最新高中数学典型例题解析第二章+函数概念与基本初等函数优秀名师资料.docx
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最新高中数学典型例题解析第二章+函数概念与基本初等函数优秀名师资料.docx
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最新高中数学典型例题解析第二章+函数概念与基本初等函数优秀名师资料
(WORD)-高中数学典型例题解析:
第二章函数概念与基本初等函数
高中数学典型例题解析:
第二章函数概念与基本初
等函数
第二章函数概念与基本初等函数
?
2.1映射、函数、反函数
一、知识导学1.映射:
一般地,设A、B两个集合,如果按照某种对应法则
,对于集合A中的任何
一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作f:
A?
B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数:
设A,B都是非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素和它对应,且B中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数,记作yf(x).其中所有的输入值x组成的集合A称为函数yf(x)定义域.对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
3.反函数:
一般地,设函数y=f(x)(x?
A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出来,得到x=f-1(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x在A中都有唯一的值和它对应,那么x=f-1(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数叫做函数y=f(x)(x?
A)的反函数,记作x=f-1(y).我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f-1(x)反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识
(1)
与
是不同的,即
与
上有序的.或者说:
映射是有方向的,
(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说:
允许集合B中有剩留元素;允许多对一,不允许一对多.(3)集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
(1)对函数符号f(x)的理解知道y=f(x)与f(x)的含义是一样的,它们都表示
函数,其中是自变量,f(x)是函数值,连接的纽带是法则
.是单值对应.
是的
(2)注意定义中的集合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合;
(3)函数的三种表示法:
解析法,列表法,和图像法.
3.对反函数概念的认识
(1)函数y=f(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数;
(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得.
(3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于y=x对称.三、经典例题导讲[例1]设M,,a,b,c,,N,,,2,0,2,,求
(1)从M到N
的映射种数;
(2)从M到N的映射满足f(a)>f(b)?
f(c),试确定这样的映射f的种数.错解:
(1)由于M,,a,b,c,,N,,,2,0,2,,结合映射的概念,有a,2a,2a0a0a2a2
b0,b2,b2,b,2,b0,b,2,共6个映射
c2c2c,2c2c,2c0a2
(2)由
(1)得满足条件的映射仅有b0一种情况
c,2错因:
没有找全满足条件的映射个数,关健是对概念认识不清正解:
(1)由于M,,a,b,c,,N,,,2,0,2,,结合映射的概念,有
一共有27个映射a0a2a2a2
(2)符合条件的映射共有4
个,b,2,b,2,b0,b0,
c,2c,2c,2c0[例2]已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x,1)的定义域错解:
由于函数f(x)的定义域为[0,1],即0x1,1x,12
?
f(x,1)的定义域是[1,2]错因:
对函数定义域理解不透,不明白f(x)与f(u(x))定义域之间的区别与联系,其实在这里只要明白:
f(x)中x取值的范围与f(u(x))中式子u(x)的取值范围一致就好了.正解:
由于函数f(x)的定义域为[0,1],即0x1?
f(x,1)满足0x,11,1x0,?
f(x,1)的定义域是[,1,0]*[例3]已知:
xN,f(x)x,5
f(x,2)(x6)(x6),求f(3).
错解:
?
f(x)
x,5
x,3x,5f(x,2)(x6)(x6)(x6)(x6),?
f(x,2)(x,2),5x,3故f(x),?
f(3),3,3,0.错因:
没有理解分段函数的意义,f(3)的自变量是3,应代入f(x,2)中去,而不是代入x,5中,只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.
正解:
?
f(x)x,5
f(x,2)(x6)(x6),?
f(3),f(3,2)f(5),f(5,2)f(7),7-5,2
[例4]已知f(x)的反函数是f,1(x),如果f(x)与f
1(x)的图像有交点,那么交点必在直线yx上,判断此命题是否正确,
错解:
正确
错因:
对互为反函数的图像关于直线yx对称这一性质理解不深,比如函数y(1
16)与ylogx1
161111x的图像的交点中,点(,),()不在直线yx上,由此可以2442
说明“两互为反函数图像的交点必在直线yx上”是不正确的.
[例5]求函数yf(x)x2,4x,6,x[1,5)的值域.错解:
f
(1)12,41,63,f(5)52,45,611
11,又x[1,5),f(x)的值域是3,错因:
对函数定义中,输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应,错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.
2正解:
配方,得yf(x)x,4x,6(x,2),22
?
x[1,5),对称轴是x2?
当x2时,函数取最小值为f
(2)2,
f(x)f(5)1111,f(x)的值域是2,[例6]已知f(x)3x,4,求函数f,1(x,1)的解析式.错解:
由已知得f(x,1)3(x,1),43x,7
y3x,7,即x
y,73
,?
f
1
(x,1)
x,7
3
错因:
将函数f
1
(x,1)错误地认为是f(x,1)的反函数,是由于对函数表达式理解不透彻
1
所致,实际上f(x,1)与f再去得到f
1
(x,1)并不是互为反函数,一般地应该由f(x)先求f
1
(x),
(x,1).
正解:
因为f(x)3x,4的反函数为f
1
1
(x),
x,43
,
所以f(x,1),
(x,1),4
3
x,33
13
x,1
[例7]根据条件求下列各函数的解析式:
(1)已知f(x)是二次函数,若f(0)0,f(x,1)f(x),x,1,求f(x).
(2
)已知f,1)x,,求f(x)
1
(3)若f(x)满足f(x),2f()ax,求f(x)
x
解:
(1)本题知道函数的类型,可采用待定系数法求解
设f(x),ax2,bx,c
(a0)由于f(0)0得f(x)ax,bx,
2
又由f(x,1)f(x),x,1,?
a(x,1)2,b(x,1)ax2,bx,x,1即
ax,(2a,b)x,a,bax,(b,1)x,12a,bb,1
a0a,b1
2
2
ab
12
因此:
f(x),
12
x,
2
12
x
(2)本题属于复合函数解析式问题,可采用换元法求解设
u,1(x0),u,1(u1)
f(u)(u,1),2(u,1)u,1
2
?
f(x),x,1(x1)
2
2
(u1)
(3)由于f(x)为抽象函数,可以用消参法求解用
1x
代x可得:
f(),2f(x)a
x
1
11x
与f(x),2f()ax
x
联列可消去f()得:
f(x),
x
12a3x
3
点评:
求函数解析式
(1)若已知函数f(x)的类型,常采用待定系数法;
(2)若已知f[g(x)]
ax
.
表达式,常采用换元法或采用凑合法;(3)若为抽象函数,常采用代换后消参法.[例8]已知3x2,2y26x,试求x2,y2的最大值.
分析:
要求x2,y2的最大值,由已知条件很快将x2,y2变为一元二次函数
f(x),
12
(x,3),
2
92
然后求极值点的x值,联系到y
2
0,这一条件,既快又准地求
出最大值.
解由3x,2y6x得
y
2
22
2
32
x,3x.
2
y0,,
3232
x,3x0,0x2.
2
又x,yx,
222
x,3x,
2
12
(x,3),
2
92
22
当x2时,x,y有最大值,最大值为,
12
(2,3),
2
92
4.
点评:
上述解法观察到了隐蔽条件,体现了思维的深刻性.大部分学生的
作法如下:
由3x2,2y26x得y,
2
32
x,3x,
2
x,y
22
x,
2
32
x,3x,
2
12
(x,3),
2
92
22
当x3时,x,y取最大值,最大值为
9
2
这种解法由于忽略了y0这一条件,致使计算结果出现错误.因此,要注意审题,不仅能从表面形式上发现特点,而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件,既要注意主要的已知条件,又要注意次要条件,甚至有些问题的观察要从相应的图像着手,这样才能正确地解题..[例9]设f(x)是R上的函数,且满足f(0)1,并且对任意的实数x,y都有
f(x,y)f(x),y(2x,y,1),求f(x)的表达式.
2
解法一:
由f(0)1,f(x,y)f(x),y(2x,y,1),设xy,
得f(0)f(x),x(2x,x,1),所以f(x),x2,x,1
解法二:
令x0,得f(0,y)f(0),y(,y,1)
即f(,y)1,y(,y,1)又将,y用x代换到上式中得f(x),x2,x,1点评:
所给函数中含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.具体取什么特殊值,根据题目特征而定.
四、典型习题导练1.已知函数f(x),x?
F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x?
F}?
{(x,y)|x=1,中所含元素的个数是()
2.对函数f(x)3x2,ax,b作代换x=g(t),则总不改变f(x)值域的代换是()
A.g(t)log
tA.0B.1C.0或1D.1或212B.g(t)()21tC.g(t)=(t,1)2D.g(t)=cost
3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示,那么方程f(2,x,y)=0的曲线是()
ABCD
19
4.函数f(x),|x,n|的最小值为
i,1
A(190B.171C.90D.45
5.若函数f(x)=
A.3mx4x,334(x?
)在定义域内恒有f,f(x),=x,则m等于()3
22
6.已知函数f(x)满足:
f(a,b)f(a)f(b),f
(1)2,则B.C.,3D.
3
f
(1),f
(2)
f
(1)2,f
(2),f(4)
f(3)2,f(3),f(6)
f(5)2,f(4),f(8)
f(7)2
7.已知函数f(x)满足f(logax)=
8.已知函数f(x)是函数y
y4,3x
x,1aa,12(x,1x)(其中a>0,a?
1,x>0),求f(x)的表达式.210,1x,1(xR)的反函数,函数g(x)的图像与函数的图像关于直线y,x,1成轴对称图形,记F(x),f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的解析式及定义域;
(2)试问在函数F(x)的图像上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直,若存在,求出A、B两点的坐标;若不存在,说明理由.
?
2.2函数的性质
一、知识导学
1.函数的单调性:
(1)增函数:
一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1,x2时,都有f(x1) (2)减函数: 一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1,x2时,都有f(x1),f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函 数. (3)单调性(单调区间)如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的奇偶性: (1)奇函数: 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=,f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. (2)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. (3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说f(x)具有奇偶性. 3.函数的图像: 将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就 得到平面内的一个点(x0,f(x0)),当自变量取遍函数定义域内的每一个值时,就得到一系列 这样的点,所有这些点的集合(点集)组成的图形就是函数y=f(x)的图像. 二、疑难知识导析 1.对函数单调性的理解,函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论,函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质: 函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 3.用列表描点法总能作出函数的图像,但是不了解函数本身的特点,就无法了解函数图像的特点,如二次函数图像是抛物线,如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴,盲 目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的. 三、经典例题导讲 [例1]判断函数y(),x的单调性.31 错解: 011,x1,y()是减函数33 错因: 概念不清,导致判断错误.这是一个复合函数,而复合函数的单调性(或单调区间),仍是从基础函数的单调性(或单调区间)分析,但需注 意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为y3x,从而可判断出其单调性. 正解: 令t,x,则该函数在R上是减函数,又0 ? y()31,x11t1,y()在R上是减函数,33是增函数 [例2] 判断函数f(x)(1,x的奇偶性. 错解 : ? f(x)(1,x ? f(,x)f(x) ? f(x)(1,x 错因: 对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是: 函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解 : f(x)(1,x1,x 1,x0,1x1 即函数的定义域是,x,,1x1,,由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 [例3] 判断f(x)log2(x, 错解: ? f(,x)log2(,x,的奇偶性.(,x),1)log2(,x,2x,1)2 ? f(,x)f(x)且f(,x),f(x) 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 错因: 对数运算公式不熟悉,或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x),也可改为研究f(-x)+f(x)=0,f(-x)-f(x),0是否成立. 正解: 方法一: ? f(,x)log2(,x,(,x),1)log2(,x,2x,1)2 log1 2x,x,12,,log2(x,x,1),,f(x)2 ? f(x)是奇函数 方法二: ? f(x),f(,x)log2(x, log2[(x,x,1)(,x,22x,1),log2(,x,2x,1)2x,1)log210 f(,x),f(x)? f(x)是奇函数 [例4]函数y=5,4x,x的单调增区间是_________. 错解: 因为函数g(x)5,4x,x2的对称轴是x,2,图像是抛物线,开口向下,由图可知g(x)5,4x,x2在(,,,2]上是增函数,所以y=5,4x,x的增区间是(,,,2]错因: 在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法,但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,从而忽视了函数的定义域,导致了解题的错误.正解: y=5,4x,x的定义域是[,5,1],又g(x)5,4x,x 22222在区间[,5,,2]上增函数,在区间[,2,1]是减函数,所以y=5,4x,x的增区间是[,5,,2] [例5]已知奇函数f(x)是定义在(,3,3)上的减函数,且满足不等式f(x,3)+f(x2,3)<0,求x的取值范围. 错解: ? f(x)是奇函数,? f(x,3)<,f(x2,3)=f(3,x2),又f(x)在(,3,3)上是减函数, ? x,3>3,x2,即x2+x,6>0 解得x>2或x<,3 又f(x)是定义在(,3,3)上的函数, 所以2,x,3 错因: 只考虑到奇函数与单调性,而没有正确理解函数的定义域. 0x6,3x,33得正解: 由2,3x,33,6x,故0 又? f(x)是奇函数,? f(x,3)<,f(x2,3)=f(3,x2),又f(x)在(,3,3)上是减函数,? x,3>3,x2,即x2+x,6>0,解得x>2或x<,3,综上得2 [例6]作出下列函数的图像 (1)y=|x-2|(x,1); (2)y10|lgx|. 分析: 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难,除去对其函数性质分析外,我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解: (1)当x? 2时,即x-2? 0时, 当x,2时,即x-2,0时,所以129(x,),24y (x,1)2,9 24(x2)(x2) 这是分段函数,每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图) (2)当x? 1时,lgx? 0,y=10; 当0,x,1时,lgx,0,所以 这是分段函数,每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评: 作不熟悉的函数图像,可以变形成基本函数再作图,但要注意变形过程是否等价,要特别注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如: 一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数,及三角函数、反三角函数的图像. ax,1 x,2[例7]若f(x)=在区间(,2,,)上是增函数,求a的取值范围 ax1,1 x1,2ax2,1x2, 2解: 设,2x1x2,f(x1),f(x2), (ax1,1)(x2,2),(ax,1)(x,12)2 (x1,2)(x2,2) (ax1x2,2ax1,x2,2),(ax1x2,2ax2,x1,2) (x1,2)(x2,2) 2ax1,x1,2ax2,x2 (x1,2)(x2,2) ax,1x,2 (2a,1)(x1,x2)(x1,2)(x2,2) 由f(x)=在区间(,2,,)上是增函数得 12 f(x1),f(x2)02a,10? a, 点评: 有关于单调性的问题,当我们感觉陌生,不熟悉或走投无路时,回到单调性的定义上去,往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.[例8] 已知函数f(x)在(,1,1)上有定义,f(意x、y? (,1,1)都有f(x)+f(y)=f( x,y1,xy 12 )=,1,当且仅当0 ),试证明: (1)f(x)为奇函数; (2)f(x)在(,1,1)上单调递减解: 证明: (1)由f(x)+f(y)=f( x,y1,xy ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=,x,得f(x)+f(, x)=f( x,x1,x 2 )=f(0)=0.? f(x)=,f(,x).? f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0,1)上单调递减. 令0 x2,x11,x1x2 ) ? 0 x2,x1>0,1,x1x2>0,? x2,x11,x1x2 >0, 又(x2,x1),(1,x2x1)=(x2,1)(x1+1)<0? x2,x1<1,x2x1,? 0< x2,x11,x2x1 <1,由题意知f( x2,x11,x1x2 )<0, 即f(x2) ? f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.? f(x)在(,1,1)上为减函数. 点评: 本题知识依托: 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高.如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.对于 (1),获得f(0)的值进而取x=,y是解题关键;对于 (2),判定 x2,x11,x1x2 的范围是解题的焦点. 四、典型习题导练 1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下图中 y轴表示离学校的距离,x轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是 () 2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(,,0]上是减函数,且f (2)0,则使得()f(x)0的x的取值范围是 A.(,,2)B.(2,,)C.(,,,2)(2,,)D.(,2,2) x,2a)是奇函数,则a2 2 3.若函数f(x)logn(x,
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