奥数题型与解题思路2140讲.docx
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奥数题型与解题思路2140讲
21、数字和与最大最小问题
【数字求和】
例1100个连续自然数的和是8450,取其中第1个,第3个,第5个,………,第99个(所有第奇数个),再把这50个数相加,和是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
第50、51两个数的平均数是8450÷100=84.5,所以,第50个数是84。
则100个连续自然数是:
35,36,37,………,133,134。
上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得:
35,37,39,……131,133。
则这50个数的和是:
例2把1至100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码的和是_____。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析;可把1至100这一百个自然数分组,得
(1、2、3、……、9),(10、11、12、……、19),(20、21、22、……29),……,(90、91、92、……99),(100)。
容易发现前面10组中,每组的个位数字之和为45。
而第一组十位上是0,第二组十位上是1,第三组十位上是2,……第十组十位上是9,所以全体十位上的数字和是(l+2+3+……+9)×10=450。
故所有数码的和是45×10+450+l=901。
续若干个数字之和是1992,那么a=____。
(北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
又,1992÷27=73余21,而21=8+5+7+1,所以a=6。
例4有四个数,每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外一个数,用这种方法计算了四次,分别得到四个数:
86,92,100,106。
那么,原来四个数的平均数是
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
每次所选的三个数,计算其平均数,实际上就是计算这三个数中
原来四个数的平均数为(86+92+100+106)÷2=192。
【最大数与最小数】
例1三个不同的最简真分数的分子都是质数,分母都是小于20的合数,要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是
(全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题)。
讲析:
20以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19
要使三个分数尽量大,必须使每个分子尽量大而分母尽量小。
且三个真
例2将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组,分别计算各组数的和。
已知这三个和互不相等,且最大的和是最小和的2倍。
问:
最小的和是多少?
(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析;因为1+2+3+……+8=36,又知三组数的和各不相同,而且最大的
例3把20以内的质数分别填入□中(每个质数只用一次):
使A是整数。
A最大是多少?
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:
要使A最大,必须使分母尽量小,而分子尽量大。
分母分别取2、3、5时,A都不能为整数。
当分母取7时,
例4一组互不相同的自然数,其中最小的数是1,最大的数是25。
除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中某两个数之和。
问:
这组数之和的最大值是多少?
当这组数之和有最小值时,这组数都有哪些数?
并说明和是最小值的理由。
(全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题)
析:
观察自然数1、2、3、4、5、……、25这25个数,发现它们除1之外,每个数都能用其中某一个数的2倍,或者某两个数之和表示。
因此,这组数之和的最大值是1+2+3+……+25=325。
下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的,25不能表示成一个数的2倍,而表示成两个数之和的形式,共有12种。
我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数(20+5)或者(10+15)。
当取1、5、20、25时,还需取2、3、10三个;当取1、10、15、25时,还需取2、3、5。
经比较这两组数,可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时,和最小是61。
22、数字串问题
【找规律填数】
例1找规律填数
(杭州市上城区小学数学竞赛试题)
(1992年武汉市小学数学竞赛试题)
讲析:
数列填数问题,关键是要找出规律;即找出数与数之间有什么联系。
第
(1)小题各数的排列规律是:
第1、3、5、……(奇数)个数分别
别是4和2。
第
(2)小题粗看起来,各数之间好像没有什么联系。
于是,运用分数
得到了
例2右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。
按照这个规律在空格中填上合适的数。
(1994年天津市小学数学竞赛试题)
讲析:
根据题意,可找出每竖行的三个数之间的关系。
不难发现每竖行中的第三个数,是由前两数相乘再加上1得来的。
所以空格中应填33。
【数列的有关问题】
数是几分之几?
(第一届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:
经观察发现,分母是1、2、3、4、5……的分数个数,分别是1、3、5、7、9……。
所以,分母分别为1、2、3……9的分数共
例2有一串数:
1,1993,1992,1,1991,1990,1,1989,1988,…这个数列的第1993个数是______
(首届《现代小学数学》邀请赛试题)
讲析:
把这串数按每三个数分为一组,则每组第一个数都是1,第二、三个数是从1993开始,依次减1排列。
而1993÷3=664余1,可知第1993个数是1。
例3已知小数0.13……9899的小数点后面的数字,是由自然数1—99依次排列而成的。
则小数点后面第88位上的数字是______。
(1988年上海市小学数学竞赛试题)
讲析:
将原小数的小数部分分成A、B两组:
A中有9个数字,B中有180个数字,从10到49共有80个数字。
所以,第88位上是4。
例4观察右面的数表(横排为行,竖排为列);
几行,自左向右的第几列。
(全国第三届“华杯赛”决赛试题)
讲析:
第一行每个分数的分子与分母之和为2,第二行每个分数的分子与分母之和为3,第三行每个分数的分子与分母之和为4,……即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。
例5如图5.4,除了每行两端的数之外,其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数,那么第100行各数之和是_______。
(广州市小学数学竞赛试题)
讲析:
可试探着计算每行中各数之和。
第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12,从而得出,每行的数字之和,是行数的2倍加4。
故第100行各数之和为100×2+4=204.
例6伸出你的左手,从大拇指开始,如图5.5所示的那样数数:
l、2、3……。
问:
数到1991时,会落在哪个手指上?
(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:
除1之外,从2开始每8个数为一组,每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。
∵(1991—1)÷8=248余6,∴剩下最后6个数又从食指开始数,会到中指结束。
例7如图5.6,自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。
在“2”处拐第一个弯,在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数?
(全国第一届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:
写出拐弯处的数,然后按每两个数分为一组:
(2,3),(5,7),(10,13),(17,21),(26,31),……。
将会发现,每组数中依次相差1、2、3、4、5、……。
每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。
从而可推出,拐第二十个弯处的数是111。
例8自然数按图5.7顺次排列。
数字3排在第二行第一列。
问:
1993排在第几行第几列?
(全国第四届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
观察每斜行数的排列规律,每斜行数的个数及方向。
每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……,奇数斜行中的数由下向上排列,偶数斜行中的数由上向下排列。
斜行,该斜行的数是由下向上排列的,且第63行第1列是1954。
由于从1954开始,每增加1时,行数就减少1,而列数就增加1。
所以1993的列数、行数分别是:
1993—1954+1=40(列),63-(1993—1954)=24(行)
23、数阵图
【方阵】
例1将自然数1至9,分别填在图5.17的方格中,使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
(长沙地区小学数学竞赛试题)
讲析:
中间一格所填的数,在计算时共算了4次,所以可先填中间一格的数。
(l+2+3+……+9)÷3=15,则符合要求的每三数之和为15。
显然,中间一数填“5”。
再将其它数字顺次填入,然后作对角线交换,再通过旋转(如图5.18),便得解答如下。
例2从1至13这十三个数中挑出十二个数,填到图5.19的小方格中,使每一横行四个数之和相等,使每一竖列三个数之和又相等。
(“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
据题意,所选的十二个数之和必须既能被3整除,又能被4整除,(三行四列)。
所以,能被12整除。
十三个数之和为91,91除以12,商7余7,因此,应去掉7。
每列为(91—7)÷4=21
而1至13中,除7之外,共有六个奇数,它们的分布如图5.20所示。
三个奇数和为21的有两种:
21=1+9+11=3+5+13。
经检验,三个奇数为3、5、13的不合要求,故不难得出答案,如图5.21所示。
例3十个连续自然数中,9是第三大的数,把这十个数填到图5.22的十个方格中,每格填一个,要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。
那么,这个和数的最小值是______。
(1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
不难得出十个数为:
2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。
它们的和是65。
在三个2×2的正方形中,中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b,则(65+a+b)之和必须是3的倍数。
所以,(a+b)之和至少是7。
故,和数的最小值是24。
【其他数阵】
例1如图5.23,横、竖各12个方格,每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20,竖列上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数,那么“×”代表的数是______。
(1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
可先看竖格。
因为每相邻三格数字和为21,所以每隔两格必出现重复数字。
从而容易推出,竖格各数从上而下是:
3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。
同理可推导出横格各数,其中“×”=5。
例2如图5.24,有五个圆,它们相交后相互分成九个区域,现在两个区域里已经分别填上数字10、6,请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字,使每个圆内的数之和都是15。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
可把图中要填的数,分别用a、b、c、d、e、f、g代替。
(如图5.25)
显然a=5,g=9。
则有:
b+c=10,e+f=6,c+d+e=15。
经适当试验,可得b=3,c=7,d=6,e=2,f=4。
例3如图5.26,将六个圆圈中分别填上六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。
那么,这六个质数的积是______。
(全国第一届“华杯赛”决赛试题)
讲析:
最上面的小三角形与中间的小三角形,都有两个共同的顶点,且每个小三角形顶点上三数之和相等。
所以,最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。
同样,左下角与右边中间的数相等,右下角与左边中间数相等。
20÷2=10,10=2+3+5。
所以,六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。
例4在图5.27的七个○中各填上一个数,要求每条直线上的三个数中,中间一个数是两边两个数的平均数。
现已填好两个数,那么X=_______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
如图5.28,可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。
则d=15。
由15+c+a=17+c+b,得:
a比b多2。
所以,b=13+2=15。
进而容易算出,x=19。
例5图5.29中8个顶点处标注的数字:
a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一个数都等于相邻三个顶点
(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
将外层的四个数,分别用含其它字母的式子表示,得
即(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0
24、数的组成
【数字组数】
例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数,如果每个数字都要用到,并且只能用一次,那么这九个数字最多能组成______个质数。
(1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
自然数1至9这九个数字中,2、3、5、7本身就是质数。
于是只剩下1、4、6、8、9五个数字,它们可组成一个两位质数和一个三位质数:
41和689。
所以,最多能组成六个质数。
例2用0、1、2、……9这十个数字组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是一个奇数,并且尽可能的大。
那么,这五个两位数的和是______。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
组成的五个两位数,要求和尽可能大,则必须使每个数尽可能大。
所以它们的十位上分别 是9、8、7、6、5,个位上分别是0、1、2、3、4。
但要求五个两位数和为奇数,而1+2+3+4=10为偶数,所以应将4与5交换,使和为:
(9+8+7+6+4)×10+(1+2+3+5)=351。
351即本题答案。
例3一个三位数,如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字,那么就称它被另一个三位数“吃掉”。
例如,241被342吃掉,123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉),但240和223互不被吃掉。
现请你设计出6个三位数,它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉,并且它们的百位上数字只允许取1、2;十位上数字只允许取1、2、3;个位上数字只允许取1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:
六个三位数中,任取两个数a和b,则同数位上的数字中,a中至少有一个数字大于b,而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时,十位上可从1开始依次增加1,而个位上从4开始依次减少1。
即:
114,123,132。
当百位上为2时,十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。
即:
213,222,231。
经检验,这六个数符合要求。
例4将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数,使得两个1之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字;两个4之间有四个数字。
那么这样的八位数中的一个是______。
(1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
两个4之间有四个数字,则在两个4之间必有一个数字重复,而又要求两个1之间有一个数,于是可推知,这个重复数字必定是1,即412134或421314。
然后可添上另一个2和3。
经调试,得,此数即为所答。
【条件数字问题】
例1某商品的编号是一个三位数,现有五个三位数:
874,765,123,364,925。
其中每一个数与商品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字,那么这个三位数是_______
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较,可发现:
百位上五个数字都不同;十位上有两个2和两个6;个位上有两个4和两个5。
故所求的数的个位数字一定是4或5,百位上一定是2或6。
经观察比较,可知724符合要求。
例2给一本书编页码,共用了1500个数字,其中数字“3”共用了_______个
(首届《现代小学数学)》邀请赛试题)
讲析:
可先求出1500个数字可编多少页。
从第一页到第9页,共用去9个数字;从第10页到第99页,共用去2×90=180(个)数字;余下的数字可编(1500-189)÷3=437(页)
所以,这本书共有536页。
l至99页,共用20个“3”,从100至199页共用20个“3”,从200至299页共用20个“3”,从300至399页共用去120个“3”,从400至499页共用去20个“3”,从500到536页共用去11个“3”。
所以,共用去211个数字3。
例3在三位数中,数字和是5的倍数的数共有_______个。
(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:
可把三位数100至999共900个数,从100起,每10个数分为一组,得
(100,101、……109),(110、111、……119),……(990、991、……、999)
共分成了90组,而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数,所以一共有2×90=180(个)。
例4有四个数,取其中的每两个数相加,可以得到六个和。
这六个和中最小的四个数是83、87、92、94,原因数中最小的是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
设原四个数从小到大为a、b、c、d,则有a+b=83,a+c=87,所以c比b大4。
而对于和为92和94时,或者是b+c=92,或者是b+c=94。
当b+c=92时,因c比b大4,可得b=45,进而可求得a=38。
当b+c=94时,因c比b大4,可得b=44,进而可求得a=39。
所以,原四数中最小的数是38或39。
abcd=______
(广州市小学数学竞赛试题)
讲析:
原四位数增加8倍后得新的四位数,也就是原四位数乘以9,得新四位数(如图5.29)。
从而可知,a一定为1,否则积不能得四位数。
则
例6有两个两位数,它们的个位数字相同,十位数字之和是11。
这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字?
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:
由题意可知,两个数的十位上为(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),而个上则可以是0至9的任意一个数字。
如果分别去求这两个数的积,那是很麻烦的。
设这两个数的个位数字是c,十位数字分别为a、b,则a+b=11,两数分别为(10a+c),(10b+c)。
字。
能是6、8。
例7期的记法是用6个数字,前两个数字表示年份,中间两个数字表示月份,后两个数字表示日(如1976年4月5日记为760405)。
第二届小学“祖杯赛”的竞赛日期记为921129。
这个数恰好左右对称。
因此这样的日期是“吉祥日”。
问:
从87年9月1日到93年6月30日,共有_______个吉祥日。
(第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
一个六位数从中间分开,要求左右对称,则在表示月份的两个数中,只有11月份。
而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。
所以是共有3个吉祥日:
901109、911119、921129。
25、数的整除性规律
【能被2或5整除的数的特征】(见小学数学课本,此处略)
【能被3或9整除的数的特征】一个数,当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时,这个数便能被3或9整除。
例如,1248621各位上的数字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24
3|24,则3|1248621。
又如,372681各位上的数字之和是
3+7+2+6+8+1=27
9|27,则9|372681。
【能被4或25整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末两位数能被4或25整除时,这个数便能被4或25整除。
例如,173824的末两位数为24,4|24,则4|173824。
的末两位数为75,25|75,则25|
。
【能被8或125整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字为0,或者末三位数能被8或125整除时,这个数便能被8或125整除。
例如,的末三位数字为0,则这个数能被8整除,也能够被125整除。
3569824的末三位数为824,8|824,则8|3569824。
0的末三位数为750,125|750,则125|0。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数,当且仅当它的末三位数字所表示的数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时,这个数就能被7、11、13整除。
例如,75523的末三位数为523,末三位以前的数字所表示的数是75,523-75=448,448÷7=64,即
7|448,则7|75523。
又如,1095874的末三位数为874,末三位以前的数字所表示的数是1095,1095-874=221,221÷13=17,即
13|221,则13|1095874。
再如,868967的末三位数为967,末三位以前的数字所表示的数是868,967-868=99,99÷11=9,即
11|99,则11|868967。
此外,能被11整除的数的特征,还可以这样叙述:
一个数,当且仅当它的奇数位上数字之和,与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时,则这个数便能被11整除。
例如,4239235的奇数位上的数字之和为
4+3+2+5=14,
偶数位上数字之和为2+9+3=14,
二者之差为14-14=0,0÷11=0,
即11|0,则11|4239235。
26、数的公理、定理或性质
【小数性质】小数的性质有以下两条:
(1)在小数的末尾添上或者去掉几个零,小数的大小不变。
(2)把小数点向右移动n位,小数就扩大10n倍;把小数点向左移动n位,小数就缩小10n倍。
【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数,分数的大小不变。
即
【去九数的性质】用9去除一个数,求出商后余下的数,叫做这个数的“去九数”,或者叫做“9余数”。
求一个数的“去九数”,一般不必去除,只要把该数的各位数字加起来,再减去9的倍数,就得到该数的“去九数”。
(求法见本书第一部分“(四)法则、方法”“2.运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。
)去九数有两条重要的性质:
(1)几个加数的和的去九数,等于各个加数的去九数的和的去九数。
(2)几个因数的积的去九数,等于各个因数的去九数的积的去九数。
这两条重要性质,是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。
【自然数平方的性质】
(1)奇数平方的性质。
任何一个奇数的平方被8除余1。
为什么有这一性质呢?
这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式,k为整数。
而
(2k+1)2=4k2+4k+1
=4k(k+1)+1
k与k+1又是连续整数,其中必有一个是偶数,故4k(k+1)是8的倍数,能被8整除,所以“4k(k+1)+1”,即(2k+1)2能被8除余1,也就是任何一个奇数的平方被8除余1。
例如,272=729
729÷8=91……1
(2)偶数平方的性质。
任何一个偶数的平方,都是4的倍数。
这是因为偶数可以用2k(k为整数)表示,而(2k)2=4k2
显然,4k2是4的倍数,即偶数的平方为4的倍数。
例如,2162=46656
46656÷4=11664
即4|46656
【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条:
(1)两个偶数的和或差是偶数;两个奇
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