电路的数学模型.docx
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电路的数学模型.docx
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电路的数学模型
第一讲电路的数学模型、电压与电流
时间:
2学时
重点和难点:
电压与电流的参考方向;实际方向与参考方向。
目的:
让学生熟悉电路组成、功能、根本物理量,通过演示和录象掌握参考方向与实际方向的关系。
教学方法:
多媒体演示、课堂讲授
主要教学内容:
一、电路和电路模型:
1、电路的定义:
电路是由一些电气器件或设备以一定的方式联接,构成电流可以流通的路径,以完成能量的传输、转换或信息的处理、传递。
2、电路的组成:
不管是简单电路,还是复杂电路,一般都是由电源、负载及中间环节三局部组成。
3、电路的作用:
1〕电源是供应电能或发出电信号的设备,它把其他形式的能量转换成电能,或者把电能转换成某种形式的电信号;
2〕负载是用电或接收电信号的设备,它把电能转换成其他形式的能量;
3〕中间环节是传递、分配和控制电能或电信号的局部,它的一端联接电源,另一端联接负载。
4、电路模型:
由于构成电路的实际电气器件或设备中所发生的物理过程是较复杂的,为了研究这些电气器件或设备及其组成的电路的性质及功能,通常采用将实际电气器件或设备作某种近似和理想化,抽象为一些足以表征其主要作用的模型——理想电路元件。
例如,将主要消耗电能的实际电气器件或设备,抽象为只耗能的理想电阻元件R;将主要储存电场能量的实际电气器件或设备,抽象为只储存电场能量的理想电容元件C;将主要储存磁场能量的实际电气器件或设备,抽象为只储存磁场能量的理想电感元件L。
用电阻、电容、电感等理想电路元件来近似和理想化电路中的每一个实际电气器件或设备,再根据这些器件或设备在电路中的联
接方式,用理想导线将它们联接起来,就得到了该电路的电路模型
5、电路的分类:
电路可分为集中参数电路和分布参数电路两种。
1〕集中参数电路是指电路本身的几何尺寸相对于电路的工作频率所对应的
波长小得多,以至在分析电路时可以忽略元件和电路本身的几何尺寸的电路。
集
中参数电路按其元件参数是否为常数,又可分为线性电路和非线性电路。
2〕分布参数电路是指电路本身的几何尺寸相对于工作波长不可忽略的电路。
二、、电路的根本物理量
1、电流
1〕定义:
电荷有序定向的移动形成电流,其大小用电流强度表示,它在数值上等于单位时间内通过导体某一截面的电荷量。
由于电流强度通常简称为电流,因此“电流〞一词就有两层含义:
一是指电荷有序定向移动这一物理现象;二是指电流强度这个物理量。
2〕表示:
大小和方向都不随时间变化的电流称为稳恒电流,或直流电流。
其电流强度用字母I表示,即:
l=Q/t;而大小和方向都随时间周期性变化,且在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电流。
其电流强度用字母1表示,即:
i=dq/dt。
3〕单位:
在国际单位制〔SI〕中,时间t的单位是秒〔s〕,电荷量Q或q的单位是库伦〔C〕,电流I或1的单位是安培〔A〕。
根据实际需要,电流的单位还可以用千安〔kA〕、毫安〔mA〕、微安〔卜〕等,它们与安培〔A〕的关系是:
1kA=103A,1mA=10-3A,1pA=10-6A
4〕方向:
a〕实际方向:
人们习惯上以正电荷运动的方向〔负电荷或电子运动的反方向〕规定为电流
的实际方向。
b〕参考方向:
为了便于分析、计算电路,引入电流参考方向的概念。
我们可以任意选定一
个方向作为某支路电流的参考方向,也称为正方向,并用箭头表示在该支路上,以此参考方向作为分析、计算电路的依据。
电流的参考方向是分析、计算电路的重要概念,在不规定参考方向的情况下,电流的正或负毫无意义。
c〕实际方向与参考方向的关系:
当在设定的参考方向下,对某支路电流进行分析、计算之后,假设电流为正值,那么说明实际的电流方向与设定的参考方向一致;反之,假设电流为负值,那么说明实际的电流方向与设定的参考方向相反。
2、电压
1〕定义:
在电场中,a、b两点间的电压在数值上等于电场力将单位正电荷从a点移到b点所做的功。
2〕表示:
大小和极性都不随时间变化的电压称为恒稳电压或直流电压,用Uab表示,即:
Uab=A/Q
而大小和极性都随时间周期性变化的电压称为交流电压,用uab表示,即:
uab=dA/dq。
3〕单位:
在SI中,功A的单位是焦耳〔J〕,电压Uab〔电位Ua〕的单位是伏特〔V〕。
4〕方向:
a〕实际方向:
电压的实际方向是由高电位指向低电位。
在电路图上,两点间电压的实际方向常用一种说明极性的方法来表示,即在高电位点标以“+〞号并称此点为正极;反之,在低电位点标以“-〞号并称此点为负极。
这种按两点电位的实际上下所标的极性称为电压的实际极性。
b〕参考方向:
在一段电路中,任意选定两点用“+〞、“-〞号标定正、负极,这就是任意
选定的电压参考极性,由正极指向负极的方向称为电压的参考方向〔用箭头表示〕。
电压的参考方向也可以用双下标表示,即Uab
c〕实际方向与参考方向的关系:
当在设定的参考方向下,对某支路电流进行分析、计算之后,假设电流为正值,那么说明实际的电流方向与设定的参考方向一致;反之,假设电流为负值,那么说明实际的电流方向与设定的参考方向相反。
3、电流参考方向与电压参考方向间的关系:
电流参考方向与电压参考方向的选定本是相互独立的,但为了方便起见,一般常取两者一致,即电流的参考方向由电压参考极性的正极“+〞指向负极“-〞。
电流和电压的这种参考方向称为关联参考方向。
一般情况下,电路中电流和电压的参考方向都按关联参考方向标定,且参考方向一经选定,在电路分析计算过程中不应改变。
需要指出的是,在电路中所有标有方向的电流、电压均为电流、电压的参考方向,而不是指实际方向。
4、电位
1〕定义:
假设在电场或电路中任取一点为参考点,那么由a点到参考点的电压称为a点的电位,用Ua表示。
电位参考点可以任意选取,工程上常选取大地、设备外壳或接地点作为参考点,并将参考点的电位规定为零。
2〕电位与电压间的关系:
a、b两点之间的电压也等于这两点之间的电位差,即
uab=Ua-Ub
当电路一定时,电路中各点之间的电压是一定的,而各点的电位那么是相对的,视参考点而定。
只有在参考点选定之后,电路中各点的电位才有一定的数值。
也就是说,参考点的选取不同,各点的电位也随之改变,但两点之间的电压〔即电位差〕是不变的。
在电路分析计算中,参考点一旦选定,就不再改变。
5、电动势:
在电源内部,外力将单位正电荷由电源的负极移到正极所做的功称为电源的
电动势e,其单位与电压一样。
由于电动势的实际方向是由负极指向正极,即由低电位指向高电位,正好与电压的实际方向相反,所以在电源两端选定的电压参考方向与电动势参考方向总是相反。
6、电功率、电能量
1〕电功率
电场力推动正电荷在电路中运动时,电场力做功,同时电路吸收电能,电路
在单位时间内吸收的电能称为电路吸收的电功率,简称为功率。
设有一段电路ab,其电流、电压的参考方向为关联参考方向,在dt时间内通过电路ab的电荷量为dq=idt,dq的电荷量由a端移到b端,电场力做的功为dw/^udq,即在此过程中,电路吸收的电能为
dw/=uidt
电路吸收的功率p为
p=dw/dt=ui
可见,当电流、电压取关联参考方向时,这段电路ab吸收的功率等于u与
i两者的乘积,且假设p>0,那么电路实际吸收功率;假设pvO,贝皿路实际发出功率。
反之,当电流、电压的参考方向非关联时,假设p>0,那么电路实际发出功
率;假设pvO,那么电路实际吸收功率。
在SI中,功率p的单位是瓦特〔W,工程上常用的功率单位还有兆瓦〔MW、千瓦〔kW、毫瓦〔mW等。
2〕电能
电能是功率对时间的积分,由to到t时间内电路吸收的电能为
tt
Wpdtuidt
t0"to
在SI中,电能W的单位是焦耳〔J、,它等于功率为1W的用电设备在1s内消耗的电能。
工程上和生活中还常用千瓦小时〔kWh作为电能的单位,1kWh也称为1度电。
第二讲电阻、电容、电感元件及其特性
时间:
2学时
重点和难点:
电阻、电容、电感元件的电压电流关系。
目的:
让学生掌握电阻、电容、电感元件的参数及特性,理解并建立各元件电量之间的关系,掌握额定值的概念。
教学方法:
多媒体演示、课堂讲授
主要教学内容:
一、电阻元件
1、定义:
电阻元件是一种最常见的电路元件,它具有阻碍电流流动和将电能转化为热能的物理性质。
电阻元件的特性可以用其端钮处的电压—电流关系来表征。
这种关系可以通过实验得到,称为伏安关系或伏安特性,简写为VAR。
通常,电压、电流取关
联参考方向,在u—i坐标平面上画出表示元件伏安关系的曲线。
一般电阻元件的伏安关系曲线都通过坐标原点并处于一、三象限,这说明电阻元件中的电流与电压的实际方向相同。
2、分类:
1〕线性电阻
a〕线性电阻作为一种理想电路元件。
线性电阻的伏安关系是一条过原点的
直线,所以在该直线上任意一点的电压、电流之比均等于该直线的斜率tana,
它是一个与电压、电流无关的常数,把这个常数定义为线性电阻元件的电阻R。
其数学表达式为
u=Ri
或i=Gu
式中R为元件的电阻,G为元件的电导。
在SI中,电阻R的单位是欧姆〔Q〕,电导G的单位是西门子〔S〕,R和G
的关系为G=1/R。
b〕线性电阻元件消耗的能量
当任何一个元件的电压电流取关联的参考方向时,该元件吸收的功率为p=ui。
所以,线性电阻元件所吸收的功率为
p=ui=Ri=i/G
或p=ui=u2/R=Gif
实际的电阻器件及由此抽象而来的电阻元件总是吸收功率,不可能发出功率,即电阻元件是吸收电能的耗能元件,其消耗的能量为
t七2七2
W=pdt=RidtGudt
to5"t。
当电阻元件通过直流时,i=I,那么上式可简化为
WPT=ri2t=gUt
2〕非线性电阻
非线性电阻由于伏安关系是一条过原点的曲线,说明它的电压电流之间不存在正比关系,即电阻不是常数,一般不能用数学式子表示。
由于非线性电阻的阻值不是常数,在分析、计算非线性电路时,一般采用图解法。
二、电容元件
1、线性电容:
电容元件也是一种常用的电路元件,它具有存储和释放电场能量的物理性质。
但凡带电导体与电解质存在的场合,都可以用电容元件来描述储存电场能量的物理现象。
假设在电容元件两端电压u的参考方向给定的情况下,以q表示参考正电位极板上的电荷量,那么电容元件的电荷量与电压之间的关系是
q=Cu或u=q/C
式中C表示电容元件存储电荷能力大小的物理量,称为电容量,简称为电容。
当电容元件是线性元件时,电容C是不随u和q改变的常数,称为线性电容,其定义式为
C=q/u
在SI中,电容C的单位是法拉〔F〕。
常用的电容单位还有微法〔尸〕、皮法〔pF〕等,它们与法拉〔F〕的关系是
-6-12
1折=106F,1pF=10F
电容元件也常用符号C来表示,这样C既表示电容元件,又表示其参数〔电容量〕。
2、电容元件的电压电流关系:
电容元件的电压、电流取关联参考方向,设电压电流为时间函数。
当电压u变化时,极板上的电荷量q也随之变化,于是在电容元件C中产生了电流〔位移电流〕,即:
i七竺
dt
该式称为电容元件的VAR,电流的大小和方向取决于电压对时间的变化率。
当电压增大时,du/dt>0,那么i>0,dq/dt>0,极板上的电荷量增加,电容元件充电;当电压减小时,du/dt<0,那么i<0,dq/dt<0,极板上的电荷量减少,电容元件放电;当电压不随时间变化时,du/dt=0,那么:
=0,dq/dt=0,极板上电荷量不变,这时电容元件相当于开关断开一样〔开路〕,故电容元件有隔断直流的作用。
3、电容元件储存的能量:
在电压电流取关联参考方向的情况下,任一瞬间电容元件吸收的功率为
du
p=ui=Cu——
dt
在dt时间内,电容元件吸收的能量为
dw=pdt=Cudu
设上=0时,0,那么从0到t时间内,电容元件吸收的能量为
tuu12
W=ppdt=0Cudu=C0udu=~2Cu
即
12
W=2Cu2
上式中,假设p>0,说明电压电流的实际方向相同,电容元件在吸收能量;假设p<0,说明电压电流的实际方向相反,电容元件在释放能量。
所以电容元件是储能元件。
三、电感元件
1、线性电感:
电感元件是实际线圈的理想化模型,它具有储存和释放磁场能量的物理性质。
但凡电流及其磁场存在的场合,总可以用电感元件来描述存储磁场能量的物理现象。
由电磁学知识可知,当在N匝线圈中通以电流i时,便产生了磁通©,那么线圈
各匝磁通的总和称为磁链书,即
书=N©
由于磁链书是由电流i产生的,所以书是i的函数,即
书=Li
且两者相关联的参考方向应满足右手螺旋定那么。
式中L表示线圈产生磁链能力大小的物理量,称为线圈的电感。
电感是线圈的固有参数,它只与线圈的几何尺寸、匝数及线圈所包围的介质种类有关,而与电流无关。
当电感元件是线性元件时,介质为非铁磁体,那么电感L为常数,称为线性电感,其定义是为
L之/i
在SI中,磁通©和磁链书的单位都是韦伯〔Wb〕,电感L的单位是亨利〔H〕0常用的电感单位还有毫亨〔mH〕、微亨〔田〕等,它们与亨利〔H〕的关系是
-3-6
1mH=103H,1pH=106H
电感元件也常用符号L来表示,这样L既表示电感元件,又表示其参数〔电感〕
2、电感元件的电压电流关系:
由电磁学中电磁感应定律可知,当线圈内有电流变化时,就会引起其磁通的变化,从而在线圈内产生感应电动势,其大小和方向仍遵循电磁感应定律。
楞次定律的内容此时可写成“感应电动势总是阻碍原电流的变化。
〞
线性电感元件的电流电压取关联参考方向,电动势的参考方向与电压参考方
向取一致,且它们均为时间的函数。
由楞次定律可知
d甲,di
eL
dtdt
根据参考方向:
u=—e
所以电感元件的电压电流之间关系为
di
u=L-
dt
上式称为电感元件的VAR,电压的大小和方向取决于电流对时间的变化率。
当电流增加时,di/dt>0,贝Uu>0;当电流减少时,di/dtvO,贝Uu<0;当电流不随时间变化时,di/dt二0,那么u=0,这时电感元件相当于开关闭合一样〔短路〕。
3、电感元件储存的能量:
在电流电压取关联参考方向的情况下,任一瞬间电感元件吸收的功率为..di
p=ui=Li—
dt
在dt时间内,电感元件吸收的能量为
dw=pdt=Lidi
设上=0时,i=0,那么从0到t时间内,电感元件吸收的能量为
tii12
W=opdt=oLidii=L°idi=三Li2即
12
W=2Li
上式中,假设p>0,说明电压电流的实际方向相同,电感元件在吸收能量;假设p<0,
说明电压电流的实际方向相反,电感元件在释放能量。
所以电感元件是储能元件。
第三讲基尔霍夫定律
时间:
2学时
重点和难点:
KVL、KCL及其应用
目的:
让学生掌握欧姆定律,掌握基尔霍夫电流定律、电流连续性原理和电荷守恒原理,掌握电流定律由节点推广到任意闭合面的应用,掌握基尔霍夫电压定律及其推广、应用。
教学方法:
课堂讲授
主要教学内容:
一、电路中的名词
1、支路:
电路中流过同一电流的一个或几个元件联接成的分支称为支路。
2、节点:
电路中三条或三条以上支路的联接点称为节点。
3、回路:
电路中的任意闭合路径称为回路。
4、网孔:
将电路画在平面上,内部不含任何支路的回路称为网孔。
二、基尔霍夫定律
1、基尔霍夫定律:
电路元件的伏安关系反映元件本身的电压、电流之间的关系。
而由电路元件所组成的电路中电压、电流之间也应遵循一个根本规律,这就是基尔霍夫定律。
基尔霍夫定律是任何集中参数电路都适用的根本定律,是分析电路的根底。
2、基尔霍夫电流定律KCL:
基尔霍夫电流定律又称基尔霍夫第一定律,简写为KCL,它是描述同一节点处支路电流之间关系的定律。
由于电流的连续性,电路中任何一点均不能堆积电荷,因而在任一瞬间,流出某一节点的电流之和应等于流入该节点的电流之和。
假设规定流出节点的电流取“+〞号,流入节点的电流取“-〞号,那么基尔霍夫电流定律就可表述为:
对于任何集中参数电路,在任一瞬间,通过某节点的电流的代数和恒等于零,其数学表达式为
i=0
基尔霍夫电流定律不仅适用于节点,也适用于任意假想的封闭面,即通过任一封闭面的电流的代数和也恒等于零。
这种假想的封闭面有时也称电路的广义节点。
3、基尔霍夫电压定律KVL
基尔霍夫电压定律又称基尔霍夫第二定律,简写为KVL,它是描述同一回
路中各支路电压之间关系的定律。
由于电位的单值性,从电路中任一点出发,沿任一闭合路径绕行一周,其间所有电位升高之和等于电位降低之和,即电位的变
化等于零。
假设规定电位降低的电压取“+〞号,电位升高的电压取“一〞号,那么基尔霍夫电压定律就可表述为:
对于任何集中参数电路,在任一瞬间,沿某一回路的全部支路电压的代数和恒等于零,其数学表达式为
基尔霍夫电压定律不仅适用于闭合回路,也适用于任意假想的回路,即沿任一假想回路的各段电压的代数和也恒等于零。
4、说明:
根据KCL列写的节点电流方程,仅与该节点所联接的支路电流及其参考方向有关,而与支路中元件的性质无关;根据KVL列写的回路电压方程,仅与绕行方向、回路所包含的电压及其参考方向有关,而与回路中元件的性质无关;KCL
和KVL适用于任何集中参数电路。
三、例题:
解:
由KCL可得
ii+i2—i3—i4+i5=0
i5=i3+i4—ii—i2=(—3)+4—1—(—2)=2A
i5为正值,说明它的实际方向与图中所假设的参考方向一致。
例2:
在图所示某复杂电路中的一个闭合电路中,Ui=4V,U3=3V,U4=—
9V,求
(1)U2
(2)U5。
%
解:
(1)由a点出发,顺时针方向绕行一周,根据KVL可得
U1+U2—U3—U4=0
那么
U2=U3+U4—U1=3+(—9)—4=—10V
U2为负值,说明它的实际极性与图中所假设的极性相反。
(2)abda虽然不是闭合回路,也可以应用KVL,有
U1—U5—U4=0
那么
U5=U1—U4=4—(—9)=13V
如果沿着bcdb路径,可得
U2—U3+U5=0
那么
U5=U3—U2=3—(—10)=13V
可见,沿两条路经计算的结果是一样的
第四讲电路的独立电源电功率电路的工作状态
时间:
2学时
重点和难点:
电压源、电流源及其特性,实际电源模型与外特性;电路开路工作状态伏安各器件电压关系
目的:
让学生掌握电路的三种工作状态,掌握电压源与电流源的模型、伏安特性和外特性,了解实际电源与理想电源的区别与联系。
教学方法:
多媒体演示、课堂讲授
主要教学内容:
一、独立电源:
所谓独立电源是指其对外特性由电源本身的参数决定,而不受电源之外的其它参数控制。
1、独立电压源:
1〕理想电压源及其伏安特性
a〕定义:
理想电压源又称恒压源,是由内部损耗很小,以至可以忽略的实际电源抽象得到的理想化二端电路元件〔所谓二端电路元件是指有两个端钮与外部相连的电路元件〕。
其定义是:
在任一瞬间,能够在两个端钮间提供一个确定电压〔此电压或者恒定不变,或者按某一特定规律随时间变化〕的二端电路元件,称为理想电压源。
b〕特点:
理想电压源具备两个最根本的特点,一是其端电压与外电路无关,二是其电流可以是任意的,随着它联接的外电路的不同而不同。
c〕伏安特性:
直流理想电压源的伏安关系是一条与电流轴平行的直线,其纵坐标为直流理
想电压源的电压参数Us。
它说明,无论直流理想电压源的电流为何值,其两端电压总保持不变,而它的电流和功率那么由外电路确定。
(a)
图直流理想电压源及其伏安关系
d)功率:
理想电压源作为一个电路元件,可以向外电路发出功率,也可以从外电路吸收功率。
在其电压u、电流i取关联参考方向的情况下,也满足p=ui。
当p>0时,理想电压源实际吸收功率;当p<0时,理想电压源实际对外发出功率。
2)实际电压源模型及伏安特性
a)定义:
理想电压源实际上是不存在的,无论是哪一种实际电压源,其产生的电压都不会全部输送出去,内部要损失一小局部。
也就是说,实际电压源存在内阻,且起着分压作用。
所以,通常用理想电压源和内阻相串联来表征实际电压源。
b)伏安特性:
实际电压源提供应外电路的电压等于Us减去电源内阻上的分压IRs,内阻越小,所分电压越小,提供应外电路的电压就越大。
当Rs=0时,U=Us,实际电压源就成为理想电压源。
实际电压源的数学表达式为:
U=Us—RsI
+
+i
<
u*
u~u^
1
r
-^ocI
⑹(b)
图实际电源的电压源模型及其外特性
2、独立电流源:
1〕理想电流源及其伏安特性
a〕定义:
理想电流源又称恒流源,也是由实际电源抽象得到的理想化二端电路元件。
其定义是:
在任一瞬间,能够提供一个确定电流〔此电流或者恒定不变,或者按某一特定规律随时间变化〕的二端电路元件,称为理想电流源。
b〕特点:
理想电流源具备两个最根本的特点,一是其电流与外电路无关,二是其端电压可以是任意的,随着它联接的外电路的不同而不同。
c〕伏安特性:
直流理想电流源的伏安关系是一条与电压轴平行的直线,其横坐标为直流理
想电流源的电流参数Is。
它说明,无论直流理想电流源的端电压为何值,其电流总保持不变,而它的端电压和功率那么由外电路确定。
I
―•~+U
:
-—QRI
〔a〕⑹
图直流理想电流源及其伏安关系
d〕功率:
理想电流源作为一个电路元件,当然也有吸收功率和发出功率之分,其分析与计算同理想电压源。
2〕实际电流源模型及伏安特性
a〕定义:
与理想电压源一样,理想电流源实际上也是不存在的,无论是哪一种实际电流源,其产生的电流都不会全部输送出去,内部要损失一小局部。
也就是说,实际电流源内部存在内阻,且起着分流作用。
所以,通常用理想电流源和内阻相并联来表征实际电流源。
b〕伏安特性:
实际电流源提供应外电路的电流等于Is减去电源内阻上的分流U/Rs,内阻越大,所分电流越小,提供应外电路的电流就越大。
当Rs-:
时,l=ls,实际电
流源就成为理想电流源。
实际电流源的数学表达式为:
l=ls—U/Rs
(a)(b)
图实际电源的电流源模型及其外特性
二、电路的工作状态
1、电路的工作状态:
在电路分析过程中,根据电源与负载的联接情况,常将电路分为短路、开路和
额定工作状态。
2、短路状态:
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- 电路 数学模型