (2)把函数f(x)=4sin的图像向右平移个单位长度,得到函数f1(x)=4sin=4sin(2x-π)=-4sin2x=g(x)的图像,所以 (2)正确;(3)当x=-时,f(x)取得最小值,所以(3)正确;(4)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z,代入k=0,1,可知(4)错误.故选 (2)(3). 三、解答题(本大题共6个小题,满分75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分) 设f(θ)=, 求f的值. [解析] f(θ)= = ==cosθ-1. 所以f=cos-1=-1=-. 17.(本小题满分12分)设f(x)=2cos(2x+)+3. (1)求f(x)的最大值及单调递减区间. (2)若锐角α满足f(α)=3-2,求tanα的值. [解析] (1)f(x)的最大值为2+3. 令2kπ≤2x+≤2kπ+π,得kπ-≤x≤kπ+, ∴函数f(x)的单调递减区间是[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)由f(α)=3-2,得2cos(2α+)+3=3-2,故cos(2α+)=-1. 又由0<α<,得<2α+<π+, 故2α+=π.解得α=π. 从而tanα=tan=. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期内的图像如图所示,求直线y=与函数f(x)图像的所有交点的坐标. [解析] 由图可知,函数f(x)的A=2,T==4π, ∴ω=, 此时f(x)=2sin,又f=2, 得sin=1,∴φ=2nπ+,n∈Z, ∴f(x)=2sin, 即f(x)=2sin 当f(x)=,即2sin=, 即sin= ∴x+=2kπ+或x+=2kπ+,k∈Z ∴x=4kπ+或x=4kπ+,k∈Z ∴所求交点的坐标为或,其中k∈Z. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lgsin(-2x). (1)求f(x)的定义域及值域; (2)求f(x)的单调增区间. [解析] (1)由sin(-2x)>0得sin(2x-)<0, ∴2kπ-π<2x-<2kπ(k∈Z), ∴2kπ-<2x<2kπ+(k∈Z), ∴kπ- 即f(x)的定义域为(kπ-,kπ+)(k∈Z). ∵0 即f(x)的值域为(-∞,0]. (2)∵10>1, ∴求f(x)的单调增区间即求sin(-2x)的单调增区间,即求sin(2x-)的单调减区间. 由 得kπ+ ∴函数的单调增区间为(kπ+,kπ+)(k∈Z). 20.(本小题满分13分)函数f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图像过点(0,1),如图所示. (1)求函数f1(x)的表达式; (2)将函数y=f1(x)的图像向右平移个单位,得函数y=f2(x)的图像,求y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的集合,并写出该函数的增区间. [解析] (1)由题图知,T=π,于是ω==2. 将y=Asin2x的图像向左平移, 得y=Asin(2x+φ)的图像,于是φ=2×=. 将(0,1)代入y=Asin,得A=2. 故f1(x)=2sin. (2)依题意,f2(x)=2sin =-2cos. ∴y=f2(x)的最大值为2. 当2x+=2kπ+π(k∈Z), 即x=kπ+(k∈Z)时,ymax=2, x的取值集合为. ∵y=cosx的减区间为x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z, ∴f2(x)=-2cos(2x+)的增区间为 {x|2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z}, 解得{x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z}, ∴f2(x)=-2cos(2x+)的增区间为 x∈[kπ-,kπ+],k∈Z. 21.(本小题满分14分)已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)上的一个最高点的坐标为(,),此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π,0). (1)求出此函数的解析式并求出此函数的单调递增区间; (2)设g(x)=f(x+)是偶函数,证明: g(x)是偶函数. [解析] (1)由已知: =-=, ∴T=π=,∴ω=2. 又由最高点坐标为知: A=, ∴y=sin(2x+φ),代入点,得sin=1, ∴+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z, ∴|φ|<,∴φ=,∴y=sin. 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z得 -+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数y的单调递增区间为,k∈Z. (2)g(x)=f(x+)=sin[2(x+)+] =sin(2x+)=cos2x. ∵g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x), 定义域为R, ∴g(x)是R上的偶函数.
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