初值问题地Euler方法和梯形法.docx
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初值问题地Euler方法和梯形法
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013专业班信计02
学生姓名学号
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室:
数统学院实验时间:
2016年月日
实验项目
名称
初值问题的Euler方法和梯形法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
一.实验目的
通过该实验,要求学生掌握求解初值问题的欧拉法和梯形法,并能通过计算机语言编程实现这两种算法。
二.实验内容
考虑如下的初值问题:
该问题有解析解
。
1.用欧拉法求解该问题,取步长
,将3种步长的计算结果(
时刻的计算结果),解析结果和相应的绝对误差列表显示。
2.用梯形法求解该问题,取步长
,将3种步长的计算结果(
时刻的计算结果),解析结果和相应的绝对误差列表显示。
3.在同一种方法下,请说明哪种网格大小的计算结果更加精确,并说明理由。
在相同的网格大小下,比较上述两种算法的计算结果,那种算法的结果要好一些,并说明理由。
三.实验原理、方法(算法)、步骤
欧拉法的迭代格式及误差估计:
un+1=un+hf(tn,un).∣un-u(tn)∣=O(h)
欧拉法:
function[x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n)
ifnargin<5,n=50;
end
h=(xfinal-x0)/n;
x
(1)=x0;y
(1)=y0;
fori=1:
n
x(i+1)=x(i)+h;
y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));
end
x=x';
y=y';
x1=0:
0.2:
1
y1=exp(2*x1)
plot(x,y,x1,y1)
functionf=doty(x,y);
f=2*y
[x,y]=euler('doty',0,1,1,10)
梯形法:
function[x,y]=tixing(fun,x0,xfinal,y0,n)
ifnargin<5,n=50;
end
h=(xfinal-x0)/n;
x
(1)=x0;y
(1)=y0;
fori=1:
n
x(i+1)=x(i)+h;
y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i))
y(i+1)=y(i)+h*(feval(fun,x(i),y(i))+feval(fun,x(i+1),y(i+1)))/2;
end
x=x';
y=y';
x1=0:
0.2:
1
y1=exp(2*x1)
plot(x,y,x1,y1)
四.实验环境(所用软件、硬件等)及实验数据文件
Matlab
五.实验结果及实例分析
欧拉法输出分析:
H=0.2
计算值解析值误差
1.00001.00000
1.40001.4918-0.0918
1.96002.2255-0.2655
2.74403.3201-0.5761
3.84164.9530-1.1114
5.37827.3891-2.0108
H=0.1
1.00001.00000
1.20001.2214-0.0214
1.44001.4918-0.0518
1.72801.8221-0.0941
2.07362.2255-0.1519
2.48832.7183-0.2300
2.98603.3201-0.3341
3.58324.0552-0.4720
4.29984.9530-0.6532
5.15986.0496-0.8899
6.19177.3891-1.1973
H=0.05
1.00001.00000
1.10001.1052-0.0052
1.21001.2214-0.0114
1.33101.3499-0.0189
1.46411.4918-0.0277
1.61051.6487-0.0382
1.77161.8221-0.0506
1.94872.0138-0.0650
2.14362.2255-0.0820
2.35792.4596-0.1017
2.59372.7183-0.1245
2.85313.0042-0.1510
3.13843.3201-0.1817
3.45233.6693-0.2170
3.79754.0552-0.2577
4.17724.4817-0.3044
4.59504.9530-0.3581
5.05455.4739-0.4195
5.55996.0496-0.4897
6.11596.6859-0.5700
6.72757.3891-0.6616
梯形法输出分析:
计算值解析值误差
H=0.2
1.00001.00000
1.48001.4918-0.0118
2.16802.2255-0.0575
3.15043.3201-0.1697
4.54884.9530-0.4042
6.53427.3891-0.8548
H=0.1
1.00001.00000
1.22001.2214-0.0014
1.48601.4918-0.0058
1.80741.8221-0.0147
2.19552.2255-0.0300
2.66392.7183-0.0544
3.22893.3201-0.0912
3.91014.0552-0.1451
4.73114.9530-0.2220
5.72016.0496-0.3295
6.91137.3891-0.4777
H=0.05
1.00001.00000
1.10501.1052-0.0002
1.22081.2214-0.0007
1.34831.3499-0.0015
1.48901.4918-0.0029
1.64391.6487-0.0048
1.81471.8221-0.0074
2.00292.0138-0.0109
2.21022.2255-0.0153
2.43862.4596-0.0210
2.69022.7183-0.0281
2.96743.0042-0.0368
3.27273.3201-0.0474
3.60893.6693-0.0604
3.97934.0552-0.0759
4.38714.4817-0.0946
4.83624.9530-0.1168
5.33075.4739-0.1432
5.87526.0496-0.1744
6.47486.6859-0.2111
7.13497.3891-0.2541
图像结果:
其中绿线代表欧拉法,红线为梯度法,蓝线为解析解:
H=0.2
H=0.1
H=0.05
由图形结果易知梯形法的精度比欧拉法更高,更接近解析解。
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年月日
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- 初值问题 Euler 方法 梯形
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