完整版CH3习题及答案.docx
- 文档编号:26186850
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:56.38KB
完整版CH3习题及答案.docx
《完整版CH3习题及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版CH3习题及答案.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整版CH3习题及答案
3.1随机电压信号Ut在各不同时刻上是统计独立的,而且,一阶概率密度函数是高斯的、均值为0,方差为2,试求:
(1)密度函数fU;t、fUi,U2;ti,t2和
fUi,U2,…,Uk;ti,t2,…,tk,k为任意整数;
3.1解:
(1)f(u;t)
f(U1,U2;t1,t2)
2
1fU1
exp{
4
f(U1,tJf(u2」2)
2
k
f(Ui,ti)
i1
产}
f(U1,U2J||,Uk;t1,t^||,tk)
k
十exp{y
⑵由于任意k阶概率密度函数与t无关,因此它是严平稳的。
也是严格循环平稳的;因为是高斯随机信号,所以Ut也是广义平稳
的和广义循环平稳的。
3.2
3.3
3.4已知随机信号X(t)和Y(t)相互独立且各自平稳,证明新的随机信号Z(t)X(t)Y(t)也
是平稳的。
3.4解:
X(t)与Y(t)各自平稳,设mxE[X(t)],
gE[Y(t)],Rx()E[X(t)X(t)],
Ry()E[Y(t)Y(t)]
mz(t)E[Z(t)]E[X(t)Y(t)]*
E[X(t)]E[Y(t)]mXmY,为常数
Rz(t,t)E[Z(t)Z(t)]
E[X(t)Y(t)X(t)Y(t)]
E[X(t)X(t)]E[Y(t)Y(t)]
Rx()Ry()Rz()
Rz()仅与有关,故Z(t)X(t)Y(t)也是平稳
过程
3.5随机信号Xt10sin0t,0为
确定常数,在,上均匀分布的随机变量。
若X(t)通过平方律器件,得到Y(t)X(t),试求:
(1)Y(t)的均值;
(2)Y(t)的相关函数;
(3)Y(t)的广义平稳性。
解:
(1)
2
E[Y(t)]E[X2(t)]50E[1cos(20t
2RY(t,t)E[Y(t
2
E100sin2(0t02500E1cos20t2500E1cos20t25001250Ecos(2
2
E[100sin2(0t)]
2)]50
22
)Y(t)]E[X2(t)X2(t)]
2
)100sin2(0t)
2021cos20t2
202cos20t2
0)cos(40t204)
25001250cos(20)
Ry()仅与有关,且均值为常数,故Y(t)是
平稳过程。
3.6给定随机过程
XtAcosotBsin°t,其中。
是常数,
A和B是两个任意的不相关随机变量,它们均值为零,方差同为2。
证明Xt是广义平
稳而不是严格平稳的。
3.6证明:
mx(t)E[X(t)]E[Acos(°t)Bsin(ot)]0
Rx(t,t)E[X(t)X(t)]
EAcos(ot0)Bsin(ot0)Acos(ot)Bsin(ot)
22
EAcos(oto)cos(ot)Bsin(°t。
)sin(°t)2cos(oto)cos(ot)2sin(°t。
)sin(°t)
2cos(o)
有关,
由于均值是常数,且相关函数只与故X(t)是广义平稳过程。
2
取ti时,X(t)A
o
取t2时,X(t)B,
2o
显然fx(X,t1)fA(X)不一定等于fx(X,t2)fB(X)
X(t)不是严格平稳的。
3.7Y(t)是广义周期平稳的实随机信号,平稳周期为100,有均值m(10)20和相关函数R(5,1)10,试求:
(1)E[5丫(110)],E[10Y(310)50];
(2)E[Y(105)丫(101)],
E[30Y(205)Y(201)200];
(3)E[10Y(305)Y(301)6Y(210)80]。
3.7解:
;Y(t)是广义周期平稳随机信号,
(1)E[5Y(110)]5E[Y(10)]5m(10)520100
E[10Y(310)50]10E[Y(10)]50250
(2)E[Y(105)Y(101)]E[Y(5)Y
(1)]R(5,1)10
E[30Y(205)Y(201)200]
30E[Y(5)Y
(1)]200500
(3)E[10Y(305)Y(301)6Y(210)80]
10R(5,1)6m(10)80300
3.8给定过程X(t)AcostBsint和Y(t)BcostAsint,其中随机变量A,B独立,均值都为0,方差都为5。
(1)证明X(t)和Y(t)各自平稳且联合平稳。
(2)求两个过程的互相关函数。
解:
因为随机变量A,B独立,均值都为0,方差都为5,所以E[AB]E[A]E[B]0,E[A2]E[B2]2,故有
mX(t)E[X(t)]E[AcostBsint]0
Rx(t,t)E[X(t)X(t)]
E{[Acos(t)Bsin(t)][AcostBsint]}
E[A2cos(t)costB2sin(t)sint]
E[A2]cos(t)costE[B2]sin(t)sint
5cos
由于均值是常数,且相关函数只与有关,
故X(t)是广义平稳过程。
同理得到:
mY(t)E[Y(t)]E[BcostAsint]0
RY(t,t)E[Y(t)Y(t)]
E{[Bcos(t)Asin(t)][BcostAsint]}
22
E[B]cos(t)costE[A]sin(t)sint
5cos
Y(t)均值是常数,相关函数也只与有关,
故Y(t)也是平稳过程。
RxY(t,t)E[X(t)Y(t)]
E{[Acos(t)Bsin(t)][BcostAsint]}
E[A2]cos(t)sintE[B2]sin(t)cost
5sinRxy()
X(t)与Y(t)分别广义平稳,其互相关函数也只与有关,所以X(t)和Y(t)联合广义平稳。
3.9两个统计独立的平稳随机过程X(t)和
Y(t),其均值都为0,自相关函数分别为
Rx()e',Ry()cos2,试求:
(1)Z(t)X(t)Y(t)的自相关函数;
(2)W(t)X(t)Y(t)的自相关函数;
(3)互相关函数Rzw()。
3.9解:
(i)Rz(t
t)EZ(t
)Z(t)
EX(t
)Y(t
)X(t)Y(t)
EX(t
)X(t)E
Y(t)Y(t)
Rx()
Ry()e"
cos
(2)
(2)Rw(t
t)EW(t
)W(t)
EX(t
)Y(t)
X(t)Y(t)
EX(t
)X(t)EY(t)Y(t)
Rx()
Ry()e1
cos
(2)
(3)RZW(t
t)EZ(t)W(t)
EX(t
)Y(t
)X(t)Y(t)
Rx()
Ry()Rxy
()Ryx()
又由于X(t)与Y(t)零均值相互独立,
同时彼此正交,则Rxy()Ryx()0
Rzw(t,t)Rx()Ry()eC0S
(2)
3.10
3.11
3.12广义平稳随机过程Y(t)的自相关函数矩阵如下,试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。
2
1.3
0.4
2
1.2
0.8
0.4
1.2
1.1
0.9
2
3.12解:
根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性,得到:
21.30.40.9
13
2
1.2
0.8
R
0.4
1.2
2
1.1
0.908U2
3.13
3.14对于两个零均值广义平稳随机过程
2
Xt和丫t,已知X
5,
:
10,问下述函
数可否作为自相关函数,为什么?
(1)
Rx
5uexp
3
;否,非偶函数
(2)
Rx
5sin5;否,三
非偶函数
(3)
Ry
21
9122;
5
否,
Ry(0)92y
(4)
Ry
cos6exp
;否,Ry(0)1
(5)
Rx
2
sin3
5
3
;疋
(6)
Ry
sin10
64
10
。
不是
(7)
Rx
5exp(
);
是
(8)
Ry
64exp(
32)。
不是
解:
根据平稳随机信号相关函数的性质,
(1)否,该函数非偶函数
(2)否,该函
数非偶函数(3)否,Ry(O)92y不符
合题意(4)否,Ry(0)1不是非负(5)
是(6)不是,mY6非零,不符合题意(7)是(8)不是,mY6非
零,不符合题意
3.15
3.16已知随机过程X(t)和丫⑴独立且各
自平稳,自相关函数为RX()2e"cos°与Ry()9exp(32)。
令随机过程
Z(t)AX(t)Y(t),其中A是均值为2,方差为9的随机变量,且与X(t)和Y(t)相互独立。
求过程Z(t)的均值、方差和自相关函数。
解:
E[Z(t)]E[AX(t)Y(t)]
E[A]E[X(t)]E[Y(t)]
2E[X(t)]E[Y(t)]
mXRx()lim2』cos00mX0
E[Z(t)]0
Z(t)的相关函数:
Rz(s,t)EA2X(s)Y(s)X(t)Y(t)
EA2EX(s)Y(s)X(t)Y(t)
13Rx()Ry()
32
10
10
26ecos0(9e)
3.18
3.19
平稳信号X(t)的功率谱密度为
(1)
2
Sx()4322
D[Z(t)]Rx(0)2610260
3.17
(2)S()
8()20(1
0,
/10),
求它们的自相关函数和均方值。
解:
(1)
Sx()-7
12
221
22▲
321
12\Q
V222
Rx()
Rx(O)
(2)查傅立叶变换表
tri
oSa2
S()8()20(1/10)
10
8()20tri
8
5Sa25
Rx()
2
20
Rx(
)
4/
2
mx
Rx(0)
8
100
104
2
3.20
3.21下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式?
为什么?
sin2
(1)是
2
(2)6323是
2
(3)〒()不是,0时值为负数
4
(4)厂—不不是,功率谱为复数,
(1)2
(6)e
(1)不是,非偶函数。
判断的原则:
实平稳信号功率谱是实的,非负的偶函数。
3.22X(t)是平稳随机过程,证明过程
Y(t)
X(tT)
X(t
)的
功率谱是
SY()
2SX(
)(1
cos
T)
3.22
E[Y(
t)]E[X(t
T)
X(t)]
2mx
RY()
EYt
Yt
E
X(tT)
X(t
)
X(t
T)X(t)
2RX
()RX(
T)RX(
T)
SY
2SX()
SX(
)ej
TSX
()ejT
2SX
()2SX(
)cos
T
2SX()(1cosT)
3.23
9e30
Rxy()00
求互谱密度Sxy()与Syx()
3.24
n
3.25设随机过程X(t)aiXi(t),式中ai
i1
是一组实常数。
而随机过程Xi(t)为平稳的和
n
彼此正交的。
试证明:
Sx()aS')
i1
3.25
RX()EXtXsEaiXi(t)ajXj(s)
i1j1
nnnn
EaajXi(t)Xj(s)aiajEX«t)Xj(s)
i1j1i1j1
n
a「E[Xi(t)Xi(s)]
i1
n
代()
i1
n
SXaiSXi()
i1
3.31假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位,如题图3.31所示,它在
t0时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,T)均匀分布的随机变量。
试说明X(t)的一
阶密度函数为
+X(t)
题图3.31
3.31
A
X(t)〒(Tt)
TAX(t)th(x)已知”U(O,T)
1
T(0T)
0(其它)
f(x;t)
f[h(x)]h(x)
-(0xT)A
0(其它)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 CH3 习题 答案