锁具数的图论算法和图的遍历.docx
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锁具数的图论算法和图的遍历
1994年全国大学生数学建模竞赛B题(锁具装箱)中关于锁具总数的问题可叙述如
([1]):
某广生产一种弹子镇具,每个镇具的钥匙有5个槽,每个槽的高度从{i,2,3,4,5,6)中
取一数.由于工艺及其它原因,制造镇具时对5个槽的高度还有两个限制:
(1)至少有3个不同的数;
(2)相邻两槽的高度之差不能为5.满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称一批.我们的问题是如何确定每一批锁具的个数?
目前,求解上述问题的方法有两种,一种是计算机枚举,另一种是排列组合计数([2
[3]).这两种方法计算量都比较大.特别,针对槽高的限制
(2)运用加法原理时,不易排除重计数的各种可能情形.本文提出一种简便易行的图论算法,只需具备最基本的图论知识即可握该算法.而运用该算法,计算量将比现有各种求解方法要少得多,即使用笔算也能迅速得正确的解答.
易见,x=x1–x2。
其中,x1一相邻两槽高度之差不为5的锁具数,即:
满足限制条件
(2)锁具数x2=相邻两槽高度之差不为5且槽高仅有1个或2个的锁具数,即:
满足限制条件
(2)但不满足限制条件
(1)的锁具数.表示满足条件
(2)同时,锁的高度至多有两个相异。
我们用图论方法计算和
本文所用的图论术语和结论见[4]
设G=(v,E)为无向图,v={v1,v2,v3,v4,v5,v6}为顶点集,E为边集.
令:
A={aij}n×n。
其中aij={1,若(vi,vj)属于E}称A为G的邻接矩阵.
定理1设nZ+,n阶图G=
(1).
下面求x2,用概率的方法求解x2=
-(25-1)=426,
x=63O6—426=5880.
什么是图的深度优先遍历?
什么是图的广度优先遍历?
深度优先,就是先遍历它的一个邻节点,这个节点的邻节点。
。
。
然后才遍历其他的邻节点(一直向前,无法前进再回头)。
广度优先,就是先把它所有的邻节点都遍历完以后,再遍历它每个邻节点的邻节点
深度优先遍历(Depth-FirstTraversal)
1.图的深度优先遍历的递归定义
假设给定图G的初态是所有顶点均未曾访问过。
在G中任选一顶点v为初始出发点(源点),则深度优先遍历可定义如下:
首先访问出发点v,并将其标记为已访问过;然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。
若w未曾访问过,则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历,直至图中所有和源点v有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点)均已被访问为止。
若此时图中仍有未访问的顶点,则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程,直至图中所有顶点均已被访问为止。
图的深度优先遍历类似于树的前序遍历。
采用的搜索方法的特点是尽可能先对纵深方向进行搜索。
这种搜索方法称为深度优先搜索(Depth-FirstSearch)。
相应地,用此方法遍历图就很自然地称之为图的深度优先遍历。
2、深度优先搜索的过程
设x是当前被访问顶点,在对x做过访问标记后,选择一条从x出发的未检测过的边(x,y)。
若发现顶点y已访问过,则重新选择另一条从x出发的未检测过的边,否则沿边(x,y)到达未曾访问过的y,对y访问并将其标记为已访问过;然后从y开始搜索,直到搜索完从y出发的所有路径,即访问完所有从y出发可达的顶点之后,才回溯到顶点x,并且再选择一条从x出发的未检测过的边。
上述过程直至从x出发的所有边都已检测过为止。
此时,若x不是源点,则回溯到在x之前被访问过的顶点;否则图中所有和源点有路径相通的顶点(即从源点可达的所有顶点)都已被访问过,若图G是连通图,则遍历过程结束,否则继续选择一个尚未被访问的顶点作为新源点,进行新的搜索过程。
广度优先遍历(Breadth-FirstTraversal)
1、广度优先遍历的递归定义
设图G的初态是所有顶点均未访问过。
在G中任选一顶点v为源点,则广度优先遍历可以定义为:
首先访问出发点v,接着依次访问v的所有邻接点w1,w2,…,wt,然后再依次访问与wl,w2,…,wt邻接的所有未曾访问过的顶点。
依此类推,直至图中所有和源点v有路径相通的顶点都已访问到为止。
此时从v开始的搜索过程结束。
若G是连通图,则遍历完成;否则,在图C中另选一个尚未访问的顶点作为新源点继续上述的搜索过程,直至G中所有顶点均已被访问为止。
广度优先遍历类似于树的按层次遍历。
采用的搜索方法的特点是尽可能先对横向进行搜索,故称其为广度优先搜索(Breadth-FirstSearch)。
相应的遍历也就自然地称为广度优先遍历。
2、广度优先搜索过程
在广度优先搜索过程中,设x和y是两个相继要被访问的未访问过的顶点。
它们的邻接点分别记为x1,x2,…,xs和y1,y2,…,yt。
为确保先访问的顶点其邻接点亦先被访问,在搜索过程中使用FIFO队列来保存已访问过的顶点。
当访问x和y时,这两个顶点相继入队。
此后,当x和y相继出队时,我们分别从x和y出发搜索其邻接点x1,x2,…,xs和y1,y2,…,yt,对其中未访者进行访问并将其人队。
这种方法是将每个已访问的顶点人队,故保证了每个顶点至多只有一次人队。
图:
广度深度优先遍历(邻接矩阵)收藏
//图的广度深度优先遍历
//说明:
采用邻接矩阵
//09.08.10
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
//建立邻接矩阵
//visit标记节点是否已经被访问,visit[x]=1表示已经被访问
//vertex保存节点
//将顶点个数保存在vertex[0],边的条数保存visit[0]
voidCreateMatrix(vector
{
//输入节点个数
cout<<"inputthenumberofthevertexes:
";
intver_num;cin>>ver_num;vertexes[0]=ver_num;
//初始化节点
for(inti=1;i<=ver_num;i++)
vertexes[i]=i;
//输入边的条数
cout<<"inputthenumberoftheedges:
";
intedge_num;cin>>edge_num;visit[0]=edge_num;
//邻接矩阵初始化
intx,y;
for(i=0;i { cin>>x>>y; x--,y--; matrix[x][y]=1;matrix[y][x]=1; } } //广度优先遍历函数 voidBFS(vector { //输入遍历的开始节点 cout<<"BFS: inputthenodeyouwanttobegin: "; intbegin;cin>>begin; cout< queue qu.push(begin); //BFS核心代码 while(! qu.empty()) { intt=qu.front()-1; for(inti=0;i { intt1=i+1; if(matrix[t][i]==1&&visit[t1]==0) { cout< qu.push(t1); } } qu.pop(); } cout< } //深度遍历递归函数 voidDfs(vector { cout< //DFS核心代码 for(inti=0;i if(matrix[node-1][i]==1&&visit[i+1]==0) Dfs(visit,vertexes,matrix,i+1); } //深度优先遍历函数 voidDFS(vector { cout<<"DFS: inputthenodeyouwanttobegin: "; intbegin;cin>>begin; Dfs(visit,vertexes,matrix,begin); cout< } //主函数 intmain() { vector vector intmatrix[100][100]={0};//邻接矩阵保存边 CreateMatrix(visit,vertexes,matrix); //输出邻接矩阵 for(inti=0;i { for(intj=0;j cout< cout< } //BFS: DFS BFS(visit,vertexes,matrix); DFS(visit,vertexes,matrix); return0; 广度优先遍历(Breadth-FirstTraversal) 1、广度优先遍历的递归定义 设图G的初态是所有顶点均未访问过。 在G中任选一顶点v为源点,则广度优先遍历可以定义为: 首先访问出发点v,接着依次访问v的所有邻接点w1,w2,…,wt,然后再依次访问与wl,w2,…,wt邻接的所有未曾访问过的顶点。 依此类推,直至图中所有和源点v有路径相通的顶点都已访问到为止。 此时从v开始的搜索过程结束。 若G是连通图,则遍历完成;否则,在图C中另选一个尚未访问的顶点作为新源点继续上述的搜索过程,直至G中所有顶点均已被访问为止。 广度优先遍历类似于树的按层次遍历。 采用的搜索方法的特点是尽可能先对横向进行搜索,故称其为广度优先搜索(Breadth-FirstSearch)。 相应的遍历也就自然地称为广度优先遍历。 2、广度优先搜索过程 在广度优先搜索过程中,设x和y是两个相继要被访问的未访问过的顶点。 它们的邻接点分别记为x1,x2,…,xs和y1,y2,…,yt。 为确保先访问的顶点其邻接点亦先被访问,在搜索过程中使用FIFO队列来保存已访问过的顶点。 当访问x和y时,这两个顶点相继入队。 此后,当x和y相继出队时,我们分别从x和y出发搜索其邻接点x1,x2,…,xs和y1,y2,…,yt,对其中未访者进行访问并将其人队。 这种方法是将每个已访问的顶点人队,故保证了每个顶点至多只有一次人队。 3、广度优先搜索算法 (1)邻接表表示图的广度优先搜索算法 voidBFS(ALGraph*G,intk) {//以vk为源点对用邻接表表示的图G进行广度优先搜索 inti; CirQueueQ;//须将队列定义中DataType改为int EdgeNode*p; InitQueue(&Q);//队列初始化 //访问源点vk printf("visitvertex: %e",G->adjlist[k].vertex); visited[k]=TRUE; EnQueue(&Q,k);//vk已访问,将其人队。 (实际上是将其序号人队) while(! QueueEmpty(&Q)){//队非空则执行 i=DeQueue(&Q);//相当于vi出队 p=G->adjlist[i].firstedge;//取vi的边表头指针 while(p){//依次搜索vi的邻接点vj(令p->adjvex=j) if(! visited[p->adivex]){//若vj未访问过 printf("visitvertex: %c",C->adjlistlp->adjvex].vertex); //访问vj visited[p->adjvex]=TRUE; EnQueue(&Q,p->adjvex);//访问过的vj人队 }//endif p=p->next;//找vi的下一邻接点 }//endwhile }//endwhile }//endofBFS
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- 锁具数 算法 遍历