1996年考研数学三真题与全面解析.docx
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1996年考研数学三真题与全面解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设方程
y
xy确定y是x的函数,则dy___________.
(2)设xf(x)dxarcsinxC,则
1
dx
f(x)
___________..
(3)设
x0,y0是抛物线
2
yaxbxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足
的关系是___________.
(4)设
1111
x
1
1
aaaa
123n
x
2
1
2222
Aaaaa
123n
Xx
3
B1,
n1n1n1n1
aaaa
123n
x
n
1
其中aiaj(ij;i,j1,2,,n).则线性方程组
T
AXB的解是___________.
(5)设由来自正态总体
2
X~N(,0.9)容量为9的简单随机样本,得样本均值X5,则未
知参数的置信度为0.95的置信区间为___________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)累次积分
cos
2
df(rcos,rsin)rdr可以写成()
00
(A)
2
1yy
dyf(x,y)dx(B)
00
2
11y
dyf(x,y)dx
00
(C)
11
dxf(x,y)dy(D)
00
2
1xx
dxf(x,y)dy
00
(2)下述各选项正确的是()
(A)若
2
u和
n
2
v都收敛,则
n
2
(unvn)收敛
n1n1n1
(B)
uv收敛,则
nn
2
u与
n
2
v都收敛
n
n1n1n1
(C)若正项级数
n1
u发散,则
n
u
n
1
n
1
(D)若级数
u收敛,且uv(n1,2,),则级数
nnn
v也收敛
n
n1n1
(3)设n阶矩阵A非奇异(n2),A是矩阵A的伴随矩阵,则()
(A)
n1
(A)AA(B)
n1
(A)AA
(C)
n2
(A)AA(D)
n2
(A)AA
(4)设有任意两个n维向量组
1,,m和1,,m,若存在两组不全为零的数1,,m
和
k1,,km,使
(k)(k)(k)(k)0,则
111mmm111mmm
()
(A)
1,,m和1,,m都线性相关
(B)
1,,m和1,,m都线性无关
(C)
11,,mm,11,,mm线性无关
(D)
11,,mm,11,,mm线性相关
(5)已知0P(B)1且
P[AAB]P(AB)P(AB),则下列选项成立的是()
1212
(A)P[A1A2B]P(A1B)P(A2B)
(B)
PA1BA2BP(A1B)P(A2B)
(C)
PA1A2P(A1B)P(A2B)
(D)PBPA1P(BA1)P(A2)P(BA2)
三、(本题满分6分)
设
x
g(x)e
f(x)x
x0,
其中g(x)有二阶连续导数,且g(0)1,g(0)1.
0,x0,
(1)求f(x);
(2)讨论f(x)在(,)上的连续性.
四、(本题满分6分)
2
x
设函数zf(u),方程u(u)p(t)dt确定u是x,y的函数,其中f(u),(u)可
y
zz
微;p(t),(u)连续,且(u)1.求()()
pypx
xy
.
五、(本题满分6分)
计算
x
xe
x2
0(1e)
dx
.
六、(本题满分5分)
1
设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件
f2xfxdx.试证:
存在(0,1)使
(1)2()f2xfxdx.试证:
存在(0,1)使
0
f()f()0.
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成
a
Qc
pb
其中a、b、
c均为正数,且abc.
(1)求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.
(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?
最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)
求微分方程
22
dy
yxy
dxx
的通解.
九、(本题满分8分)
0100
设矩阵
A
1000
00y1
.
0012
(1)已知A的一个特征值为3,试求y;
T
(2)求矩阵P,使(AP)(AP)为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量
1,2,,t是齐次线性方程组AX0的一个基础解系,向量不是方程组
3
AX0的解,即A0.试证明:
向量组,1,2,,t线性无关.
十一、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5
个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获得利润5万元;发生两次故障所
获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?
十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程
20
xBxC,其中B、C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次
先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.
十三、(本题满分6分)
假设
k
X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本;已知EXa(k1,2,3,4).
k
证明:
当n充分大时,随机变量
n
1
2
ZX
ni
n
i1
近似服从正态分布,并指出其分布参数.
4
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
dx
x1lny
【解析】方法1:
方程
yy
xy两边取对数得lnxlnyylny,再两边求微分,
11
dxlny1dydydx
xxlny1
xlny10.
方法2:
把
y
xy变形得
ylny
xe,然后两边求微分得
yyy
lnln1ln1ln
dxedyyyydyxydy,
由此可得
1
dydx.
x1lny
(2)【答案】
1
3
1
3
2
xC
【解析】由xf(x)dxarcsinxC,两边求导数有
11
2
xf(x)arcsinxx1x
2
f(x)
1x
于是有
1
dx
f(x)
2122
x1xdx1xdx
2
1
2
22
1xd1x
1
3
1
3
2
xC.
c
(3)【答案】0
a
(或
2
axc),b任意
0
【解析】对
2
yaxbxc两边求导得
y2axb,yx2axb,
00
所以过
x,y的切线方程为
00
yy02ax0bxx0,即
2
yax0bx0c2ax0bxx0.
又题设知切线过原点0,0,把xy0代入上式,得
22
ax0bx0c2ax0bx0,即
2
axc.
0
5
c
由于系数a0,所以,系数应满足的关系为0
a
(或
2
axc),b任意.
0
T
(4)【答案】1,0,0,0
【解析】因为A是范德蒙行列式,由
aa知Aaiaj0.根据解与系数矩阵
ij
秩的关系,所以方程组
T
AXB有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
1
2n1
aaa
111
x
1
1
1
2n1
aaa
222
x
2
1
1
2n1
aaa
333
x
3
1
1
2n1
aaa
nnn
x
n
1
易见
D1A,D2D3Dn0.
所以
T
AXB的解为
T
x,xxx,即1,0,0,,0.
1123n0
【相关知识点】克莱姆法则:
若线性非齐次方程组
axaxaxb,
1111221nn1
axaxaxb,
2112222nn2
axaxaxb.
n11n22nnnn
n
或简记为
axb,i1,2,,n
ijji
j1
其系数行列式
aaa
11121n
D
aaa
21222n
0
aaa
n1n2nn
则方程组有唯一解
D
j
x,j1,2,,n.
j
D
其中
D是用常数项b1,b2,,bn替换D中第j列所成的行列式,即
j
6
aabaa
111,j111,j11n
D
j
aabaa
212,j122,j12n
.
aabaa
n1n,j1nn,j1nn
(5)【答案】(4.412,5.588)
【解析】可以用两种方法求解:
(1)已知方差
20.92,对正态总体的数学期望进行估计,可根据
因
2
XN(,0.9),设有n个样本,样本均值
n
1
XX
n
i1
i
有
XN
2
0.9
(,)
n
将其标准化,由公式
XE(X)
D(X)
n
~N(0,1)
得:
X
1
n
~N(0,1)
由正态分布分为点的定义
X
Pu
1
n
2
1
可确定临界值
u,
2
进而确定相应的置信区间
(xu,xu)
22
nn
.
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.
由教材上已经求出的置信区间
xu,xu
2n2n
PUu1,UN(0,1),可以直接得出答案.其中
2
方法1:
由题设,10.95,可见0.05.查标准正态分布表知分位点u1.96.本
2
X
题n9,X5,因此,根据P{1.96}0.95,有
1
n
5
P{1.96}0.95,即P{4.4125.588}0.95,
1
9
7
故的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588).
方法2:
由题设,10.95,
P{Uu}P{uUu}2(u)10.95,(u)0.975
22222
查得u1.96.
2
2
0.9,n9,X5代入
(xu,xu)
22
nn
得置信区间(4.412,5.588).
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】方法1:
由题设知,积分区域在极坐标系xrcos,yrsin中是
Dr,|0,0rcos,
2
即是由
2
11
2
x
xy
24
y
1
平面图形,如右图.
2
由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1,
下边界方程是y0,上边界的方程是
2
yxx,从而D
O1
2
1x
的直角坐标表示是
2
Dx,y|0x1,0yxx,
故(D)正确.
方法2:
采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为
D1r,|0,0rsin,
2
而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,
(C)中的积分区域是正方形x,y|0x1,0y1,
所以,他们都是不正确的.故应选(D).
(2)【答案】(A)
【解析】由于级数
2
u和
n
2
v都收敛,可见级数
n
22
uv收敛.由不等式
nn
n1n1n1
22
2unvnunvn
8
及比较判别法知级数
2unvn收敛,从而2unvn收敛.
n1n1
又因为
222
uvuv2uv,即级数
nnnnnn
2
uv收敛,故应选(A).
nn
n1
设
1
u,v1n1,2,
n2n
n
可知(B)不正确.
设
11
un1,2,
n2
nn
可知(C)不正确.
设
n1
11
u,vn1,2,
nn
nn
可知(D)不正确.
注:
在本题中命题(D)“若级数
u收敛,且uv(n1,2,),则级数
nnn
v也收敛.”
n
n1n1
不正确,这表明:
比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数
一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.
(3)【答案】(C)
【解析】伴随矩阵的基本关系式为AAAAAE,
现将A视为关系式中的矩阵A,则有A(A)AE.
方法一:
由
n1
AA及
(A)
1
A
A
可得
nAn
121
(A)A(A)AAA.
A
故应选(C).
方法二:
由A(A)AE,左乘A得
n1
(AA)(A)AA,即
n1
(AE)(A)AA.
故应选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组
1,2,,s线性
无关,即若
x11x22xss0,必有x10,x20,,xs0.
既然1,,m与k1,,km不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).
一般情况下,对于
k11k22kssl11lss0,
9
不能保证必有
k11k22kss0,及l11lss0,故(A)不正确.由已知条件,
有
111mmmk111kmmm0,
又
1,,m与k1,,km不全为零,故11,,mm,11,,mm线性相关.
故选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】依题意
PA1A2BPA1BPA2BPA1BA2BPA1B)P(A2B
.
P(B)P(B)P(B)P(B)P(B)
因P(B)0,故有
PA1BA2BPA1B)P(A2B.因此应选(B).
注:
有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B都成立,但是忽略了
全概率公式中要求作为条件的事件
A1,A2应满足
P(A)0,P(A)0,且
12
A1,A2是对立事
件.
【相关知识点】条件概率公式:
P(B|A)
P(AB)
P(A)
.
三、(本题满分6分)
【解析】
(1)由于g(x)有二阶连续导数,故当x0时,f(x)也具有二阶连续导数,此
时,f(x)可直接计算,且f(x)连续;当x0时,需用导数的定义求f(0).
当x0时,
xxx
x[g(x)e]g(x)exg(x)g(x)(x1)e
f(x).
22
xx
当x0时,由导数定义及洛必达法则,有
f
xxx
g(x)eg(x)eg(x)eg(0)1
(0)limlimlim
洛洛.
2
x0x0x0
x2x22
所以
f(x)
x
xg(x)g(x)(x1)e
2
x
g
(0)1
x0.
2
x0,
(2)f(x)在x0点的连续性要用定义来判定.因为在x0处,有
x
xg(x)g(x)(x1)e
limf(x)lim
x0x0
2
x
10
lim
x0
xx
g(x)xg(x)g(x)e(x1)e
2x
x
g(x)eg(0)1
limf(0).
x022
而f(x)在x0处是连续函数,所以f(x)在(,)上为连续函数.
四、(本题满分6分)
zuzu
【解析】由zf(u)可得(),()
fufu
xxyy
.
x
在方程u(u)p(t)dt两边分别对x,y求偏导数,得
y
uuuu
(u)p(x),(u)p(y).
xxyy
所以
up(x)up(y)
x1(u)y1(u)
.
于是
zzp(x)p(y)p(x)p(y)
p(y)p(x)f(u)0
xy1(u)1(u)
.
五、(本题满分6分)
【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.
【解析】方法1:
因为
x
xe1xdx
dxxd
分部积分
x2xxx
(1e)1e1e1e
x
xex1
x
dxd(1e)
xxxx
1e1e1e1e
1
x
e
x
x
ln(1e)C,
所以
0
xx
xexe
x
dxlimln(1e)ln2.
x2xx
(1e)1e
xx
xexe
xxx
而limln
(1)limln
(1)
eeexx
xx
1e1e
x
xe
x
limln
(1)
xe
x
x1e
11
x
lim00
x
xe
1
故原式ln2.
方法2:
xx
xexe1
dxdxxd
x2x2x
0e0e0e
(1)
(1)1
x
xdxdxe
xxxx
1e01e01e01e
0
dx
01
1
e
x
xx
d(1e)ln(1e)ln2.
0
六、(本题满分5分)
【分析】由结论可知,若令(x)xf(x),则(x)f(x)xf(x).因此,只需证明(x)在
[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.
【解析】令(x)xf(x),由积分中值定理可知,存在
1
(0,)
2
使
11
122
xf(x)dx(x)dx(),
00
2
由已知条件,有
1
2
1
f
(1)2xf(x)dx2()(),于是
0
2
(1)f
(1)(),
且(x)在(,1)上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),使得
()0,即f()f()0.
【相关知识点】1.积分中值定理:
如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至
少存在一个点,使下式成立:
b
a
f(x)dxf()(ba)ab.
这个公式叫做积分中值公式.
2.罗尔定理:
如果函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间a,b内可导;
12
(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)f(b),
那么在a,b内至少有一点(ab),使得f0.
七、(本题满分6分)
【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x的某个区间上导函数fx0,则函数fx
单调递增,反之递减.
【解析】
(1)设售出商品的销售额为R,则
2
aabcpb
RpQp(c),R(p).
2
pbpb
令R0,得
abb
pbabc
0()0
cc
.
当0pb(abc)
c
时,R0,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加.
b
当p(abc)
c
时,有R0,所以随单价p的增加,相应销售额R将减少.
b
(2)由
(1)可知,当p(abc)
c
时,销售额R取得最大值,最大销售额为
aba
2
Rmaxbc(abc)
cab
c
.
八、(本题满分6分)
【解析】令
z
y
x
则
dydz
zx
dxdx
.
dz
当x0时,原方程化为12
zxzz
dx
即
dzdx
1
2
z
x
其通解为
2
ln(z1z)lnxC或
1
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