微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧.docx
- 文档编号:26185207
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:57
- 大小:43.46KB
微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧.docx
《微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧.docx(57页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧
微分中值8定理与积分3定理及函数的9性质的综合证明题型与技巧
以下的连续函数在闭区间x∈[a,b]的基本定理(只与函数有关)共同条件:
闭连续
一)中值八定理
①x∈[a,b]⇒m≤f(x)≤M。
注意x∈[a,b]是闭区间。
介值定理
有界定理或最大值与最小值定理
②
●是介于
f(a)与
f(b)
⎡⎣f(a)≠
f(b),
≠f(a),
≠f(b)⎤⎦任一值,则必
∃∈(a,b)⇒f()=。
注意∈(a,b)是开区间。
●其推论是:
当m≤≤M,则必∃∈[a,b]⇒f()=。
∈[a,b]。
注意∈[a,b]是闭区间。
根值(零值)定理
③f(a)⋅f(b)<0,则
∃∈(a,b)⇒f()=0。
注意x∈(a,b)是开区间。
以下的闭区间连续函数有关导数定理共同条件:
闭连续开可导。
共同结论:
存在的量属于开区间。
费马定理
④x∈(x0-,x0+),
f(x)≥f(x0)或≤f(x0),如果f'(x0)存在,则
f'(x0)=0。
洛尔定理
⑤f(a)=f(b),则
∃∈(a,b)⇒
f'()=0
拉格朗日中值定理
⑥∃∈(a,b)⇒f(b)-f(a)=f'()(b-a)
柯西中值定理
⑦∃∈(a,b)⇒
f(b)-f(a)=
g(b)-g(a)
f'()
g'()
泰勒中值定理
⑧
∞1⎛∂⎫n12
f(x)=f(x0+h)=∑n!
çh∂x⎪
f(x0)+Rn=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f'(x0)(x-x0)
2!
+...+Rn
其中:
∙Rn=
f(n+1)()
(n+1)!
n=0⎝⎭
hn+1
为拉格朗日余项,介于x0
和x=x0+h之间,但不等于它们,
x0∈(a,b),
x∈(a,b),
令∈(0,1)⇒=x0+(x-x0)=x0+h=x0+(x)h;只要求在开区间(a,b)有直到n+1阶
导数;它不要求f(x)及其n阶导数在[a,b]上连续,而且不要求f(n+1)(x)的连续性。
(a)
如果增加条件f(x)在[a,b]连续⇒x0∈(a,b),
x∈[a,b];
(b)
如果条件增强为在[a,b]有直到n+1阶导数⇒x0∈[a,b],
x∈[a,b];
拉氏余项可用于区间[a,b]上,例如用于证明不等式和等式。
它的“短消息”形式为
f(x)=f(x0)+f'()(x-x0)就是拉格朗日中值定理。
f(x)=f(0)+xf'(0)+o(x)
∙
n
R=o(hn)
为佩亚若余项,它要求f(x)在(a,b)有直到
n阶导数,
f(n)(x)在(a,b)上连续。
它有一个隐含条件:
x→x0,故佩亚若余项仅能用于x0点的邻域,例如讨论极值
及求x→x0
的极限。
它的“短消息”形式为f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)。
当x0=0时,上述的拉氏余项和佩亚若余项形式的泰勒展开称为麦克劳林展开:
它们的“短消息”形式为
f(x)=f(0)+xf'()
f(x)=f(0)+xf'(0)+o(x)
评注:
上述展开的形式可以只含有一个导数项也可以含多个导数项,需根据具体的使用要求而定,我们必需注意什么情况下x可以取到区间的端点,这一点十分重要。
对二元函数具有类似的结论:
∞1⎛∂∂⎫n
f(x0+h;y0+k)=∑n!
çh∂x+k∂y⎪
f(x0,y0)+Rn
n=0⎝⎭
∞
几种常见函数的麦克劳林形式的泰勒展开:
①ex
=1+x+1x2
2!
+⋅⋅⋅=∑
1xn
x∈(-∞,+∞)
131
n=0n!
∞
5
kx2k+1
②sinx=x-x+x
3!
5!
+⋅⋅⋅=∑(-1)
k=0
(2k+1)!
x∈(-∞,+∞)
1
③cosx=-x2
2!
+1x4
4!
∞
⋅⋅⋅=∑(-1)n
n=0
x2n
(2n)!
x∈(-∞,+∞)
1
④ln(1+x)=x-x2
2
+1x3
3
∞
⋅⋅⋅=∑(-1)n
n=1
1xn+1x∈(-1,1]
n+1
1325
⎛⎫
⑤tanx=x+x+x+
315
x∈ç-,⎪
⎝22⎭
∞nx2n+1
131517
⑥arctanx=∑(-1)
n=0
=x-x+x-x+
2n+1357
x∈(-1,1)
(-1)2∞(-1)⋅⋅⋅(-k+1)k∞kk
⑦(1+x)
=1+x+
x+⋅⋅⋅=1+∑
2!
k=1
x=1+∑Cx
k!
k=1
二)积分三定理
保序定理
①
f(x)在[a,b]上连续,f(x)≥0,但不恒为零,则⎰bf(x)dx>0。
估值定理
a
b
②m(b-a)≤⎰a
f(x)dx≤M(b-a)
中值定理
b
⎰af(x)dx=f()(b-a)
bb
③
∈[a,b]
特别注意:
∈[a,b]属于闭区间。
⎰af(x)g(x)dx=f()⎰ag(x)dx
∈[a,b]。
三)函数九大性质(单,极,最,渐,周,偶,凹,凸,拐。
)详情见后。
评注:
上述定理或性质共20个是解决中值定理证明题的系统工程设施,知识繁复,纵横交错。
其中心问题是“玩点”,要细心辨析那些区间的端点或分界点在什么条件下可以取值,哪些不可以,读者不能含
糊,需要不遗余力反复历练,,这也正是这部分题难度大的主要原因。
四)等式的证明:
(陈氏三大原创技巧)
1.第一技巧:
寻找原模型
首先要从结论入手(一般学子习惯从条件入手,其实是误区)分析所要证明的结论符合微分中值
8大定理的哪个原始模型(寻找原模型),当然必须尽可能变换结论的等价形式才能靠上某一定理,其中最常用的技巧是:
构造辅助函数F(x)。
一旦能确定原模型,对比该定理的条件,从已知条件中
验证即可。
读者先不要急,具体例题我们会阐述具体做法,但以下三个原则需要注意。
①如只涉及非导数形式,应从闭区间连续函数的三大定理入手,优先考虑根值定理。
②如只涉及导数形式,应从闭区间连续函数中与导数有关的五个定理入手,优先考虑洛尔定理。
证明过程中,往往对两类定理同时考虑。
x
③两类定理的纽带是变限积分F(x)=⎰a
f(t)dt。
去掉变限积分众所周知采用求导法,去掉定积分常用
三个方法是:
积分中值,积分估值和泰勒中值。
2.第二技巧:
构造辅助函数F(x)
构造辅助函数F(x),然后再使用洛尔定理,是使用中值定理证明等式的主要技巧。
如被证明的等式含有复杂常数,并且变量与常数可以分离,则可令常数总体为k,以方便运算。
一般采用以下三种方法:
2.1.直接积分法:
第一步:
代换→x,如存在导数,则两边同时积分,取积分常数c=0;
第二步:
移项使等式右边为0,令左边等于辅助函数F(x);
第三步:
如需证明的等式中不含导数,则计算F(a)与F(b),如果F(a)⋅F(b)<0(注意:
等号不
成立),则可直接应用根值定理,否则,必须分割原区域[a,b]⇒[a,c]与[c,b]或[c,d]∈[a,b]称为辅助子区间,再验证子区间端点的函数值之积是否小于零,取条件点,使之满足根值定理F()=0;第四步:
如需证明的等式中含有二阶导数,则必须分割原区间[a,b]⇒[a,c]与[c,b]两个辅助子区
间,在不同的辅助区间上分别使用洛尔定理,如F'
(1)=0,F'
(2)=0,再在[1,2]使用洛尔定理得
a
F'()=0,对于二阶以上类推。
也可以构造变限积分形式的辅助函数F(x)=⎰xf(t)dt,由f(x)的
二阶可导推得F(x)三阶可导,即F'(x)存在。
1+x
1+x1+x
f(x)
⇒f'(x)=1⇒f(x)=ec⇒F(x)=f(x)
∙(1+)f'()=f()⇒(1+x)f'(x)=f(x)
⇒⎡⎣f(x)-x⎤⎦e-x=c⇒⎡⎣f(x)-x⎤⎦e-x=0⇒F(x)=⎡⎣f(x)-x⎤⎦e-x
⎥⎦
⎢⎣
⇒f(x)=e⎰dx⎡(1-x)e-⎰dx+c⎤⇒ex(xe-x+c)=cex+x
∙f'()-⎡⎣f()-⎤⎦=1⇒f'(x)-f(x)=1-x
常用积分法寻找原函数范例:
2.2.配全微分法
第一步:
移项或代换化简,观察得出全微分形式;第二步:
区域端点替换→x;
第三步:
如需证明等式,则利用洛尔定理;必要时再分割原区域,取条件点,使之满足洛尔定理;
如需证明不等式,则利用函数单调性。
常用配全微分法范例:
⎦
⎣
f(x)x
⎦
⎥=0⇒F(x)=
x
⎣
⎡f(x)⎤'
'
f()-f()=0⇒⎢
∙
∙f'()=k⇒f'(x)-k=0⇒⎡⎣f(x)-kx⎤⎦'=0⇒F(x)=f(x)-kx
∙f'()=kf()⇒f'(x)-kf(x)=0⇒⎣⎡e-kxf(x)⎤⎦'=0⇒F(x)=e-kxf(x)
∙f()g'()=f'()⇒f(x)g'(x)-f'(x)=0⇒⎡e-g(x)f(x)⎤'=0⇒F(x)=e-g(x)f(x)
∙f'()=1+(f()-)⇒⎡⎣e-(f()-)⎤⎦'=0⇒F(x)=e-x(f(x)-x)
()
'
2
()
=0⇒Fx=xfx
'
⎦
⎤
()
'
2
xfx
⎣
0⇒
()
'
()
∙2f'+f=
2
1+x
x
()
fx-
()
=0⇒Fx=
⎥
2
1+x
x⎤'
()
⎣
2
)
2
=0⇒fx-
1+
(
⎡
1-2
()
∙f'-
2.3.双元拉柯法(一般适应于被证明的等式中含有两个变量,如,等):
第一步:
观察设置一个或两个具体辅助函数;
第二步:
利用“双元拉柯法”,即:
两次拉氏中值定理或两次柯西中值定理或一次拉氏中值定理和一次柯西中值定理。
如遇到闭区间上可导的条件或二阶以上导数存在或遇到求极限问题,采用泰勒中值定理。
3.第三技巧:
泰勒中值法
主要适用于闭区间上存在高阶连续导数(一般的中值定理条件只是开区间上可导,注意这一特征)或
已知f(x0),f'(x0),f'(x0)的情形,另外,在去掉定积分符号方面也经常应用。
【例1】
f(x)在[0,2a]上连续,且
f(0)=
f(2a),证明:
在[0,a]上至少存在一点
⇒f()=f(+a)
证明:
变换结论
f()=
f(+a)⇒
f()-f(+a)=0⇒
f(x)-f(x+a)=0⇒F(x)=0
原模型就是零值定理的结论。
构造辅助函数:
F(x)=f(x+a)-f(x)
∵F(x)在[0,2a]上连续,则F(x)在[0,a]上连续
且
F(0)=
f(a)-f(0)
F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)
∴当f(0)-f(a)=0时,0或a均可取作(因为零值定理条件中没有等号。
)如f(0)-f(a)≠0,有
F(0)F(a)=-[f(0)-f(a)]2<0
1
由零值定理,∃使F()=0
∈(0,a)
故原命题成立。
【例2】设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,f(0)=0,
f
(1)=1
⎰0f(x)dx=2
试证;∃∈(0,1)⇒f'()=0。
证明:
原模型是洛尔定理或费马定理,但由于f(0)≠f
(1),而有效子区间不易求出,故洛尔定理不适
用,可考虑费马定理。
1
由积分中值定理,⎰0f(x)dx=2⇒f()=2,
∈(0,1)
而f(0)=0,
f
(1)=1,可见,f(0),
f
(1)不是f(x)在[0,1]上的最大值。
{}
即:
∃∈(0,1)⇒f()=maxf(x)即为x的最大值,也是极大值之一,又由于f'()∃,
0≤x≤1
由费马定理得:
∃∈(0,1)⇒f'()=0。
【例3】若f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=f
(1)=f'
(1)=0,设F(x)=x3f(x),试证在(0,1)内至少∃一个,使F'()=0
证明:
变换结论F'()=0⇒[F'(x)]'=0或F'()=0⇒[F'(x)]'=0⇒用两次[F'(x)]'=0,原模型是洛尔定理。
F'(x)=3x2f(x)+x3f'(x),F'(x)=6xf+6x2f'+x3f'
F'(0)=0,F'
(1)=0⇒F'(0)=F'
(1)⇒在(0,1)∃1⇒F'
(1)=0
(洛尔定理)
又F'(0)=0,F'
(1)=0⇒F'(0)=F'
(1)
⇒∃∈(0,1)⊂(0,1)⇒F'''()=0(洛尔定理)
【例4】设f(x)在区间[-a,
a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0,证明:
⎰
∃∈[-a,a],使a3f''()=3a
-a
f(x)dx
证明:
题中有闭区间上二阶可导的特征,需使用拉格朗日余项的泰勒中值定理展开到二阶。
f(x)=f(0)+f'(0)x+
f'()x2=f'(0)x+1f'()x2
2!
2
而最值定理有:
m≤f'(x)≤M
a2a
m⎰xdx≤⎰f(x)dx=⎰
f'(0)xdx+1⎰ax2f''()dx≤M⎰ax2dx
a
0-a-a
a
⇒m≤3f(x)≤M
2-a0
a3⎰-a
3af(x)就相当于某一个值
a3⎰-a
故由介值定理及其推论,∃∈[-a,a]使
f'()=3
a
f(x)dx
⎰
∴a3f'()=3a
-a
f(x)dx
a3⎰-a
1
【例5】设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f
(1)=0,f()=1
2
试证:
∃∈(0,1),使
f'()=1。
解:
分析
f'()=1⇒
f'(x)=1⇒f(x)=x+C⇒f(x)-x=0
故可令
F(x)=f(x)-x
又F
(1)=f
(1)-1=-1<0
11111
F()=f()-=1-=>022222
由零值定理
∃∈⎛1,1⎫⇒F()=0
ç2⎪
又F(0)=
⎝⎭
f(0)-0=0;∃∈[0,]
由洛尔定理
F'()=0⇒
f'()=1
【例6】设f(x),
g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=
f(b)=0.
证明:
至少∃一个∈(a,b),使
f'()+f()g'()=0
证明:
积分法构造辅助函数
分析:
f'(x)+f(x)g'(x)=0⇒
f'(x)=-g'(x)
f(x)
⇒lnf(x)=-g(x)+C⇒
f(x)=ce-g(x)⇒
f(x)eg(x)=C=0
故可令
F(x)=
f(x)eg(x)
F(a)=0,f(b)=0
∃∈(a,b)⇒F'()=0⇒f'()+f()g'()=0
⎰
1
【例7】设f(x)在[0,1]上可导,且满足关系式f
(1)-22xf(x)dx=0
0
证明:
在(0,1)内至少∃一个ξ,使f'()=-
证明:
积分法构造辅助函数。
f()
f'(x)=-f(x)⇒
f'(x)=-1
xf(x)x
⇒lnf(x)=-lnx+lnc⇒f(x)=c⇒xf(x)=C=0
x
故可令
F(x)=xf(x)
111
f
(1)=2⎰2xf(x)dx=2f()(-0)=f()∈(0,)
022
F
(1)=1⋅f
(1)=f()(0≤≤1),
2
又F()=f()=F
(1)
⇒F
(1)=F()
∃∈(,1)⊂(0,1)⇒F'()=0⇒f()+f'()=0
【例8】设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,
b)可导,证明在(a,
b)内至少∃一个,使
bf(b)-af(a)=
b-a
f()+f'()。
解:
由于结论左边存在一大堆常数,为方便计算,可定其为k。
再使用积分法构造辅助函数。
bf(b)-af(a)=k⇒f()+f'()=k⇒
b-a
f(x)+xf'(x)=k
⇒d[xf(x)]=k⇒xf(x)=kx+c⇒xf(x)-kx=cdx
故可令F(x)=xf(x)-kx
bf(b)-af(a)abf(a)-a2f(a)-abf(a)+a2f(a)
F(a)=af(a)-⋅a==0
b-ab-a
F(b)=bf(b)-bf(b)-af(a)⋅b=0
b-a
由洛尔定理⇒∃一个∈(a,b)⇒F'()=0⇒命题约证
【例9】若
f(x)在[0,a]上可导(a>0),且
f(0)=1,f(a)=0;证明:
在(0,a)内必存在
x 1212a2 证明: 被证明的结果有两个变量,原模型为双元拉柯型。 分析: 设[0,a]⇒[0,]+[,a] f'(x)= f()-f(0)= f()-1; f'(x)= f(a)-f()= f() 1-02a--a ⇒f'(x1)f'(x2)= f()-1⋅f()=1⇔ -aa2 f()=;f()-1=-1=-aaaa ⇒得辅助函数F(x)=f(x)-x a 问题是能不能找到这样的,∈(0,a)⇒ 自然想到原模型为零值定理: x f()= a 只要设: F(x)= f(x)-,则 a F(0)=f(0)=1>0;F(a)= f(a)-a=-1<0 a ⇒F()=0,∈(0,a) 于是,原命题得证。 3 【例10】(a)证明积分中值定理: 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分 中值 定理 全部 基础理论 常见 优秀 题型 解法 技巧